О Ньютоновских законах движения. Масса

15

И. Белкин

О Ньютоновских законах движения.
Масса

Законы механического движения тела были открыты Ньютоном в середине XVII века. Изложены они были в его книге «Математические начала натуральной философии», напечатанной в 1687 году. Без преуvelенияя можно сказать, что с этой книги началась современная механика.

Об основных идеях механики и открытых Ньютоном законах движения и будет расссказано в этой статье.

Немного о механике до Ньютона

Что бы понять суть той революции в науке о движении тел, которое совершил Ньютоон, познакомимся сначала в самых общих чертах с наукой о движении, которая существовала до Ньютона.

Набольшей известностью в допытомовские времена пользовалась механика Аристотеля (384—322 до н. э.). О ней мы здесь включите и рассскажем, хотя эта теория почти во всех своих частях оказалась ложной. Но именно ей пришла на смену механика Ньютона.

В своих построениях и умозаключениях Аристотель опирался на наблюдания, повседневный опыт. (На такой основе, несомненно, и строится научка.) Оdnako наблюдания эти часто были поверхностными и не сопровождались изменениями. Поэтому и выводы, сделанные Аристотелем, оказались неверными.

Наблюдания показывают, например, что повозка наровной дороге движется лишь тогда, когда ее тянет лошадь. Значит, для того чтобы тело движалось (обладало скоростью), нужно, чтобы на него влияло другое тело. Это влияние одного тела на другое наозовем силой. По Аристотелю сила — причина движения. При отсутствии силы возможен покой и только покой.

С другой стороны, наблюдания показывают, что существуют движения,

16

обходящая «без лошадей», без сил. Так, всякое тяжелое тело само по себе падает, движется вниз; легкие тела (дым, нагретый воздух и т. д.) движутся вверх и тоже сами собой. Наблюдения, наконец, показывают, что «без лошадей» движутся планеты.

На основании таких наблюданий Аристotelь делит все движения на два класса: насильственные и естественные. Причиной насильственных движений является влияние других тел, то есть сил. Что касается движений естественных, то здесь причина совсем другая. Аристotelь определяет ее так: всякому телу природой предназначего определенное место. Тяжелым телам отведено место внизу, легким — наверху. Планетам и звездам предопределено вечное врашение вокруг Земли. Так что причиной естественных движений является стремление. тел занять то место, которое им определено природой.

Но тяжелые тела могут двигаться и вверх. Как бы с брошенным вверх камнем? Согласно Аристotelю это уже насильственное движение. А причина его заключена в том, что природа не допускает существования пустоты: воздух стремится немедленно заполнить место, освобождаемое телом при движении, и все время подталкивает это тело. (Это представление о «боязни пустоты» сохранялось в физике вплоть до Галилея и Торричели, которые, наконец, покончили с ним.)

Мы видим, что механика Аристotelя не была единой науки о законах движения. Различным движением приписывались различные причины, а сами причины формулировались очень неопределенно. Но авторитет Аристotelя был столбелик, что его механика просуществовала почти два тысячеления, до времени Галилея и Ньюотона.

Механика Ньюотона.
Первый закон механики

В отличие от наивных представлений доньiotоновской механики, механика Ньюотона является единой теории, относящаяся к любым движениям тел. Все движения подчиняются одним и

17

тем же строим законам. Что же это за законы?

В механике Ньютона прежде всего обращается внимание на то, что движение должно изучаться относительно определенной системы отчета. Фактически Ньютон пользовется системой отчета, связанной с Солнцем.

