Решение неравенств с модулем

48

Решение неравенств с моделем

В этой заметке излагается прием, который, в некоторых смысле, «автоматически» совпадет решение неравенств, содержащих переменную под знаком моделя, к решению систем и совокупности неравенств, где переменные уже свободны от знака моделя.

Пусть данные несколько неравенств — скажем, для простоты, для неравенства с одной (и той же) переменной:

$$f(x) > 0,$$
$$g(x) > 0.$$

Обозначим множество решений неравенства (1) через $A$, неравенства (2) — через $B$.

Если требуется найти множество чисел, которые одновременно удовлетворяют неравенству (1) и неравенству (2), то есть найти пересечение $C = A \cap B$ множество $A$ и $B$, то неравенства (1), (2) соединяют фигурой скобкой

$$\begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) > 0 \end{cases}$$

и называют системой неравенств («Алгебра и начала анализа 10», п. 123).

Если же требуется найти множество чисел, удовлетворяющих неравенству (1) или неравенству (2), то есть объединение $D = A \cup B$ множество $A$ и $B$, то неравенства (1), (2) соединяют квадратной скобкой

$$\begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) > 0 \end{cases}$$

и называют совокупностью нера-

венств *).

Повторим еще раз: когда ищут пересечение — говорят «система»; когда ищут объединение — говорят «совокупность». В таблице сведены три пары соответствующих друг другу понятый **).

При решении задач, как мы сейчас увидим, часто приходится рассматривать комбинации систем и совокупностей; чтобы избегать в таких случаях ошибок, следует аккуратно пользоваться вследующими выше обозначениями.

Объчный пример решения неравенств, содержащих переменную под знаком моделя, — «раскрытие» моделя — состоит в следующем. Исходя из определения моделя

$$|x| = \begin{cases} x, \text{ если } x \geqslant 0, \\ -x, \text{ если } x < 0, \end{cases}$$

множество допустимых значений переменной разбиают на непересекающие подмножества, на каждом из которых все функции, содержащие под знаком.modula, сохраняют знак. После этого решения исходной задачи сводится к решению совокупности системы неравенств.

Пусть, например, требуется решить неравенство

$$|x-1| + |x-2| > 3+x$$

Разобъем числового ось на непересе-

*) Абсолютно аналогично определению терминь «система уравнения» и «совокупность уравнения» («Алгебра и начала анализа 10», п. 122).

**) Таблицу можно было бы продолжить парой терминов «коньонкция — дизыонкция»; об этих терминах см., например, «Квант», 1971, № 4, с. 15, или 1947, № 12, с. 14, или 1975, № 1, с. 29.

49

каошпеся промежутки $|x| < 1$, $-(x-1)-(x-2) > 3+x$, $1 \leqslant x < 2$, $(x-1)-(x-2) > 3+x$, $x \geqslant 2$, $(x-1)+(x-2) > 3+x$.

Множествор решений верхней системы является пересечение $|x| < \infty$; $1[\cap] < \infty$; $0[$, то есть промежуток $|x| < \infty$; $0[$, средняя система решений не имеет; наконец, множество решений нижней системы есть пересечение $[2; +\infty][\cap]; 6 +\infty[$, то есть промежуток $|x| < \infty$; $0[$, Объединяя (совокупность!) полученные множества, получим ответ: $|x| < \infty$; $0[ \cup ] 6; +\infty[$.

При таком способе решения часто приходится рассматривать много случая, а порой и подслучаев. Кроме того, иногда раскрытие модели сопряжение с техническими трудностями (см. ниже пример 4).

В основе обещанного выше примера лежит простая теорема:

1. $|f(x)| \leqslant g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases} f(x) \leqslant g(x), \\ f(x) \geqslant -g(x); \end{cases}$
2. $|f(x)| \geqslant g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases} f(x) \geqslant g(x), \\ f(x) \leqslant -g(x). \end{cases}$

Она легко доказывается «раскрытем» модель. Пусть, например, $x_0$ является решением неравенства $|f(x)| \leqslant g(x)$, то есть $|f(x_0)| \leqslant g(x_0)$.

Тогда $g(x_0) \geqslant 0$. Если $f(x_0) \geqslant 0$, то $|f(x_0)| = f(x_0)$ и неравенство (3) принимает вид $f(x_0) \leqslant g(x_0)$.

Поскольку $f(x_0) \geqslant 0$ и $g(x_0) \geqslant 0$, $f(x_0) \geqslant -g(x_0)$.

Неравенства (4), (5) означают, что в рассматриваемом случае $x_0$ является решением системы $\begin{cases} f(x) \leqslant g(x), \\ f(x) \geqslant -g(x). \end{cases}$ Если же $f(x_0) < 0$, то $|f(x_0)| = -f(x_0)$ и неравенство (3) принимает вид $-f(x_0) \leqslant g(x_0)$, что равносильно неравенству (5). Неравенство (4) выполняет в этом случае из того, что $f(x_0) < 0$, а $g(x_0) \geqslant 0$.

Закончите доказательство теоремы самостояльно.

Теорема, конечно, остается справедливой при замене повышную знака построого неравенства $\leqslant$ на знак строого неравенства $<$.

Пример 1. (Георг. ф-т МГУ, 1977). Решить неравенство
$2|x+1| > x+4$.

