Задачи М511—М515; Ф523—Ф527

33

Задачик
кванта

М511—М515; Ф523—Ф527

М511. Внутри четырехугольника $ABCD$ отмечена точка $M$ такая, что $ABMD \leftarrow$ параллелограмм. Докажите, что если $CBM = CDM$, то $ACD = CDM$. (8—9 кл.)

Ю. Михеев

М512. Пусть $f(x) = x^3 - x + 1$. Докажите, что для любого натурального $m > 1$ числа $m, f(m), f(f(m))$, $f(f(f(m)))$, … попарно взимно просты. (10 кл.)

А. Колотов

М513*. Докажите, что существует такое число $A$, что в график функции $y = A \sin x$ можно писать не менее 1978 попарно неконгруэнтых квадратов. (Квадрат называется вписанным, если все его вершины принадлежат графику.) (10 кл.)

В. Федогов

М514*. Докажите, что существует такая бесконечная ограниченная последовательность $\{x_n\}$, что для любых различных $m$ и $k$ выполено неравенство
$$|x_m - x_k| \geq |m - k|^{-1}.$$ (9, 10 кл.)

С. Коняzin

М515. Задано конечное множество $K_0$. К нему добавляются все точки, которые можно получить симметричным отражением одной точки этого множество относительно другой. Полученное множество обозначается $K_1$. Аналогично из множества $K_1$ получается $K_2$, из $K_2 \leftarrow K_3$ и т. д.

a) Пусть множество $K_0$ состоит из $d$ в $x$ точек $A$ и $B$ на расстоянии $1$. При каком наменшем $n$ в множестве $K_n$ найдется точка, находящаяся на расстоянии 10000 от точки $A$?

b) Пусть $K_0$ состоит из трех пунктах $K_0 \leftarrow$ множество четырехугольника площади 1. Найдите площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащого множество $K_n$ ($n = 1, 2 \ldots$). (8 кл.)

В следующих трех пунктах $K_0 \leftarrow$ множество четырехугольника площади 1.

b) Расмотрим наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все точки многоугольника $K_1$. Сколько и каких граней у этого многоугольника?

36

М462. Плоскость пересекаем боковые ребра правильной четырехугольной парамиды в точках, отстоящих от вершины на расстояния a, b, c и d (рис. 1). Докажите, что

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

М463. Данные натуральные числа $x_1, x_2, \dots, x_m, y_1, y_2, \dots, y_n$. Суммы $x_1 + x_2 + \dots + x_m$ и $y_1 + y_2 + \dots + y_n$ равны между собой и меньше mn. Докажите, что в равенстве $x_1 + x_2 + \dots + x_m = y_1 + y_2 + \dots + y_n$ можно вычеркить часть слагаемых макс, чтобы снова получилось верное равенство.

$$4 + 5 + 5 = 1 + 1 + 6 + 6 \quad (\text{неЛЬЗЯ}),$$
$$3 + 3 + 4 + 5 = 1 + 1 + 6 + 7 \quad (\text{МОЖНО})$$

Обозначим через $\alpha$ величины угла, которые образует высота парамиды с боковыми ребрами, через $A, B, C, D$ — точки пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами и высотой, через $H$ — вершину парамиды (рис. 1). Ясно, что между длинами $a, b, c$ и $d$ должны быть неокоторое соответствие: ведь через три точки $A, B, C$ проходит единственная плоскость, следовательно, $d$ можно выразить через $a, b$ и $c$. Получить такое соответствие, можно, выразив длину общей бисекторицы $HK$ в каждом из треугольников $AHC$ и $BHD$ через угол $\alpha$ и длины их сторон: $a, c$ (в одном) и $b, d$ (в другом) и приравняв результаты. Именно так и получится треугольное равенство.