В ту пору было уже известно, как движется планеты относительно Солнца (законы движения планеты изучены Кеплером). Анализируя эти движения, а также движения тела на Земле, изученные отчасти им самим, отчасти его предшественниками, прежде всего — Галилеем, Ньютон пришел кFundamentalному выводу: если какое-либо тело движется относительно Солнца сускорением, то этоускорение всегда вызвано влиянием на тело какого-либо другого тела или несколько тела. Так, сускорения движения планеты. Этиускорения вызываны влиянием Солнца. Ускорение падающего на Землю тела вызывано влиянием Земли. Ускорение тела, прикрепленного кружине, вызывано влиянием пружины и т. д. Это — закон приоды:ускорение любого тела относительно Солнца всегда вызвано влиянием на него какого-либо тела или тел. По Аристotelю сила — причина движения (скорости) тела и притом только насильственного. В механике Ньютона сила — причина изменения движения (изменения скорости —ускорения) тела при любых движениях.

А как должно вести себя тело, на которое не влияют другие тела? Согласно Аристotelю такое тело должно покопаться, скорость его должна быть равна нулю. По Ньютону у такого тела в системе отчета, связанной с Солнцем, должно быть равно нулюускорение. Это значит, что в этой системе тело, на которое не влияют другие тела, может или покопаться, или движаться прямолинейно и равномерно. В этом и состоит первый закон Ньютона — закон инерции.

Закон инерции справедлив не только тогда, когда на тело не влияют никакие другие тела. Ему подчиняются и такие тела, которые испытывают влияние других тел, но этих «других» тел не одно, а несколько, и влияние каждого из них компенсируется всем остальным. Слово «инерция» и обозначает явление, состоящее в том, что тело, на которое не влияют другие тела (силы) или влияния на которое других тел компенсируется, не изменяет своего движения, то есть не изменяет своего скорости.

Как мы говорили, Ньютон расматривает движение в системе отчета, связанной с Солнцем. Но если тело движется с постоянной скоростью относительно Солнца, то относительно любого другого тела, движущемся безускорения относительно Солнца, оно также движется с постоянной скоростью (но уже другой). Так что в системе отчета, связанной с этим «другим» телом, тоже выполняется закон инерции. Все такие системы называются инерциальными.

Первый закон Ньютона теперь принято формулировать так: сущесвучом также системы отчета, относительно компонных поступаемых движущемся мела сохраняются свою скорость постоянной, если на них не действуют другие мела или действующие мела компенсируется.

А если связать систему координат с телом, которое относительно инерциальной системы координат само движется сускорением?

Относительно такой системы любое тело, на которое не влияют другие тела, будет движаться сускорением. В этой системе тело может находиться в покое, несмотря на влияние на него другого тела. Все такие системы отчета, движущемся относительно инерциальной системы сускорением, называются неинерциальными.

Можно ли говорить, что система координат, связанная с Землей, — инерциальная? Строю говоря, нет, потому что Земля движется вокруг Солнца по кривolinейной траектории (почти по окружности), и следовательно, относительно Солнца она движется сускорением. Кроме того, Землявращается около своей оси. Это движение тожеускоренное. Но вокруг Солнца Земля совершает всего один оборот за год, а около оси — за сутки. Обаускорения настолько малы, что в большинстве случае Землю можно принять за инерциальную систему отчета.

18

Факт существования в мире инерционных систем отчета вовсе не представляется очевидным, само собой разумениемся. Античным мыслителем (Аристotelю) было трудно понять, почему тела продолжают двигаться и после того, как влияние на них других тел прекратилось. Почему, например, стрела продолжает свой полет после того, как тетива лука перестала ее толкать?

Галлией первым заметил ошибность убежения в том, что другие тела должны поддерживать движение (скорость) данного тела. Он задался вопросом: какое свойство движения тела зависит от влияния на него других тел? Никакие умозрительные расужения не могут дать ответ на этот вопрос. Здесь нужно обратиться неосредственно к природу, то есть к опыту.

Ответ, который дала природа, оказался неожиданным и состоит в следующем: существуют инерционные системы отчета; в них для поддержания движения тела с постоянной скоростью ничего не требуется — оно проискодит само собой.

Когда такой ответ был получен, это явилось крупнейшим открытом. Именно поэтому закон инерции относится к числу важнейших законов природы.

