Bổ sung các dao động vuông góc lẫn nhau

23

Bổ sung các dao động vuông góc lẫn nhau

Bài viết này thảo luận về các thí nghiệm khá đơn giản trong đó bạn có thể làm quen với việc cộng hai dao động vuông góc lẫn nhau. Cố gắng tự mình thực hiện các thí nghiệm được đề xuất và giải thích kết quả thu được.

I. Đóng một chiếc đinh vào phía trên khung cửa. Nằm xuống theo anh, tạo hình móc câu cho anh. Buộc một sợi (dây) mỏng, chắc, không xoắn dài 1,4-1,6 m vào móc. Buộc một vật nặng nặng 0,5-0,6 kg vào đầu sợi chỉ tự do.

Bạn sẽ nhận được cái gọi là matnik toán học. Đối với những sai lệch nhỏ so với vị trí cân bằng (cũng như đối với các giá trị quy định về chiều dài của sợi và khối lượng của vật nặng), các dao động của ma trận có thể được coi là điều hòa.

Sử dụng đồng hồ bấm giờ hoặc kim giây của đồng hồ đeo tay, xác định chu kỳ dao động của ma trận.

nick trong mặt phẳng khung cửa (ta sẽ gọi là mặt phẳng chính). Lặp lại thí nghiệm, làm cho ma trận dao động với cùng biên độ trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chính (gọi là mặt phẳng vuông góc). Đảm bảo rằng các giá trị tìm thấy của chu kỳ dao động trong cả hai dịch vụ thực tế trùng khớp.

Bây giờ hãy thực hiện các thí nghiệm về phép cộng hai dao động đã cho. Đầu tiên, làm cho ma trận dao động với biên độ 20-25 cm trong mặt phẳng chính dọc theo trục X. Sau đó đẩy vật nặng (ví dụ dùng búa) với mong muốn làm cho nó dao động trong mặt phẳng vuông góc dọc theo trục Y.

Bạn sẽ thấy chuyển động của tải sẽ thay đổi. Trước hết, tải sẽ di chuyển theo một quỹ đạo khác và quỹ đạo này được xác định bởi sự tương ứng giữa biên độ của các thành phần dao động và độ lệch pha ban đầu giữa chúng.

Những loại quỹ đạo nào xuất hiện? Đầu tiên chúng ta hãy xem xét một số trường hợp đặc biệt. Giả sử bạn tác động vào tải vào thời điểm nó đi qua vị trí cân bằng thì tải sẽ dao động theo một đường thẳng tạo một góc nhất định với trục X (Hình 1).

Bây giờ tác động vào tải tại thời điểm nó dịch chuyển lớn nhất khỏi vị trí cân bằng - tải bắt đầu chuyển động dọc theo một hình elip (Hình 2). Nếu bạn đánh vào vị trí cực trị khác của tải (ở phía đối diện với vị trí cân bằng)

24

Novesiya), quỹ đạo của tải trọng vẫn là hình elip nhưng hướng chuyển động sẽ thay đổi theo hướng ngược lại.

Hóa ra là trong tất cả các trường hợp khác, tải trọng cũng sẽ chuyển động dọc theo một hình elip, và hướng chuyển động sẽ được xác định theo vị trí cực trị nào mà tải trọng gần nhất tại thời điểm va chạm. Hãy kiểm tra nó. Ngoài ra, hãy đảm bảo rằng chuyển động dọc theo bất kỳ quỹ đạo nào xảy ra với khoảng thời gian bằng khoảng thời gian của vị trí cực trị gần với tải trọng tại thời điểm va chạm.

Lưu ý rằng để thực hiện thành công các thí nghiệm được mô tả, cần phải có một số khóa đào tạo. Đặc biệt khó có thể tác động vào một tải ở vị trí cân bằng khi tốc độ chuyển động của tải được ghi nhận nhiều nhất:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
và dọc theo trục $Y$ - theo luật
$$y = y_m \cos (\omega t - \varphi_0).$$

Ở đây $x$ và $y$ là ma trận hỗn hợp của vị trí cân bằng, $x_m$ và $y_m$ là biên độ cực trị, $\omega$ là tần số cực trị tuần hoàn và $\varphi_0$ là độ lệch pha ban đầu.

Trong trường hợp cụ thể đầu tiên, khi cú đánh được thực hiện ở vị trí cân bằng, độ lệch pha $\varphi_0$ có thể bằng 0 hoặc $\pi$.

Nếu $\varphi_0 = 0$, các cực trị của ma trận được mô tả bằng các phương trình
$$x = x_m \cos \omega t$$
và $$y = y_m \cos \omega t.$$
Hãy chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:
$$\frac{y}{x} = \frac{y_m}{x_m},$$
hoặc $$y = \frac{y_m}{x_m} x.$$

Đây là phương trình đường thẳng nghiêng với trục $X$ một góc $\alpha$ sao cho $\tg \alpha = \frac{y_m}{x_m}$. Đặc biệt, khi biên độ của các cực trị ($y_m = x_m$) $\tg \alpha = 1$ và $\alpha = 45^\circ$ bằng nhau.

Nếu $\varphi_0 = \pi$ thì phương trình của ma trận cực trị là:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
$$y = y_m \cos (\omega t - \pi) = -y_m \cos \omega t.$$

Từ đây
$$\frac{y}{x} = -\frac{y_m}{x_m},$$
hoặc $$y = -\frac{y_m}{x_m} x.$$

Tại $y_m = x_m \tg \alpha = -1$ và $\alpha = 135^\circ$.

