Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

23

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

В этой статье рассматривается довольно простые опыты, на которых можно познакомиться со сложением двух взаимно перпендикулярных колебаний. Попробуйте самостоятельное проделать предлагемые опыты и объяснить полученные результаты.

I. В верхнюю часть рамы дверного проема вбейте гвоздь. Слегая согласно его, прилав ему форму крючка. Привяжите к крючку тонкую прочную некруташуюся нить (бечевку) длиной 1,4—1,6 м. К свободному концу нити привяжите гирю массой 0,5—0,6 кг.

Вы получите так называемый математический матник. При небольших отклонениях от положения равновесия (а также при указанных значениях длины нити и массы гири) колебания матрица можно считать гармонческими.

С помощью секундомера или секундной стрелки наручных часов определяйте период колебаний матрица.

ника в плоскости дверной рамы (будем называть ее основной плоскостью). Повторите опыт, вызвав колебания матрица с той же амплитудой в плоскости, перпендикулярной основной (назовем ее перендикулярной плоскостью). Убедитесь в том, что найденные значения перiodов колебаний в обихах служах практических совпадают.

Теперь проделайте опыты по сложению двух указанных колебаний. Сначала вызовите колебания матрица с амплитудой 20—25 см в основной плоскости вдоль оси X. Затем толкните груз (например, с помощью молоточка) с расчетом вызвать его колебания в перпендикулярной плоскости вдоль оси Y.

Вы увидите, что движение груза изменится. Прежде всего груз будет двигаться по другой траектории, причем эта траектория определяется соответствием амплитуды слагаемых колебаний и начальным сдвигом фаз между ними.

Какие же виды траекторий возникны? Расмотрим сначала несколько частных случаев. Предположим, вы ударили по грузу в тот момент, когда он проходил положение равновесия, — груз будет колебаться по прямой, составляющей некоторый угол с осью X (рис. 1).

Теперь ударьте по грузу в момент его набольшего смешения из положения равновесия — груз начинает двигаться по эллипсу (рис. 2). Если же нанести удар в другом крайнем положении груза (с противоположной стороны от положения равновесия)

24

новесия), траекторий груза будет по-прежнему эллипс, но направление движения изменится на противоположное.

Оказывается, и во всех остальных случаях груз будет двигатся тоже по эллипсу, причем направление движения будет определенся тем, к какому именно крайнему положению близок груз в момент удара. Проверьте это. Кроме того, убедитесь в том, что движение по любой траектории происходит с периодом, равным периоду крайнему положению близок груз в момент удара.

Заметим, что для успешного проведения описанных опытов необходима некоторая тренировка. Особенно трудно наносить удары по грузу в положении равновесия, когда скорость движения груза наиболее записать:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
а по оси $Y$ — по закону
$$y = y_m \cos (\omega t - \varphi_0).$$

Здесь $x$ и $y$ — смешенная матрица от положения равновесия, $x_m$ и $y_m$ — амплитуды крайнения, $\omega$ — циклическая частота крайнения и $\varphi_0$ — начальный сдвиг фаз.

В первом частном случае, когда удар наносится в положении равновесия, сдвиг фаз $\varphi_0$ может быть равным либо 0, либо $\pi$.

Если $\varphi_0 = 0$, крайнения матрицы описываются уравнениями
$$x = x_m \cos \omega t$$
и $$y = y_m \cos \omega t.$$
Поделим второе уравнение на первое:
$$\frac{y}{x} = \frac{y_m}{x_m},$$
или $$y = \frac{y_m}{x_m} x.$$

Это уравнение прямой, наклоненной к оси $X$ под углом $\alpha$ таким, что $\tg \alpha = \frac{y_m}{x_m}$. В частности, при равенстве амплитуды крайнения ($y_m = x_m$) $\tg \alpha = 1$ и $\alpha = 45^\circ$.

Если $\varphi_0 = \pi$, уравнение крайнения матрицы таковы:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
$$y = y_m \cos (\omega t - \pi) = -y_m \cos \omega t.$$

Отсюда
$$\frac{y}{x} = -\frac{y_m}{x_m},$$
или $$y = -\frac{y_m}{x_m} x.$$

При $y_m = x_m \tg \alpha = -1$ и $\alpha = 135^\circ$.