Взаимодействие тел и ускорения. Масса

Еще один важный факт установил Ньюотон из наблюдаемой за движениями тел. Он состоит в том, что когда какое-нибудь тело влияет на другие тела и сообщает ему ускорение, это другой тело «отвечает» ему тем же, то есть сообщает и ему ускорение. Влияние одного тела на другой не является односторонним — тела взаимодействия, сообщая друг друга ускорения. Если, например, стalkиваются два шара (столковение — это пример взаимодействия), ускорение получает каждый из них. Каковы эти ускорения? Как они направлены? Каковы их численные значения?

Опыт показывает, что во всех случаях ускорения взаимодействующих тел противоположны по направлению.

Если, например, движущийся шар стalkивается с таким же неподвижным шаром так, что скорость шара направлена по линии, соединяющей центры шаров (рис. 1), то скорость первого из них уменышится, а скорость второго — уведомится. А это и означает, что ускорения шаров противоположны по направлению.

Что касается абсолютиных значений (модулей) ускорений, то они могут быть любыми. Это зависит от того, как движались тела до взаимодействия (от начальных условиях), от характера взаимодействия, от того, какие именно тела взаимодействуют. Но для данной пары взаимодействующих тел относение ускорения всегда одно и то же. Они не зависит ни от характера взаимодействия, ни от начальных условий. Значит, зависит от какого-то особого свойства, таящегося в самом взаимодействующих телах. Свойство этого, внутренне присущее каждой теляty, выражается величиной массы тела.

Ныютон открыл это свойство и введил в научку величины, количественно характеризующую его, — массу. Что это за свойство?

Представим себе, что два взаимодействующих тела — это два шара одинаковых объемов. Первый из них — деревянный, второй — алюминевый. Если они каким-то образом станут взаимодействовать (они могут столькоаться, взаимодействовать через пружину (рис. 2, а); взаимодействие может осуществляться посредством нити, связывающей шары, врашающееся на центровкой машине (рис. 2, б); это может быть электрическое взаимодействие, если шары электрическими загружены), то каждой из них изменит свой скорость — получит ускорение (рис. 2).

И в любом случае ускорение $a_1$ де-

20

соответствие

$$\frac{m}{m_{\text{эт}}} = \frac{\overrightarrow{a}_{\text{эт}}}{\overrightarrow{a}}$$

где $m_{\text{эт}}$ — масса эталона, $\overrightarrow{a}_{\text{эт}}$ и $\overrightarrow{a}$ — соответственно ускорения эталона и тела, прибретаемые в процессе взаимодействия. Из (3) находится

$$m = \frac{\overrightarrow{a}_{\text{эт}}}{\overrightarrow{a}} m_{\text{эт}} = \frac{\overrightarrow{a}_{\text{эт}}}{\overrightarrow{a}} 1 (\text{кг}).$$

Но вернемся к соответствию (2), из которого следует формулы (3) и (3a). Вдумаемся, в какой мере оно обосновано опытом. Опыт нам показал лишь, что отношение ускорений двух взаимодействующих тел—вполне определенная величины (формула (1)).

Далее мы условиясь (именно условиясь!) приписать телу, ускорение которого меньше, то есть более инертному телу, большешую массу.

Matематически мы это выразили уравнения (2), из которого и следует, что большей массе соответствует меньше ускорение. Но вместе уравнения (2) можно написать, например, следующее формулу:

$$\frac{\overrightarrow{a}_2}{\overrightarrow{a}_1} = \frac{m_1^2}{m_2^2}$$

или

$$\frac{\overrightarrow{a}_2}{\overrightarrow{a}_1} = \frac{m_1^n}{m_2^n}.$$

Из этих формул тоже следует, что из двух взаимодействующих тел меньше ускорение получает только большей массы! Почему же мы выбрали простейшую формулу (2), из которого следует приведенный выше способ изменения массы?

Потому что при таком способе изменения массы оказывается, что масса нескольких тел, сложных вместе, равна сумме масс слгааемых тел (закон сохранения массы).