Для того чтобы получить нужную формулу длины бисекторицы $l = |HK|$ в треугольнике $AHC$, воспользуемся тем, что $S(AHC) = S(AHK) + S(KHC)$ (рис. 2). Умножив на 2, получим

$$ac \sin 2\alpha = al \sin \alpha + cl \sin \alpha,$$

откуда

$$\frac{2\cos \alpha}{l} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}.$$

Аналогично из треугольника $BHC$

$$\frac{2\cos \alpha}{l} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}.$$

Отсюда

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}.$$

Н. Васильев

◆

Будем вести доказательство индукцией по $k = m + n$. Так как $x_1 + x_2 + \dots + x_m \geq m, y_1 + y_2 + \dots + y_n \geq n$, то mn > m, mn > n, открываем $m \geq 2, n \geq 2, k \geq 4$. Если $k = 4$, то есть $m = n = 2, x_1 + x_2 = y_1 + y_2 < 4$, то хотя бы одно из чисел $x_1, x_2$ равно 1 и хотя бы одно из чисел $y_1, y_2$ равно 1. Так что для $k = 4$ утверждение задачи справедливо. Предположим, что утверждение доказано для $m = n = k$, и доказем его для $m + n = k + 1$.

Пусть $x_1$ — наиболее из чисел $x_1, x_2, \dots, x_m, y_1$ — наиболее из чисел $y_1, \dots, y_n$ ($m + n = k + 1$). Если $x_1 = y_1$, то вычеркиваем $x_1$ и $y_1$. Пусть $x_1 > y_1$. Расстояние равенство

$$(x_1 - y_1) + x_2 + \dots + x_m = y_2 + \dots + y_n,$$

(*) содержащшее все $m + n - 1 = k$ слагаемых. Чтобы привести к нему индукционное предложение, нужно проверить, что $y_2 + \dots + y_n < m(n - 1)$. Положим $S = y_1 + y_2 + \dots + y_n$. Тогда $y_1 \geq \frac{S}{n}$ и, следовательно,

$$y_2 + \dots + y_n < S - \frac{S}{n} = S \cdot \frac{n - 1}{n}.$$

Так как $S < mn$, то $y_2 + \dots + y_n < mn \cdot \frac{n - 1}{n} = m(n - 1)$.

Вычеркием в равенстве (*) часть слагаемых так, чтобы снова получилось верное равенство (это можно сделать по предположению индукции); мы получим либо исключаем, либо равенство, содержащшее в левой части разность $x_1 - y_1$. В последнем случае нужно $y_1$ перевести в правильную часть.

Д. Бернистей, Ю. Ионин

37

М464. На плоскости данной 1000 квадратов со стороными, параллельными осем координат. Пусть $M$ — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы любая точка множество $M$ попала не меньше чем в один и не более чем в четыре отмеченных квадратов.

Докажем эту лемму. Можно считать, что общая точка — это начало координат $O$. Из пути центров данных квадратов по крайней мере два центра обязаны лежать в одной из четырёх плоскости, определяемых осми координат (к четырём присоединяются ограничивающие их лучи). Пусть центры $O_1$ и $O_2$ квадратов $S_1$ и $S_2$ лежат в I четверти, а $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ — координаты точки $O_1$ и $O_2$. Выберем из чисел $x_1, y_1, x_2, y_2$ наиболее;
пустую, направим, $x_1$. Покажем, что тогда $O_2 \in S_1$. Действительно, ясно, что точка $(x_1; x_2) \in S_1$. Поскольку $O \in S_1$, отсюда следует, что всякая точка $(x; y)$ такая, что $0 \leq x \leq x_1$, $0 \leq y \leq x_1$, принадлежит $S_1$. В частности, $(x_2; y_2) \in S_1$, что и требовалось.

Описем теперь правильное «отмеченных» квадратов. Пусть $K_1$ — наиболее из данных 1000 квадратов (зесь и далее, если наиболее не несколько, берем один из них). Пусть $K_2$ — наиболее из тех квадратов данного семейства, которые имеют центры вне $K_1$; $K_3$ — наиболее из тех квадратов данного семейства, которые имеют центры вне $K_1$ и $K_2$, и т. д. Этот процесс оборвет с построением такого квадрата $K_n$, что вне $K_1$, …, $K_n$ нет точек множества $M$ (общее число квадратов конечного). Отмеченные таким образом квадраты $K_1$, …, $K_n$ удовлетворяют, оченьному из условий задачи: они покрывают множество $M$. Чтобы показать, что они удовлетворяют и второму условию, достаточно убедиться, что никакие пять из них не имеют общей точки. Действительно, по лемме, если такая точка нашлась, один из отмеченных квадратов содержал бы центр другого. Остается заметить, что для выбранных нами квадратов это не так. Действительно, если $i < j$, то центр $K_j$ вне $K_i$ по построению; при этом $K_j$ не больше $K_i$, следовательно, центр $K_i$ также вне $K_j$.