Решение.
$2|x+1| > x+4 \Leftrightarrow \begin{cases} 2x+2 > x+4, \\ 2x+2 < -x-4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 2, \\ x < -2. \end{cases}$

Пример 2. (Геол. ф-т МГУ, 1977). Решить неравенство
$|x-2| \leqslant 2x^2-9x+9$.

Решение.
$|x-2| \leqslant 2x^2-9x+9 \Leftrightarrow \begin{cases} x-2 \leqslant 2x^2-9x+9, \\ x-2 \geqslant -2x^2+9x-9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x^2-10x+11 \geqslant 0, \\ 2x^2-8x+7 \geqslant 0. \end{cases}$

Решения неравенств, входящих в полученную систему, изображены разной широкой на рисунке 1. Беря их пересечение, получаем ответ:
$-\infty; \frac{4-\sqrt{2}}{2} \cup \left[ \frac{5+\sqrt{3}}{2}; +\infty \right]$.

Вернемся к неравенству, которое в начале было решено «раскрытем» модель.

Пример 3. Решить неравенство
$|x-1| + |x-2| > 3+x$.

Рис. 1.

50

Решение. Дважды примения теорему, имеем
$$|x-1|+|x-2| > 3+x \Leftrightarrow \Leftrightarrow |x-1| > 3+x-|x-2| \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} x-1 > 3+x-|x-2|, \\ x-1 < -3-x+|x-2| \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} |x-2| > 4, \\ |x-2| > 2x+2 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} x-2 > 4, \\ x-2 < -4, \\ x-2 > 2x+2, \\ x-2 < -2x-2 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} x > 6, \\ x < -2, \\ x < -\frac{4}{3}, \\ x < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} x \leq 2, \\ 3^x \geq 1, \\ 3^x \geq 9, \\ x \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} x \leq 2, \\ x \geq 0, \\ x \geq 2, \\ x \leq 0 \end{cases}$$

Ответ: $]-\infty;0[ \cup ]6;+8[$.

Решения всех предыдущих задач несложно получить и с помощью «расkrитья» модели. Следующий пример решить эти примером довольно трудно, тогда как доказанная теорема позволяет решить его весма просто.

Пример 4. Решить неравенство
$$|3^x+4x-9|-8| \leq 3^x-4x-1.$$

Решение. Опять дважды примения теорему:
$$||3^x+4x-9|-8| \leq 3^x-4x-1 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} |3^x+4x-9| \leq 3^x-4x+7, \\ |3^x+4x-9| \geq -3^x+4x+9 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} 3^x+4x-9 \leq 3^x-4x+7, \\ 3^x+4x-9 \geq -3^x+4x-7, \\ 3^x+4x-9 \geq -3^x+4x+9, \\ 3^x+4x-9 \leq 3^x-4x-9 \end{cases}$$
Таким образом, искомое множество равно $[0; 2] \cap (1-\infty; 0] \cup [2; +\infty]$.

Ответ: $\{0, 2\}$.

Мы закончим эту заметку неравенством с параметром.

Пример 5. Решить неравенство
$$|1-|x||<a-x.$$

Решение.
$$1-|x||<a-x \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} 1-|x| < a-x, \\ 1-|x| > -a+x \end{cases}$$

51

решенный системы
$$\begin{cases} x < \frac{a+1}{2}, \\ a > -1. \end{cases}$$

На рисунке 4аштриховано пересечение двух этих множества, то есть множество решений системы, равносильной исходному неравенству. Из этого рисунка уже совсем легко выписать ответ: для $a \in ] -\infty; -1]$ решений нет, для $a \in ] 1; +\infty[$

Имеем $x \in ] -\infty; \frac{a-1}{2}$[$,$ для $a \in ] 1; +\infty[$

Имеем $x \in ] -\infty; \frac{a+1}{2}$[$.$

Внимательный читатель может заметить следующие: если уже авторы прибегают к плоскости $Oxa$, то не проще ли было с самого начала изобразить на этой плоскости график функции
$$a=x+|1-|x|$$
и, рассматривая область над этим графиком, выписать ответ. Такой читатель, безусловно, прав. (Красная линия на рисунке 4 и есть график функции $a=x+|1-|x|$.)

Метод, использовий координатную плоскость, одна из осей которого — ось значений параметра, является очень сильным, и с его помощью решаются многие трудные задачи.

Ураженная
Решить следующие неравенства (задачи 1-4):

1. (Биофак МГУ, 1968) $|3x+2| \leq x^2+x$.
2. (Физфак МГУ, 1974) $3|x-1| > (x-1)^2+1$.
3. (Георг. ф-т МГУ, 1977)
   a) $3|x-1| \leq x+3$;
   b) $4|x+2| < 2x+10$;
   b) $3|x+1| \geq x+5$.
4. (Геол. ф-т МГУ, 1977)
   a) $3x^2-|x-3| > 9x-2$;
   b) $x^2+4 \geq |3x-2|-7x$;
   b) $x^2-|5x-3| < x<2$.
5. (Отд. полит. экон. эконом. ф-та МГУ, 1977)
   a) Определить, при каких $a$ неравенство $3-|x-a| > x^2$ имеет хотя бы одно отрицательное решение.
   b) Определить, при каких $a$ неравенство $2>|x+a|+x^2$ имеет хотя одно положительное решение.

*) См. «Квант», 1970, № 9, c. 19.