Представим себе, что при взаимодействии двух тел $A$ и $B$ изменили их ускорения и, пользовсь формулой (2), нашли, что масса тела $B$ второе большие массы тела $A$ (рис. 3, а):

$$m_B = 3m_A.$$

Возьем еще треть $D$, приведем его во взаимодействие с телом $A$, изменим ускорения этих тел и найдем отношение их масс. Предположим, оказалось, что масса тела $D$ вдвое большие массы тела $A$ (рис. 3, б):

$$m_D = 2m_A.$$

Соединним теперь вместе тела $B$ и $D$. Приведем «сложное» тела $B + D$ во взаимодействие с телом $A$ и по измененным их ускорениям найдем относение массы тела $B + D$ к массе тела $A$. Опыт показет, что (рис. 3, с):

$$m_{B+D} = 5m_A.$$

Выходит, что

$$m_{B+D} = m_B + m_D$$

— массы складываются.

Если для изменения масс тела пользоваться соответствием (*), то оказывается, что массы тел не складываются. Вот почему в физике приято соответствие (2).

В быту и в технике, в научных исследованиях часто (но не всегда) массу изменяют другим способом — взвешивание. Этот способ не связаан с законом движения; он связаан с законом всемирного тяготения, и им изменяется не инертная, а так называемая gravитационная масса. Но удивительно образом эти две совпадения по своей роли в механике массы совпадают. В этой статье идет речь об инертной массе, которая является мерой инертности тела. Именно из-за существа инертной массы, из-за существа свойства инертности взаимодействие тел оказывается причины появления ускорения (а не скорости) у взаимодействующих тел.

В обихode, а иногда и в книгах по физике под словом «масса» подразумеется количество веществ в теле. Но ведь количество веществ в теле определяется числом частиц (атомов или молекул) данного вещества в нем. А масса определяет инертность тела и ничего больше. Но масса тела из данного вещества пропорциональна числу частиц этого вещества в теле. Измерять массу легко, а считать число частиц трудно. По этой причине и пользоваться массой как мерой количества вещества.

Интересно, что сам Ньюотон определял массу именно как количество

21

вещества. Но это обьясняется тем, что в то время считалось, что все вещества состояят из совершенного одинаковых атомов, лишь различным образом движущихся. Поэтому одинаковые массы содержали и одинаковые количество веществ. Истинный же смысл массы состоит в том и только в том, что масса — мера инертистия тел. Никакого другого смысла масса в механике Ньютона не имеет.

Масса в теории относительной (Добавление)

В начале нивеннего столетия Эйнштейном была создана так называемая специализная теория относительной, совершивая в физике не менеею по значению революцию, чем в свое время механика Ньютона. Она оказала влияние на всю физику, и механика не составила исключения. Теория относительной показала, что законы механики Ньютона верны лишь приближительно. В частности, не вполне точна и приведенная нами формула (1). Если два тела взаимодействуют так, как показано на рисунке 2, б, и прибретают при этом ускорения $a_1$ и $a_2$, то в действии телности постояным остается не относение $|\vec{a}_2|/|\vec{a}_1|$, а относение

$$\frac{|\vec{a}_1|}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{m'_2}{m'_1}.$$

где $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ — соответственное скорости первого и второго тела, $c$ — постоянная величины, имеющая размерность скорости и равная $3.10^8$ м/с (таково же и значение скорости света!).

Посленство этого отношения тоже связано со свойством инертистия тел, выражаемым их массами. Так что мы опять можем написать, обозначив теперь массы тел через $m'_1$ и $m'_2$:

$$\frac{|\vec{a}_1|}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{m'_2}{m'_1}.$$

Формулу этого переписать в таком виде:

$$\frac{|\vec{a}_1|}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{m'_2}{m'_1}.$$

Сравнивая формулы (4) и (2), мы видим, что массы $m'_1$ и $m'_2$, о которых идет речь в теории относительной, и ньюто-