Trường hợp một phần thứ hai, khi tác động vào các vị trí cực trị của tải trọng, tương ứng với sự dịch pha $\pi/2$ hoặc $3\pi/2$. Đối với $\varphi_0 = \pi/2$ chúng ta có thể viết:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
$$y = y_m \cos (\omega t - \pi/2) = y_m \sin \omega t.$$

Sau khi biến đổi đại số đơn giản, ta có:
$$\frac{x^2}{x_m^2} + \frac{y^2}{y_m^2} = 1.$$

Đây là một phương trình thực sự của một hình elip.
Tại $\varphi_0 = 3\pi/2$ kết quả vẫn như vậy.
Nếu $y_m = x_m$, hình elip biến thành hình tròn, phương trình của nó là
$$x^2 + y^2 = x_m^2.$$

Lưu ý rằng với sự dịch pha $\varphi_0 = \pi/2$, chuyển động của tải dọc theo hình elip (hoặc cụ thể là dọc theo hình tròn) xảy ra ngược chiều kim đồng hồ và với $\varphi_0 = 3\pi/2$ - theo chiều kim đồng hồ.

P. Hãy chuyển sang những thí nghiệm phức tạp hơn. Đóng một chiếc đinh khác vào ô cửa cách chiếc đinh đầu tiên 30-40 cm và uốn cong lại một chút. Treo vật nặng lên hai sợi dây gắn vào hai móc. Bạn sẽ nhận được một ma trận có hệ thống treo kép (hoặc hai sợi).

Chọn độ dài của các sợi ren sao cho khoảng cách từ tải đến ô cửa dài hơn các sợi của ma trận đơn giản mà bạn đã thực hiện loạt thí nghiệm đầu tiên.

Gọi điểm cực trị của ma trận trong mặt phẳng vuông góc và xác định bằng thực nghiệm chu kỳ cực trị của nó. Đảm bảo rằng khoảng thời gian được tìm thấy trên thực tế trùng với khoảng thời gian cực trị của ma trận toán học.

Sau đó quấn cả hai sợi chỉ bằng một vòng dây nhỏ và nâng vòng này lên cao nhất có thể (Hình 3). Ma trận thu được với sự pha loãng huyền phù có thể dao động cả trong phần chính và phần

25

vuông góc với mặt phẳng nhưng tần số dao động sẽ khác nhau. Điều này là do chu kỳ dao động của ma trận của chúng ta trong mặt phẳng chính được xác định bởi độ dài $l_1$ và trong mặt phẳng vuông góc - bởi độ dài $l_2$ (xem Hình 3). Vì $\omega = \sqrt{g/l}$ và $l_1 < l_2$, hóa ra tần số rung trong mặt phẳng chính lớn hơn tần số rung trong mặt phẳng vuông góc.

Một ma trận có hệ thống treo không liên kết sẽ hoạt động như thế nào nếu nó buộc phải dao động đồng thời theo hai hướng vuông góc với nhau?

Làm cho ma trận dao động trong mặt phẳng chính. Khi tải ở một trong các vị trí cực trị, hãy loại bỏ nó theo hướng vuông góc - ma trận cũng sẽ bắt đầu dao động trong mặt phẳng vuông góc. Cố gắng đảm bảo rằng biên độ của cả hai dao động trùng nhau.

Đầu tiên, tải di chuyển theo vòng tròn quanh trục thẳng đứng (Hình 4). Sau một thời gian, hình tròn sẽ biến thành hình elip. Trục chính của hình elip quay dần dần và trục nhỏ giảm dần, do đó đến một lúc nào đó hình elip co lại thành một đoạn. Sau đó tải lại di chuyển dọc theo hình elip, nhưng theo hướng ngược lại, sau một thời gian, hình elip biến thành hình tròn. Sau đó mọi thứ được lặp lại định kỳ. Đặc điểm là với mỗi lần chuyển hình elip sang đường thẳng thì hướng quay của tải sẽ thay đổi theo hướng ngược lại.

Hãy thử giải thích hành vi này của ma trận. Chúng ta hãy nhớ lại rằng tần số dao động của ma trận theo hai hướng vuông góc lẫn nhau là không giống nhau - trong mặt phẳng chính dọc theo trục $X$, tần số cao hơn một chút so với tần số vuông góc dọc theo trục $Y$. Điều này dẫn đến thực tế là độ lệch pha của dao động thay đổi dần dần theo thời gian (và không giữ nguyên không đổi, như trong phương vuông góc).

Giả sử rằng tại thời điểm ban đầu độ lệch pha dao động bằng $\pi/2$ - tải di chuyển quanh vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ (xem Hình 4, a). Theo thời gian, các dao động dọc theo trục $Y$ ngày càng giữ nguyên so với các dao động dọc theo trục $X$ - vòng tròn biến thành hình elip. Khi độ trễ đạt $\pi$, tải sẽ dao động theo đường thẳng, tạo một góc $135^\circ$ với trục $X$. Với độ lệch pha $3\pi/2$, tải sẽ lại chuyển động theo đường tròn nhưng theo chiều kim đồng hồ (xem Hình 4, b). Sau một thời gian, độ lệch pha giữa các dao động trở nên bằng $2\pi$, tức là các dao động sẽ trùng pha - tải sẽ chuyển động theo đường thẳng, nghiêng với trục $X$ một góc $45^\circ$. Cuối cùng, độ lệch pha sẽ lại tăng lên $\pi/2$ - tải, vì tại thời điểm ban đầu, tải di chuyển quanh vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ. Và vân vân.