Sai lầm ở đâu?

38

Bài tập 9. Độ dài các cạnh SA và BC của hình tứ diện SABC bằng a, các cạnh SB và AC bằng b, các cạnh SC và AB bằng c. Xác định khối lượng của nó.

Lời giải. Gọi các đỉnh A, B, C của metahedron SABC là trung điểm của các cạnh NK, MK và MN của metahedron SMNK (Hình 12). Sau đó $|KN|=2|BC|=2a$, $|MN|=2|AB|=2c$, $|KM|=2|AC|=2b$. Theo điều kiện bài toán $|AS|=a$, $|BS|=b$, $|CS|=c$. Do đó, trong tam giác KSN, độ dài đường trung tuyến AS bằng nửa độ dài cạnh KN nên $\triangle KSN$ là góc vuông ($\widehat{KSN}=90^\circ$). Ta chứng minh tương tự rằng $\widehat{NSM}=\widehat{MSK}=90^\circ$. Nếu tam giác SMNK được đặt trên một mặt bên, chẳng hạn như SKM, thì cạnh SN sẽ có chiều cao của tam giác đó và do đó, $V_{SKNM}=\frac{1}{6}|SK|\times|SN|\cdot|SM|$.

Thể tích của khối nguyên thủy cần thiết là $\frac{1}{4}$ một phần thể tích của khối nguyên thủy SKNM (các khối ba mặt SKAB, SANC, SMCB và SABC có kích thước bằng nhau), do đó $V_{SABC}=\frac{1}{24}|SK|\cdot|SN|\cdot|SM|$.

Hãy đặt $|SM|=x$, $|SN|=y$, $|SK|=z$; Sau đó

$$\begin{cases} x^2+y^2=4c^2, \\ x^2+z^2=4b^2, \\ y^2+z^2=4a^2. \end{cases}$$

Từ đây

$$x^2+y^2+z^2=2(a^2+b^2+c^2).$$

Trừ từng phương trình của hệ (3) khỏi phương trình (4), ta thu được

$$\begin{cases} z^2=2(a^2+b^2-c^2), \\ y^2=2(a^2+c^2-b^2), \\ x^2=2(b^2+c^2-a^2). \end{cases}$$

Từ đây

$$x^2y^2z^2=8(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2).$$

Khối lượng cần thiết bằng:

$$V=\frac{1}{12}\sqrt{2(a^2+b^2-c^2)}\times(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2).$$

Bài tập

1. Với một tam giác cho trước, dựng một hình chữ nhật có đường chéo cho trước sao cho hai đỉnh của hình chữ nhật nằm trên đường thẳng chứa một cạnh của tam giác, và một đỉnh của hình chữ nhật này nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác.

2. Dựng một hình vuông sao cho đường thẳng chứa một cạnh của một tam giác chứa hai đỉnh của hình vuông và hai cạnh còn lại của tam giác chứa một đỉnh của hình vuông.

3. Đáy lớn của hình chữ nhật cắt cụt tứ giác đều tạo thành một góc $\alpha$ với mặt bên và một góc $\beta$ với mặt phẳng đi qua các cạnh đối diện của đáy trên và đáy dưới. Tìm tỉ số diện tích của các đáy.

4. Độ dài hai đáy của một hình thang cân bằng a và b ($a>b$), góc ở đáy lớn hơn là $\alpha$. Tìm độ dài bán kính của hình tròn ngoại tiếp hình thang.

5. Xác định độ dài bán kính của hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của một tam giác đều có cạnh a.

Sai lầm ở đâu?

Các quy tắc logic sau đây là không thể nghi ngờ: nếu từ câu A chúng ta tuân theo câu B và từ B chúng ta tuân theo câu C, thì từ A chúng ta tuân theo câu C.

Hãy áp dụng quy tắc này:

Tôi cho rằng Socrates là một người đàn ông bạo lực (A)

Tôi khẳng định Socrates là người bạo lực, thì tôi khẳng định Socrates là người bạo lực, thì tôi,

Tất nhiên là tôi đang nói sự thật. Hóa ra nếu tôi nói Socrates là người bạo lực thì tôi đang nói sự thật.

Sai lầm ở đâu?

H. Mikhailenko

41

mảnh $F$ nằm ở phía trước thấu kính (dọc theo đường truyền của tia sáng), đối với thấu kính phân kỳ thì nó nằm phía sau thấu kính.

Thuật ngữ “tiêu điểm trước” và “tiêu điểm sau” giúp hình thành ngắn gọn các quy tắc xây dựng hình ảnh giống nhau cho thấu kính dương và âm.

