Московский физико-технический институт

56

Московский физико-технический институт

Ниже публикуются образцы вариантов вступительных письменных экзаменов по математике и физике в 1978 году. На письменную работу как по математике, так и по физике отводится пять часов.

Mathematica
Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$3\cos^2x \cdot (4 \cdot 3\sin^2x - 9) = 1$$
2. Решить неравенство
   $$\sqrt{\log_3(9x + 18)} \leq \log_3(x + 2)$$
3. В треугольнике $ABC$ угол $B$ прямой, медианы $AD$ и $BE$ взаимно перпендикулярны. Определить величины угла $C$.
4. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} 6\cos x + 4\cos y = 5, \\ 3\sin x + 2\sin y = 0. \end{cases}$$
5. Вдоль реки расположены пункты $A, B, C$ (в между $A$ и $C$). Скорость течения реки на участке $AB$ вдвое больше, чем на участке $BC$, и на каждом из участков постояна. Катер совершил три рейса: первый из $A$ в $C$, второй из $C$ в $A$ и третий из $A$ в $B$. В первых двух рейсах его скорость относительно воды была одна и та же, а в третьем рейсе в $1\frac{1}{4}$ раза больше, чем в первых двух. Первая рейс длися 7 часов, третьий — 2 часа. Если скорость течения на участке $AB$ была такой же, как и на участке $BC$, то перный рейс катер совершил бы за 6 часов (с прежней скоростью относительно воды). Сколько времени длися второй рейс? (Рейс — движение в одном направлении от начального пункта до конечного.)
6. Вершина $A$ правильной примыла $ABCA_1B_1C_1$ совпадает с вершиной конуса, вершины $B$ и $C$ лежат на боковой поверхности этого конуса, а вершины $B_1$ и $C_1$ — на окружности его основания. Найти относение объемов конуса и примылы, если $|AB_1|:|AB|=5$.

Вариант 2

1. Решить неравенство
   $$\frac{3x^2+2}{x} - 27 > 0$$

2. Проверить, какное из чисел $\arccos \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\pi n}{2}$, где $n=0, \pm 1, \pm 2, \dots$, является решением уравнения
   $$\frac{\sqrt{3}}{\sin x} + \frac{1}{\cos 2x} = 6$$

3. В разложении binома $(1+x)^n$ по возрастанию покажатель степеней $x$ третье слагаемое в четыре раза больше пятого, а отношениечетвертого слагаемого к шестому равно $\frac{40}{3}$. Найти $n$ и $x$.

4. В окружность вписана трапеця $ABCD$. Динамир, проведенный через вершину $A$, перпендикулярен боковой стороны $CD$. Через вершину $C$ проведен перпендикуляр к основанию $AD$, пересекающий отрезок $AD$ в точке $M$, а окружность в точке $N$ так, что $|CM|:|MN| = \frac{5}{2}$. Найти величины угла при основании трапеции.

5. Вершины $B, C, D$ параллелограмма $ABCD$ имеет соответствие координаты $(-3; 2), (2; 3), (3; -4)$ (BD — диагональ). Найти:

1. все значения $a$, для которых координаты вершины $A$ являются решением системы неравенств
   $$\begin{cases} 2x - y - 2a \leq 0, \\ 2x + 6y + 5a \leq 0; \end{cases}$$
2. все значения $a$, для которых координаты хотя бы одной точки отрезка $BD$ являются решением этой системы.

6. Длина ребра куба $ABCD_1B_1C_1D_1$ равна $a$. Точка $P$ — середина ребра $CC_1$, точка $Q$ — центр грани $AA_1B_1B$. Отрезок $MN$ с концами на прямых $AD$ и $A_1B_1$ пересекает прямую $PQ$ и перпендикулярен ней. Найти длину этого отрезка.

