Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

56

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Dưới đây là các mẫu lựa chọn đã được xuất bản cho kỳ thi viết đầu vào môn toán và vật lý năm 1978. Năm giờ được phân bổ cho bài viết ở cả môn toán và vật lý.

Mathematica
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$3\cos^2x \cdot (4 \cdot 3\sin^2x - 9) = 1$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{\log_3(9x + 18)} \leq \log_3(x + 2)$$
3. Trong tam giác $ABC$ góc $B$ vuông, các đường trung tuyến $AD$ và $BE$ vuông góc với nhau. Xác định góc $C$.
4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 6\cos x + 4\cos y = 5, \\ 3\sin x + 2\sin y = 0. \end{cases}$$
5. Dọc sông có các điểm $A, B, C$ (giữa $A$ và $C$). Tốc độ dòng chảy của sông ở đoạn $AB$ cao gấp đôi ở đoạn $BC$ và không đổi ở mỗi đoạn. Thuyền đã thực hiện ba chuyến: chuyến đầu tiên từ $A$ đến $C$, chuyến thứ hai từ $C$ đến $A$ và chuyến thứ ba từ $A$ đến $B$. Trong hai chuyến bay đầu tiên, tốc độ của nó so với mặt nước là như nhau và trong chuyến bay thứ ba, tốc độ của nó lớn hơn $1\frac{1}{4}$ lần so với hai chuyến bay đầu tiên. Chuyến bay đầu tiên kéo dài 7 giờ, chuyến thứ ba - 2 giờ. Nếu tốc độ hiện tại ở phần $AB$ giống với tốc độ ở phần $BC$ thì thuyền sẽ thực hiện chuyến đi đầu tiên sau 6 giờ (với cùng tốc độ so với mặt nước). Chuyến bay thứ hai kéo dài bao lâu? (Chuyến bay là chuyển động theo một hướng từ điểm bắt đầu đến điểm cuối cùng.)
6. Đỉnh $A$ của đáy đều $ABCA_1B_1C_1$ trùng với đỉnh của hình nón, các đỉnh $B$ và $C$ nằm trên mặt bên của hình nón này, còn các đỉnh $B_1$ và $C_1$ nằm trên chu vi của đáy của nó. Tìm tỉ số thể tích của hình nón và đáy nếu $|AB_1|:|AB|=5$.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{3x^2+2}{x} - 27 > 0$$

2. Kiểm tra xem số nào trong số $\arccos \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\pi n}{2}$, trong đó $n=0, \pm 1, \pm 2, \dots$, là nghiệm của phương trình
   $$\frac{\sqrt{3}}{\sin x} + \frac{1}{\cos 2x} = 6$$

3. Trong khai triển nhị thức $(1+x)^n$ theo thứ tự tăng dần, số mũ $x$, số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ năm bốn lần và tỉ số của số hạng thứ tư so với số hạng thứ sáu là $\frac{40}{3}$. Tìm $n$ và $x$.

4. Một hình thang $ABCD$ nội tiếp trong một đường tròn. Máy nổ vẽ qua đỉnh $A$ vuông góc với cạnh $CD$. Một đường vuông góc với đáy $AD$ được vẽ qua đỉnh $C$, cắt đoạn $AD$ tại điểm $M$ và đường tròn tại điểm $N$ sao cho $|CM|:|MN| = \frac{5}{2}$. Tìm góc ở đáy của hình thang.

5. Các đỉnh $B, C, D$ của hình bình hành $ABCD$ có tọa độ tương ứng $(-3; 2), (2; 3), (3; -4)$ (BD là đường chéo). Tìm thấy:

1. tất cả các giá trị của $a$ mà tọa độ của đỉnh $A$ là nghiệm của hệ bất phương trình
   $$\begin{cases} 2x - y - 2a \leq 0, \\ 2x + 6y + 5a \leq 0; \end{cases}$$
2. tất cả các giá trị của $a$ mà tọa độ của ít nhất một điểm của đoạn $BD$ là nghiệm của hệ thống này.

6. Độ dài của cạnh hình lập phương $ABCD_1B_1C_1D_1$ bằng $a$. Điểm $P$ là giữa cạnh $CC_1$, điểm $Q$ là tâm của cạnh $AA_1B_1B$. Đoạn $MN$ có các đầu nằm trên đường $AD$ và $A_1B_1$ cắt đường $PQ$ và vuông góc với đường thẳng đó. Tìm độ dài của đoạn này.

