Одиннадцать правильных паркетов

9

О. Михайлов

Одиннадцать правильных паркетов

В повседневной жизни мы нередко встречаем с покрытями плоскости многоугольников: полы в жильых домах застилают паркетами, стены ванных комнат покрывают кафельными плитками, современные здания украшают орnamentами. О наиболее симметричных покрытях — математики называют их правильными паркетами — в «Кванте» уже писалось: в стате А. Колмогорова («Квант», 1970, № 3) обсуждалась задача классификации правильных паркетов. В настоящее время приводится одно из возможных ее решений.

Паркетом мы будем называть покрытые плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо совсем не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если его можно наложить на себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую направленную вершину.

Сколько всего правильных паркетов? Как они устроены? Наша задача — ответить на эти вопросы.

Легко видеть, что вообще паркет — не обязательно правильных — существует бесчисленное множество *) (показите это самостояльно). Однако, подобно тому как при бесчисленном многоугольнике во другой паркете можно сходиться не более шести и не менее трех многоугольников. Действительно, при схожении в одной вершине семи или более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике должен быть менее 60°, что невозможно (минimalный, угол — у треугольника — равен 60°).

*) Два паркеты мы считаем различием миногоугольников, так и при бесчисленном многоугольнике паркетов существует лишь конечное число правильных паркетов.

Иногда в этой статье мы будем для краткости правильные паркеты называть просто паркетами.

Решение нашей задачи естественно наать с исследованием вершин паркета. Из определения правильности сразу вытекает принципи эквивалентности вершин: любые две вершины устроены одинаково в том смысле, что звезды всех вершин одинаковы. (Звездой вершины называется фигурą, образованная всем многоугольниками, содержащими ее.)

Обозначим через $m_i$ число прилегающих к вершине $i$-угольников, а через $\alpha_i$ — величины внутри него угла правильного $i$-угольника. Тогда в каждой вершине, очень/no, выполняется соответствие соответствие.

$$\sum m_i \alpha_i = 360^\circ = 4d,$$

где в сумму мы включаем все слагаемые с номерами $i$, для которых к вершине примыкает хотя бы один $i$-угольник *).

Подставляя в эту формулу известное из геометрины выражение для $\alpha_i$, $\alpha_i = 2(1 - 2/i)d$, и сокращая на 2$d$, получим

$$\sum m_i \left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

Таким образом, числа $m_i$ являются целочисленными решениями уравнения (1). Однако, как мы увидим ниже, не все целочисленные решения уравнения (1) реализуют правильными паркетами!

Далее, в вершине паркета можно сходиться не более шести и не менее трех многоугольников. Действительно, при схожении в одной вершине семи или более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике должен быть менее 60°, что невозможно (минimalный, угол — у треугольника — равен 60°).

*) Впрочем, $m_i = 0$ для остальных $i$, поэтому формульно можно считать, что мы суммируем по всем $i$.

14

числовых решений, нам будет нужна следующая

Лемма. В вершине правильного паркета не могут сохраняться при различных многооудольника, у одного из которых нечемое число сторон.

Действительно, пусть такой паркет существует (рис. 5). Тогда вокруг нечетногоolgника оставшиеся $m$- и $n$-угольники должны идти черезясь. Поэтому при его обходе рядом оказывается два одинаковых многооудольника, вопросы условия леммы.

Благодаря лемме мы можем в (2) заменить $k$ на $2k_1$, $m$ на $2m_1$, $l$ на $2l_1$ и перейти к уравнению

$$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} + \frac{1}{k_1} = 1.$$

Не нарушая общности, можно предложить, что $k_1 < m_1 < n_1$. Тогда

$$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} + \frac{1}{k_1} < \frac{3}{k_1},$$

позному $k_1 = 2$. Следовательно, $\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} = \frac{1}{2}$, откуда $m_1 = 3$, $n_1 = 6$ (если $m_1 \geq 4$, то $n_1 \leq m_1$). Полученное решение $\alpha_4 + \alpha_6 + \alpha_{12}$ дает нам очередной паркет (рис. 6).

Паркеты с четырьмя многооудольниками в вершине

В этом случае мы приходим к уравнению

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} + \frac{1}{l} = 1.$$ (3)

Будем считать, что $l \leq k \leq m \leq n$. Легко видеть, что тогда $l \leq 4$. Если $l = 4$, то приходим к набору $4\alpha_4$. Если $l = 3$, то получаем уравнение

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} = \frac{2}{3},$$

из которого находится, что $k < 5$. Если $k = 4$, то, поскольку $m \geq k$, приходим к единственному решению $m = 4$, $n = 6$. Если же $k = 3$, то получаем два решения: $m = 4$, $n = 12$ и $m = 6$, $n = 6$.

Нам, следовательно, представит исследовать четыре набора:

$$4\alpha_4; \alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6; 2\alpha_3 + 2\alpha_6; \alpha_4 + 2\alpha_3 + \alpha_{12}.$$

Первый набор $4\alpha_4$ дает тривалный квадратный паркет (рис. 7).

Для комбинации $\alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6$ возможны две неэквивалентные вершины (рис. 8, а, б), но только варниант $8,a$ дает правильный паркет (рис. 8, б). Убедитесь самостояльно, что варниант $8,b$ не дает никакого правильного паркета.

Для $2\alpha_3 + 2\alpha_6$ также возможны две различных вершины (рис. 9, а, б), но только вторая дает правильный паркет (рис. 9, б). Достройка первого приводит к противоречению. Таким образом, «четырехного уравнений» паркетов три:

$$4\alpha_4; \alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6; 2\alpha_3 + 2\alpha_6.$$

Паркеты с пятую многооудольниками в вершине

В этом случае нужно найти решение уравнения

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} + \frac{1}{l} = \frac{3}{2}.$$ (4)

Из него сразу видно, что $j = k = l = 3$ (мы считаем, что $j \leq l \leq k \leq m \leq n$). Получилось уравнение $\frac{1}{n} + \frac{1}{m} = \frac{1}{2}$, у которого два решения: $m = 3$, $n = 6$ и $m = 4$, $n = 4$.

Остается теперь рассмотреть найденные комбинации:

$$\alpha_6 + 4\alpha_3 \text{ и } 2\alpha_4 + 3\alpha_3.$$

Первая из них дает единственный тип вершины и единственный правильный паркет (рис. 11). Вторая комбинация допускает две неэквивалентные вершины, причем каждая из них образует паркеты (рис. 12 и 13).

Таким образом, «пятимного уравнений» паркетов три:

$$4\alpha_3 + \alpha_6; (2\alpha_4 + 3\alpha_3)'; (2\alpha_4 + 3\alpha_3)''.$$

Паркеты с шестю многооудольниками в вершине

Совершенно очевидно, что такой паркет (рис. 14) — единственный, получающий из комбинации $6\alpha_3$.

Перечисленными выше случаями исчерпывается все многообразие правильных паркетов. Как видно из сказанного, общее число — одинаковать.