А. Плоткин

Ф478. На кубик, лежащий на ладкой горизонтальной поверхности, на летем моно Makой же кубик, причем кубики стальковатся соими параллельными граями. Скорость налета оценено кубика до стольновения была направлена под углом $\alpha$ к боковым граям (рис. 3). Как будут движаться кубики после стольновения, если коэффициент трения между граями кубков равен $\mu$?

Рис. 3.

Обозначим $F$ абсолотное значение сил упругости, с которым кубики действуют друг на друга при стольновении. Тогда абсолотное значение силы трения между кубками равен $\mu F$ (рис. 4).

За время $\Delta t$ проекция импульса каждой кубков на ось $Y$ изменяется по абсолотной величины на $F\Delta t$. Поэтому каждый кубок из кубков

$$|\Delta (mv_y)| = F\Delta t.$$

Абсолотное значение изменения проекции импульса каждой кубок на ось $X$ равно $\mu F\Delta t$:

$$|\Delta (mv_x)| = \mu F\Delta t.$$

Из этих соотношений видно, что для каждой кубика

$$|\Delta (mv_x)| = \mu |\Delta (mv_y)|.$$

Это соотношение справедливо для любых интервалов времени. Следовательно, если обозначить $v_x$ и $v_y$ проекции скорости кубика на оси $X$ и $Y$ после стольновения кубков, $v_x$ и $v_y$ — значения ее проекций до стольновения, то

$$\mu m |v'_x - v_y| = m |v'_x - v_x| \Rightarrow \mu' |v'_x - v_y| = |v'_x - v_x|.$$

Обозначим $u$ и $w$ скорости кубков $I$ и $II$ до стольновения ($w = 0$), $u'$ и $w'$ скорости кубков $I$ и $II$ после стольновения. Считая, что потеря энергии при стольновении происходит только за счет действия силы трения, получим для кубика $I$ ($u_x = u \cos \alpha$, $u_y = u \sin \alpha$)

38

$$u'_y = 0, u'_x = u \cos \alpha - \mu u \sin \alpha = u (\cos \alpha - \mu \sin \alpha),$$
для кубика II ($w_x = 0, w_y = 0, w = |\vec{w}|$)
$$w'_y = u \sin \alpha, w'_x = \mu u \sin \alpha \quad (u = |\vec{u}|).$$
При абсолотно неупругом (вдоль оси Y) ударе
$$u'_y = w'_y = \frac{1}{2} u \sin \alpha,$$
$$u'_x = u \cos \alpha - \frac{1}{2} \mu u \sin \alpha.$$
(Мы считали, что скорость $\vec{u}$ направлена параллельно линии, соединяющей центры масс кубиков, и площадь контака при соударении равна площади соприкасающих граней. При этих условиях кубики после удара не врашаются.)

И. Слободецкий

Ф479. Для определения неизвестного объема $V_1$ баллона I собиратом схему, приведенную на рисунке 5. Объем баллона II равен $V_2$ и $V_2 \leq V_1$. Сначала система откачивается до давления $p_0$, близко к нулю. Затем закрывают кран B и заполняют баллон II газом до давления $p_0$. После этого закрывают кран A, открываюм кран B и измеряюм установившееся в системе давления $p_1$ манометром C. Затем при закрытом кране B вынь направляюм баллон газом до давления $p_a$, открываюм кран B и измеряюм установившееся в системе давления $p_2$. Эту операцию повторяют n раз. Покажите, что отношение $\frac{p_n - p_0}{np_a}$ есть величины по стойнная и равная $\frac{V_2}{V_1 + V_2}$.

Из условия эксперимента с помощью закона Бойля — Марпорта получается система n уравнений
$$p_0 V_1 + p_a V_2 = p_1 (V_1 + V_2),$$
$$p_1 V_1 + p_a V_2 = p_2 (V_1 + V_2),$$
$$p_{n-1} V_1 + p_a V_2 = p_n (V_1 + V_2).$$
Эта система позволяет выразить все $p_i$ ($i = 1, 2, \dots, n$) через $p_0$ и $p_a$. Действительно,
$$p_i = \frac{p_{i-1} V_1 + p_a V_2}{V_1 + V_2},$$
откуда
$$p_i - p_a = \frac{V_1}{V_1 + V_2} (p_{i-1} - p_a) = \alpha (p_{i-1} - p_a),$$
где $\alpha = \frac{V_1}{V_1 + V_2}$. Следовательно,
$$p_{i-1} - p_a = \alpha (p_{i-2} - p_a), p_{i-2} - p_a = \alpha (p_{i-3} - p_a)$$ и т. д.
Таким образом, $p_n - p_a = \alpha^n (p_0 - p_a)$, откуда
$$p_n = p_a + \alpha^n (p_0 - p_a),$$
$$p_n - p_0 = (p_a - p_0)(1 - \alpha^n).$$
Но $1 - \alpha^n = (1 - \alpha)(1 + \alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1}) \approx n \frac{V_2}{V_1 + V_2}$ (поскольку $V_1 \gg V_2$ и, следовательно, $\alpha$ близко к единице). Значит,
$$p_n - p_0 \approx (p_a - p_0) n \frac{V_2}{V_1 + V_2},$$
$$\frac{p_n - p_0}{n (p_a - p_0)} \approx \frac{V_2}{V_1 + V_2}.$$
Если $p_0 \ll p_a$, то
$$\frac{p_n - p_0}{np_a} \approx \frac{V_2}{V_1 + V_2}.$$

Рис. 5.

А. Митрофанов

39

Ф480. Корабль приводится в движение водометным диизатемом, выбрасывающим с корпы струную воды со скоростью $u$. Ежесекундно выбрасывается масса воды $m$, которая берется из реки. При каком значении скорости корабля $k$, $n$, $d$. движением максимален? Силой треня и сопротивлением воды претензь.

Полная работа $A$, совершаемая двигателем за малое время $\Delta t$, равна кинетической энергии, которая сообщается воде, выбрасываемой из двигателя корабля. Так как масса воды, выбрасываемой за это время, равна $\mu \Delta t$, то

$$A = \frac{(\mu \Delta t) u^2}{2}.$$

Полезная же работа, совершаемая за это время, равна изменению кинетической энергии корабля. Если масса корабля равна $M$, то

$$A_{\text{пол}} = \frac{M (v + \Delta v)^2}{2} - \frac{M v^2}{2} = M v \Delta v,$$

где $v$ — абсолотное значение скорости корабля. Пренебрегая квадратом малой величины $(\Delta v)^2$, получим $A_{\text{пол}} = M v \Delta v$. Для того чтобы найти $M \Delta v$, можно воспользоваться законом сохранения импульса. Так как трене и сопротивление претензioso малы, то импульс системы вода — корабль не меняется. Следовательно,

$$M v = M (v + \Delta v) - \mu \Delta t (u - v).$$

Отсюда

$$M \Delta v = \mu \Delta t (u - v).$$

К. п. д. двигателя равен

$$\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A} = \frac{2 M v \Delta v}{(\mu \Delta t) u^2} = \frac{2 (u - v) v}{u^2}.$$

Это выражение максимального при $v = \frac{u}{2}$.

◆

При замыкании батареи аккумуляторов на сопротивление $R$ по цепи идет ток

$$I_1 = \frac{n \mathcal{E}}{(n - 1) r + 10 r + R},$$

а на сопротивлении $R$ нагрузки выделяется мощность

$$W_1 = I_1^2 R = \frac{n^2 \mathcal{E}^2}{[(n - 1) r + 10 r + R]^2} R.$$

После замыкания поврежденного аккумулятора по цепи будет идти ток

$$I_2 = \frac{(n - 1) \mathcal{E}}{(n - 1) r + R},$$

а на нагрузке будет выделяться мощность

$$W_2 = I_2^2 R = \frac{(n - 1)^2 \mathcal{E}^2}{[(n - 1) r + R]^2} R.$$

Приравнивая $W_1$ и $W_2$, получим

$$\frac{n^2}{[(n - 1) r + 10 r + R]^2} = \frac{(n - 1)^2}{[(n - 1) r + R]^2}.$$

Отсюда

$$R = 9 r (n - 1).$$

И. Слободецкий