Vật lý
Tùy chọn 1

1. Quả bóng treo trên một sợi dây, tựa vào tường, như Hình 1. Tâm quả bóng $C$ nằm trên cùng một phương thẳng đứng với điểm treo $O$, sợi dây tạo thành một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng và bán kính kéo về điểm gắn sợi chỉ $A$ tạo thành một góc $\beta$. Ở giá trị nào hệ số ma sát giữa quả bóng và tường có thể đạt được trạng thái cân bằng như vậy? Hãy xem xét điều đó $\alpha + \beta = \pi/2$.
2. Trong một ống vũng nước nằm ngang bịt kín một đầu có không khí có độ ẩm tương đối $r_0=0,8$, được ngăn cách với khí quyển bằng một giọt thủy ngân dài $l=7,6$ cm. Độ ẩm tương đối của không khí sẽ là $r$ nếu ống được đặt thẳng đứng, đầu mở hướng xuống dưới? Nhiệt độ được duy trì không đổi, áp suất khí quyển bên ngoài $p=760$ mmHg. Nghệ thuật. Thủy ngân không chảy ra khỏi ống khi nó được lật lại.
3. Để thay đổi điện áp $E_3$ của điện trường Trái đất trên bề mặt của nó, người ta đã sử dụng hai bụi kim loại.

57

Trong quá trình quay, một điện tích $Q=2,1 \cdot 10^{-9}$ Cl chạy qua điện kế. Tính từ trường của Trái đất $E_3$. Ảnh hưởng của các giả định hiệu quả trong khu vực.

4. Khi chụp ảnh trên phim ảnh, hóa ra (do độ phân giải hữu hạn của phim) không chỉ những vật thể đó (nằm ở khoảng cách $d_0$) mà ống kính máy ảnh hướng vào, mà cả những vật thể ở gần và xa hơn một chút cũng sẽ được khắc họa sắc nét. Το là vật sắc nhọn nằm bên trong một khu vực nhất định $d_1 \div d_2$ ($d_1 < d_0$, $d_2 > d_0$, $d_1$ gọi là giới hạn gần của độ sâu trường ảnh, $d_2$ - giới hạn xa). Hóa ra là khi ống kính máy ảnh hướng vào một vật thể ở khoảng cách $d_0=10$ m thì ranh giới gần nhất của độ sâu trường ảnh nằm ở khoảng cách $d_1=7,8$ m. Tìm ranh giới xa.

Tùy chọn 2

1. Lối ra khỏi ngọn đồi trên mặt phẳng nằm ngang được thể hiện bằng một cung tròn có bán kính $R=4$ m (Hình 3). Bề mặt của slide nhẵn, và bề mặt ngang gồ ghề với hệ số ma sát $k=0,2$. Chiếc xe trượt tuyết đã trượt xuống đồi và vẫn ở khoảng cách $l=30$ m tính từ đầu của nó. Ở độ cao nào $h$ người ngồi trong xe trượt tuyết bị quá tải gấp đôi?

2. Nấu trong nồi áp suất được thực hiện ở nhiệt độ $t=108^\circ C$ và áp suất cao. Phần nước nào sẽ bay hơi sau khi giảm áp suất nồi áp suất? Nhiệt dung riêng của nước $c=1$ cal/(g g), nhiệt dung riêng bay hơi $\lambda=539$ cal/g. Truyền nhiệt trong quá trình thiết lập trạng thái cân bằng là giả định.

3. Một electron bay vào một từ trường đều có cảm ứng $B$. Tại điểm $A$ nó có tốc độ $v$, tạo một góc $\alpha$ với hướng của trường (Hình 4). Ở giá trị nào của cảm ứng từ trường thì electron xuất hiện ở điểm $B$? Điện tích $e$, khối lượng $m$, khoảng cách $|A B|=L$.

4. Khoảng cách từ tiêu điểm phía sau của một đường mảnh đến ảnh lớn hơn 9 lần khoảng cách từ tiêu điểm phía trước đến chủ thể. Tìm mức tăng tuyến tính.

Tùy chọn 3

1. Hai khối có khối lượng $M=100$ g, mỗi khối được nối với nhau bằng một sợi dây, trượt xuống một mặt phẳng nghiêng một góc $\alpha=30^\circ$. Hệ số ma sát của thanh dưới trên mặt phẳng là $k_1=0,2$, thanh trên là $k_2=0,5$. Xác định lực căng của sợi.

2. Một mẫu đồng vị ngựa có khối lượng nguyên tử tương đối $A=61$ được đặt trong máy vi nhiệt có công suất nhiệt $C=100$ J/K. Trọng lượng mẫu $m=10$ mg. Trong quá trình phân rã hạt nhân $^{61}$CO, năng lượng $W=2 \times 10^{-19}$ J được giải phóng. Sau thời gian $\tau=50$ phút, nhiệt độ của nhiệt lượng kế tăng $\Delta t=0,06^\circ$. Hãy ước tính chu kỳ bán rã của $^{61}$CO. Số Avogadro là $N_0=6 \cdot 10^{23}$ mol$^{-1}$.

3. Điện tích nào $Q$ sẽ chạy qua điện kế sau khi đóng chìa khóa $K$ trong mạch điện?