Hãy cùng xem xét một vài bài toán cụ thể. Tất cả đều được đưa ra trong kỳ thi tuyển sinh vào Viện Vật lý và Công nghệ Moscow.

Bài toán 1. Biết vị trí của vật $A$ và ảnh $A'$ so với trục chính MN của thấu kính (Hình 4), tìm vị trí tiêu điểm của thấu kính bằng cách xây dựng.

Đường thẳng đi qua các điểm $A$ và $A'$ khi cắt trục MN sẽ cho ra tâm của thấu kính $O$ (Hình 5). Đường vuông góc với trục MN khôi phục từ điểm $O$ xác định vị trí của mặt phẳng thấu kính.

Tia $AB$, song song với trục MN, được lấp đầy trước trong thấu kính, đi qua các điểm $A'$ và tiêu điểm phía sau $F'$ của thấu kính. Nếu $F'$ nằm phía sau thấu kính (Hình 5, a) - thấu kính hội tụ, nếu ở phía trước thấu kính (Hình 5, b) - nó đang phân kỳ. Tiêu điểm trước $F$ nằm đối xứng với thấu kính.

Sau khi tạo tia $AC$ đi qua tiêu điểm phía trước, chúng ta sẽ đảm bảo rằng sau khi khúc xạ trong thấu kính, nó chạm tới điểm $A'$.

Bài toán 2. Hình b thể hiện chùm tia ló ra từ thấu kính phân kì. Vẽ đường đi của chùm tia tới thấu kính.

Chúng ta hãy vẽ trục quang thứ cấp song song với chùm tia ló ra khỏi thấu kính (Hình 7). Các tia biểu thị một tia song song sau thấu kính, giao nhau trong mặt phẳng tiêu cự phía trước của nó trước khi gặp thấu kính. Bằng cách nối các điểm $A$, tại đó trục phụ giao với mặt phẳng tiêu cự phía trước và điểm $B$, tại đó tia chiết cắt giao với mặt phẳng của thấu kính, chúng ta xác định được hướng của tia song song $CB$.

Bài toán 3. Dùng thấu kính hội tụ thu được chùm tia hội tụ. Làm thế nào để nghĩ về tia nếu bạn đặt một thấu kính phân kỳ trên đường đi của tia sáng (Hình 8)?

Chúng ta hãy vẽ một trục quang thứ cấp song song với tia trên của chùm tia (Hình 9). Các tia song song sau thấu kính cắt nhau tại mặt phẳng tiêu cự phía sau của thấu kính (điểm $A$). Tiếp tục đường thẳng $AB$, chúng ta tìm đường đi của tia trên phía sau thấu kính. Chúng ta sẽ dựng tia dưới của chùm tia một cách đối xứng.

Bài toán 4. Một thấu kính phân kỳ có sự sắp xếp các mặt phẳng tiêu cự đã biết được cắt dọc theo đường kính. Các nửa được di chuyển theo phương thẳng đứng cách nhau một khoảng $h$ (Hình 10). Dựng ảnh của điểm $A$ nằm trên trục đối xứng của hệ.

Mỗi nửa thấu kính cho ảnh riêng của điểm $A$. Đầu tiên, hãy tạo một hình ảnh ở nửa trên của ống kính. Trục quang chính $M_1N_1$ của nửa trên đi qua các thấu kính song song với trục đối xứng của hệ, $O_1$ là quang tâm của phần trên, $AO_1$ là trục quang phụ của nó (Hình 11).

Chúng ta hãy vẽ một tia $AB$ tùy ý từ điểm $A$ ở phần trên của thấu kính và trục quang phụ $CD$ song song với nó. Sau khi gặp thấu kính, các tia song song cắt nhau tại tiêu diện phía sau tại điểm $E$. Điểm giao nhau của đường $BE$ và $AO_1$ xác định vị trí của hình ảnh $A'$.

Phần dưới của thấu kính tạo ra ảnh có vị trí đối xứng $A''$.

Trong gương cầu, ảnh được tạo ra theo các quy luật giống như trong thấu kính (Hình 12):

1. tia $AO$ đi qua tâm gương $O$ không đổi hướng khi phản xạ từ gương;
2. tia $BB_1$ tới gương song song với trục chính, bị phản xạ và đi qua tiêu điểm $F$ của gương (nhớ rằng tiêu điểm của gương cầu nằm sau cực của gương $P$ và tâm của nó $O$);
3. tia $DF$ đi qua tiêu điểm, sau khi phản xạ sẽ đi song song với trục quang chính.

Thật thuận tiện khi sử dụng chùm tia khác: