Bài toán theo ý nghĩa hình học của đạo hàm

40

M. Chernyavsky

Bài tập
về ý nghĩa hình học của đạo hàm

Trong § 10 của sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của giải tích”, phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm khả vi được đưa ra và giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm *). Các nhiệm vụ được thảo luận trong ghi chú này tận dụng cơ hội để nghiên cứu các thực tế hình học của phương pháp phân tích.

Từ khóa học vật lý, chúng ta biết rằng gương phản xạ của máy chiếu thường có hình dạng giống như một hình parabol quay. Điều này được giải thích bằng tính chất của parabol được xét trong bài toán sau:

Bài tập 1. Chứng minh tia sáng phát ra từ tiêu điểm $F(0, 1/4a)$ của parabol $y=ax^2$ bị phản xạ tại một điểm bất kỳ song song với trục đối xứng của nó **).

Lời giải. Đặt $M(x_0; ax^2)$ là một điểm tùy ý của parabol (Hình 1). Từ định luật phản xạ ánh sáng, suy ra rằng các góc tạo với tiếp tuyến MP của tia tới FM và tia phản xạ MA bằng nhau. (Trong Hình 1: $\hat{1}=\hat{2}$). Ta cần chứng minh MA | Oy, bằng đẳng thức $\hat{2}=\hat{3}$ hoặc, xét đến đẳng thức trước đó, đẳng thức $\hat{1}=\hat{3}$. Cái sau suy ra từ tính đều của tam giác PFM. Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng $FM|=|FP|$ là đủ.

$$|FM| = \sqrt{x_0^2 + \left(ax_0^2 - \frac{1}{4a}\right)^2} = \sqrt{a^2x_0^2 + \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{16a^2}} = \left|ax_0^2 + \frac{1}{4a}\right|.$$

Để tính $|FP|$ chúng ta viết phương trình cho tiếp tuyến MP. Vì $y'=2ax$ nên phương trình này là $y - ax_0^2 = 2ax_0(x - x_0)$. Trường trong đó là $x=0$, chúng ta hãy tìm tọa độ của điểm $P$: $y = -ax_0^2$. Vì vậy, $|FP| = \left| \frac{1}{4a} - (-ax_0^2) \right| = \left| ax_0^2 + \frac{1}{4a} \right| = |FM|$.

Rất dễ dàng để giải bài toán, trong đó cần tìm hệ số góc của tiếp tuyến hoặc phương trình tiếp tuyến của đồ thị của một hàm số nhất định nếu biết điểm tiếp tuyến. Tuy nhiên, trong các bài toán ứng dụng đôi khi cần phải tìm hàm này từ một số điều kiện bổ sung. Chúng ta sẽ gặp trường hợp như vậy trong bài toán tiếp theo:

Nhiệm vụ 2. Mặt cắt của địa điểm ô tô có dạng parabol (Hình 2) với trục đi thẳng đứng qua giữa địa điểm với chiều cao phần trung tâm là 10 m và chiều dài cơ sở là 120 m. Độ dốc bão hòa ở các đầu chung của địa điểm sẽ là bao nhiêu?

Lời giải. Lưu ý rằng độ dốc bão hòa là độ dốc của các đoạn tiếp tuyến

Hình 1.

41

Hình 2.

tương ứng với parabol tại các điểm $A$ và $B$. Chúng ta hãy chọn một hệ tọa độ như được chỉ ra trong Hình 2. Khi đó parabol trong hệ này được cho bởi một phương trình có dạng $y = ax^2 + 10$. Vì điểm $A(60; 0)$ nằm trên parabol nên $a = -\frac{1}{360}$.

Do đó, phương trình của parabol là $y = -\frac{x^2}{360} + 10$. Do đó $y' = -\frac{x}{180}$.

Tại điểm $A$: $tg\alpha = y'(-60) = \frac{1}{3}$, $\alpha = \arctg\frac{1}{3}$.

Tại điểm $B$: $tg\beta = y'(60) = -\frac{1}{3}$, $\beta = \pi - \arctg\frac{1}{3}$.

Đôi khi bạn cần kiểm tra xem một đồ thị thẳng đã cho có liên quan đến một hàm đã cho hay không. Để làm được điều này, chỉ cần kiểm tra hai điều kiện cần thiết sau đây và

Hình 3.

tổng hợp và đủ để chạm vào:

1. Đường thẳng và đồ thị hàm số có một điểm chung.
2. Tại một điểm tổng quát, giá trị của một hàm số tùy ý bằng độ dốc của đường thẳng đã cho.

Bài toán 3. Đường thẳng $x + 4y - 4 = 0$ có chạm vào hyperbol $y = \frac{1}{x}$ không?

Lời giải. Đã giải quyết được hệ thống
$$\begin{cases} x + 4y - 4 = 0, \\ xy = 1, \end{cases}$$

chúng ta tìm được điểm chung của đường thẳng và hyperbol (2; 1/2). Hàm tùy ý $y = \frac{1}{x}$ bằng $y' = -\frac{1}{x^2}$ và giá trị của nó tại điểm giao nhau là $-y'(2) = -\frac{1}{4}$. Nhưng độ dốc của đường thẳng là như nhau. Điều này có nghĩa là đường này chạm vào hyperbol tại điểm (2; 1/2).

Bài toán 4. Tìm góc nhìn thấy parabol $y = x^2$ từ điểm $A$. (2; -1).

Lời giải. Rõ ràng, góc này được tạo thành bởi hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm $A$ (Hình 3). Chúng ta hãy biểu thị góc mong muốn bằng $\alpha$ và góc nghiêng của các tiếp tuyến với trục $Ox$ bằng $\alpha_1$ và $\alpha_2$. Sau đó
$$tg\alpha = tg(\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{tg\alpha_2 - tg\alpha_1}{1 + tg\alpha_1 \cdot tg\alpha_2} = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 \cdot k_2},$$
trong đó $k_1$ và $k_2$ biểu thị các hệ số góc

43

Pis. 5.

Pis. 6.

Pis. 7.

điểm với hoành độ $x_0$ thì cần và đủ (so sánh với điều kiện nêu trước bài 3) là hai điều kiện sau được thỏa mãn:

1. $f(x_0) = \varphi(x_0)$;
2. $f'(x_0) = \varphi'(x_0)$.

Bài 6. Đường tròn bán kính 1 có tâm nằm trên dải dương Oy tiếp xúc với parabol $y = x^2$. Tìm điểm tiếp tuyến $M$ và vị trí tâm của đường tròn $C$.

Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị tâm của hình tròn bằng $C(0; a)$. Khi đó phương trình của đường tròn sẽ là $x^2 + (y-a)^2 = 1$.

Chúng ta quan tâm đến sự tiếp tuyến của các parabol với hình bán nguyệt dưới (Hình 5, 6), phương trình của nó có dạng $y = a - \sqrt{1-x^2}$. Chúng ta hãy biểu thị hoành độ của điểm tiếp tuyến bằng $x_0$. Sử dụng điều kiện 1), 2), ta thu được

$$\begin{cases} a - \sqrt{1-x_0^2} = x_0^2, \\ \frac{x_0}{\sqrt{1-x_0^2}} = 2x_0, \end{cases}$$

đó là

$$\begin{cases} \sqrt{1-x_0^2} = a - x_0^2, \\ x_0 \left(1 - 2\sqrt{1-x_0^2}\right) = 0. \end{cases}$$

Một lời giải rõ ràng là $x_0 = 0$, $a = 1$ (Hình 6). Phương trình thứ hai có thêm hai nghiệm $x_0 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Chúng tương ứng với cùng một giá trị $a = \frac{5}{4}$.

Do đó, chúng ta thu được một trường hợp thú vị hơn: một đường tròn có tâm tại điểm $C\left(0; \frac{5}{4}\right)$, tiếp tuyến với parabol tại các điểm $M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{4}\right)$ và $M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{4}\right)$ (Hình 5).

Bài 7. Một điểm chuyển động thẳng dưới tác dụng của một lực không đổi có gia tốc $2 m/c^2$ và vận tốc ban đầu bằng 0. 3 giây sau khi bắt đầu chuyển động, lực dừng tác dụng và điểm bắt đầu chuyển động đều với cùng tốc độ. Tìm định luật chuyển động của một điểm và vẽ đồ thị chuyển động.

Lời giải. Chúng ta hãy chọn một hệ tọa độ sao cho tại thời điểm ban đầu điểm nằm ở gốc tọa độ: $s = 0$ tại $t = 0$. Sau đó với $0 \leq t \leq 3$ chúng ta có $s = t^2$. Tại $t \geq 3$, đồ thị chuyển động là một phần của tiếp tuyến với parabol $s = t^2$, được vẽ tại điểm (3, 9) theo hướng tăng $t$ (Hình 7). Do đó phương trình của ông có dạng

$$s - 9 = 6(t - 3)$$

hoặc

$$s = 6t - 9.$$

Như vậy, định luật chuyển động