Физика
Вариант 1

1. Шар висит на нити, опираясь о стенку, как показано на рисунке 1. Центр шара $C$ лежит на одной вертикали с точкой подвеса $O$, нить образует с вертикальной угол $\alpha$, а радиус, проведенный в точку крепления нити $A$, — угол $\beta$. При каких значениях коэффициента треня шара о стенку такое равновесие возможно? Считать, что $\alpha + \beta = \pi/2$.
2. В запаянной с одной конца горизонтальной лужешей трубке находится воздух с относительной влажностью $r_0=0,8$, отделенный от атмосферы каплей ртути длиной $l=7,6$ см. Какой станет относительной влажность воздуха $r$, если трубку поставить вертикально открытым коном вниз? Температура поддерживается постоянной, внешнее атмосферное давление $p=760$ мм рт. ст. Ртуть из трубки при ее переорачивании не выливается.
3. Для изменения напряжения $E_3$ собственного электрического поля Земли у ее поверхности использованы две металлические пыли.

57

За время поворота через гальванометр прошел заряд $Q=2,1 \cdot 10^{-9}$ Кл. Вычислить поле Земли $E_3$. Влиянием краевых эфективы претенбрець.

4. При фотографировании на фотопленке получится (из-за конечной разрешаюшей способности пленки) резко изобравенными не только те предметы (находящиеся на расстоянии $d_0$), на которые наведен объектив photoаппарата, но также и предметы, находящиеся несколько близке и несколько дальше расстояния. Το есть резким получится предметы, лежащие внутри некоторой области $d_1 \div d_2$ ($d_1 < d_0$, $d_2 > d_0$, $d_1$ называется близкой границей глубины резкости, $d_2$ — дальней). Оказалось, что при наведении объектаива photoаппарата на предмет, находящийся на расстоянии $d_0=10$ м, близкая граница глубины резкости расположена на расстоянии $d_1=7,8$ м. Найти дальней границу.

Вариант 2

1. Выезд с горки на горизонтальном плоскости представляется собой дуг окружности радиуса $R=4$ м (рис. 3). Поверхность горки гладкая, а горизонтальная поверхность — шероховатая с коэффициентом треня $k=0,2$. Санки, съехав с горки, оставились на расстоянии $l=30$ м от ее конца. На какой высоте $h$ человек в санках испытал двукратную перегрузку?

2. Приготовление пищи в кастрюлескороварке ведется при температуре $t=108^\circ C$ и повышенном давлении. Какая часть воды испарится после разгерметизации скороварки? Удельная теплоемкость воды $c=1$ кал/(г·гад), удельная теплота парообразования $\lambda=539$ кал/г. Теплообменом за время установления равновесия претенбрець.

3. Электрон влетает в однородное магнитное поле индукции $B$. В точке $A$ он имеет скорость $v$, которая составляет с направлением поля угол $\alpha$ (рис. 4). При каких значениях индукции магнитного поля электрон оказывается в точке $B$? Заряд электрона $e$, масса $m$, расстояние $|A B|=L$.

4. Расстояние от заднего фокуса тонкой линия до изобравения в 9 раз больше расстояния от переднего фокуса до предмета. Найти линейное уvelличение.

Вариант 3

1. Два бруска массой $M=100$ г каждый, связанные нитью, сокальзывают с наклонной плоскости с углом $\alpha=30^\circ$. Коэффициент треня нижнего бруска о плоскость $k_1=0,2$, верхнего — $k_2=0,5$. Определить натяжение нити.

2. В микрокалорийтере теплоемкости $C=100$ Дж/K помещен образец изотопа кобыла с относительной atomной массой $A=61$. Масса образца $m=10$ мг. При распаде ядра $^{61}$CO выделяется энергия $W=2 \times 10^{-19}$ Дж. Через время $\tau=50$ мин температура calorimetра повышалась на $\Delta t=0,06^\circ$. Оценить период полураспада $^{61}$CO. Число Авогадро $N_0=6 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$.

3. Какой заряд $Q$ протечет через гальванометр после замыкания ключа $K$ в схе-