Второй частиный случай, когда удар наносится в крайних положениях груза, соответствует сдвигам фаз $\pi/2$ или $3\pi/2$. Для $\varphi_0 = \pi/2$ можно записать:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
$$y = y_m \cos (\omega t - \pi/2) = y_m \sin \omega t.$$

После несложных алгебраических преобразований получим:
$$\frac{x^2}{x_m^2} + \frac{y^2}{y_m^2} = 1.$$

Это действительное уравнение эллипса.
При $\varphi_0 = 3\pi/2$ результат оказался тем же.
Если $y_m = x_m$, эллипс превращается в окружность, уравнение которого
$$x^2 + y^2 = x_m^2.$$

Заметим, что при сдвиге фаз $\varphi_0 = \pi/2$ движение груза по эллипсу (или, в частности, по окружности) происходит против часовой стрелки, а при $\varphi_0 = 3\pi/2$ — по часовой стрелке.

П. Перейдем к более сложным опитам. Вбейте в дверной проем еще один гвоздь на расстоянии 30—40 см от первого и опять слегка загипте его. Подвесьте груз на двух нитях, прикрепленных к двум крючкам. Вы получите матрикс с двойным (или бифиллярным) подвесом.

Подберите длины нитей такими, чтобы расстояние от груза до дверного проема было длиннее нитей простого матрики, с которым вы проводили первую серию опитов.

Вызовите крайнения матрики в перпендикулярной плоскости и экспериментально определите его период крайнения. Убедитесь в том, что найденный период практическим совпадет с периодом крайнения математического матрика.

Затем охватите обе нити небольшим проводочным колечком и поднините колечко как можно выше (рис. 3). Полученный матрикс с разведением подвесом может колечаться как в основной, так и в

25

перpendикулярной плоскости, но частоты колебаний будут разными. Это связано с тем, что период колебаний нашего матрика в основной плоскости определяется длиной $l_1$, а в перpendикулярной плоскости — длиной $l_2$ (см. рис. 3). Поскольку $\omega = \sqrt{g/l}$ и $l_1 < l_2$, получается, что частота колебаний в основной плоскости больше, чем в перpendикулярной.

Как будет себя вести матрик с развовенным подвесом, если его заставить колебаться одновременно в двух взаимно перpendикулярных направлениях?

Вызовите колебания матрика в основной плоскости. Когда груз будет находиться в одном из краейних положений, удальте по нему в перpendикулярном направлении — матрик начнет колебаться и в/perpendикулярной плоскости тоже. Постайтесь сделать так, чтобы амплитуда обих колебаний совпадали.

Сначала груз движется по окружности вокруг вертикальной оси (рис. 4). Через некоторое время окружность превращается в эллипс. Большая ось эллипса постепенно поворачивается, а малая ось — уменьшается, так что в некоторых момент эллипс стягивает в отрезок. Затем груз опять движется по эллипсу, но уже в противоположном направлении, через некоторое время эллипс превращается в окружность. Дальше все перiodические повторяется. Характерно, что при каждом переходе эллипса в прямую направление врашения груза изменяется на противоположное.

Попробуем обьясить такое поведение матрика. Напомним, что частоты колебаний матрика в двух взаимно/perpendикулярных направлениях не одинаковы — в основной плоскости по оси $X$ частота несколько больше, чем в/perpendикулярной по оси $Y$. Это приводит к тому, что разность фаз колебаний с течение времени постепенно изменяется (а не остается постоянной, как в/perpendикулярном).

Предположим, в начальной момент разность фаз колебаний равна $\pi/2$ — груз движется по окружности против часов стрелки (см. рис. 4, а). Со временем колебания по оси $Y$ остаются от колебаний по оси $X$ все больше и больше — окружность переходит в эллипс. Когда отставание достигает $\pi$, груз будет колебаться по прямой, составляющей с осью $X$ угол $135^\circ$. При разности фаз $3\pi/2$ груз опять будет движется по окружности, но уже по часов стрелке (см. рис. 4, б). Еще через некоторое время разность фаз колебаний становится равной $2\pi$, то есть, другими словами, колебания совпадут по фазе — груз будет движется по прямой, наклоненной к оси $X$ под углом $45^\circ$. Наконец, разность фаз снова увеличится до $\pi/2$ — груз, как и в начальной момент, груз движется по окружности против часов стрелки. И так далее.