Lời giải bài toán M513, M514; F514, F521—F525

24

Lời giải bài toán
M513, M514, F514, F521—F525

M513. Chứng minh rằng tồn tại một số $A$ sao cho đồ thị của hàm số $y = A \sin x$ có ​​thể mô tả ít nhất 1978 ô vuông không tạo thành từng cặp. (Một hình vuông được gọi là nội tiếp nếu tất cả các đỉnh của nó đều thuộc đồ thị.)

Hình 1.

Hình 2.

Để điểm $(x; y)$ là đỉnh của hình vuông nội tiếp trong đồ thị $\Gamma$ tâm $O = (0; 0)$ thì điều kiện $(x; y) \in \Gamma$ và $(-y; x) \in \Gamma$ là đủ, tức là các điều kiện

$$y = A \sin x, -x = A \sin y;$$

trong trường hợp này, $(-x; -y) \in \Gamma$ và $(y; -x) \in \Gamma$, vì $O$ là tâm đối xứng của đồ thị $\Gamma$ (Hình 1; hàm $y = A \sin x$ là số lẻ). Như vậy, mỗi nghiệm của phương trình

$$\sin (A \sin x) = -\frac{x}{A}, x > 0, y = A \sin x > 0$$ (1)

tương ứng với một hình vuông nội tiếp có tâm $O$. Hãy chứng minh rằng với $A$ lớn, phương trình này có nhiều nghiệm.

Trên mỗi phân đoạn $x \in [2\pi k; 2\pi k + \pi/2]$ các giá trị $y = A \sin x$ tăng từ 0 lên $A$; trên mỗi đoạn $x \in [2\pi k + \pi/2; 2\pi k + \pi]$ giảm từ $A$ xuống 0 (Hình 2; $k = 1, 2, \dots$). Hãy lấy $A = 2\pi n$. Khi đó các giá trị $z = \sin y$ tại $y$, thay đổi từ 0 thành $A$, chạy qua đoạn $[-1; 1]$ $2n$ lần (lần “chạy” này bắt đầu và kết thúc tại $z = 0$, Đặt $k < n$. Khi đó trên mỗi đoạn $[2\pi k; 2\pi k + \pi/2]$ và $[2\pi k + \pi/2; 2\pi k + \pi]$ phương trình (1) sẽ có $2n$ căn - đối với mỗi lần chuyển đổi $z$ từ 0 đến $(-1)$ và ngược lại, đồ thị $z = \sin (A \sin x)$ cắt đường thẳng $z = -\frac{x}{A}$ $2n$ lần, vì $|x/A| < 1$ tại $0 \leq x \leq 2\pi k + \pi < A$ và trong phương trình tổng (1) sẽ có $4n^2$ căn ($k = 0, 1, \dots, n - 1$).

Để đảm bảo rằng hình vuông không mang tính xây dựng theo từng cặp, chúng ta chỉ lấy $x \in [0; \pi/2]$. Đối với $A > 1978\pi$, phương trình (1) sẽ có đoạn này có ít nhất 1978 nghiệm và càng nhiều $x$ thì càng có nhiều $y = A \sin x$ và $\sqrt{x^2 + y^2}$; Điều này có nghĩa là tất cả các ô vuông 1978 tương ứng đều không mang tính xây dựng.

Một cái khác, hình học hơn lời giải bài toán M513 có thể thu được dựa trên việc xem xét sau: xoay đồ thị $\Gamma$ của hàm $y = A \sin x$ bằng $90^\circ$ quanh điểm $O$. Khi đó, bất kỳ điểm giao nhau nào của đồ thị $\Gamma$ và đồ thị xoay $\Gamma'$ (ngoại trừ $O$) đóng vai trò là đỉnh của hình vuông có tâm $O$ nội tiếp tại $\Gamma$.

Lưu ý rằng tất cả các hình vuông được thảo luận trong các giải pháp của chúng tôi đều có tâm đối xứng tại điểm $O$. Rõ ràng, bất kỳ hình vuông nào nội tiếp $\Gamma$ đều có tâm đối xứng tại một trong các điểm $(2\pi n; 0)$ (tức là tại một trong các tâm đối xứng của đồ thị $\Gamma$); cố gắng chứng minh điều đó

N. Vasiliev

M514. Chứng minh rằng tồn tại một dãy thao tác cực đại $(x_n)$ sao cho với mọi $m$ và $k$ riêng biệt thì bất đẳng thức đúng

$$|x_m - x_k| \geq |m - k|^{-1}.$$

Chúng tôi sẽ trình bày hai lời giải bài toán, để người đọc đánh giá ưu và nhược điểm của mỗi loại.

Lưu ý rằng việc xây dựng một chuỗi giới hạn $(x_n)$ thỏa mãn (1) cho $\varepsilon = 1/10$ là đủ. Trong trường hợp này, điều cần thiết là các thành viên của dãy có số khác nhau 1, khác nhau ít nhất $1/10$, các thành viên khác nhau bởi -

26

1. mật mã của chữ số 0 là chữ số 0;
2. bất kỳ chữ số nào cũng có thể được xây dựng lại một cách duy nhất (“được giải mã”) bằng chữ số của nó;
3. nếu các chữ số của hai chữ số liền kề nhau thì m. đ. khác nhau 1 hoặc 9 thì các số đó không liền kề nhau.

Chúng ta hãy biểu thị chuỗi được mã hóa bằng $(y_n)$. Chúng ta hãy chứng minh rằng dãy $(y_n)$ sao cho với mọi $m$ và $k$ bất đẳng thức thì bất đẳng thức

$$|y_m - y_k| \cdot |m - k| \geq 1/100.$$

Đặt $m > k$, $m = \overline{a_l \dots a_1}$, $k = \overline{b_l \dots b_1}$ (chúng ta luôn có thể giả sử rằng $k$ có cùng số chữ số như $m$, thêm, nếu cần, số $k$ ở bên trái với một số số 0 nhất định; trong trường hợp này, theo 1) số $y_k$ sẽ được điền bằng các số 0 ở bên phải).

Đặt $y_m = 0$, $\overline{\alpha_1 \dots \alpha_{s-1} \alpha_s \dots \alpha_l}$, $y_k = 0$, $\beta_1 \dots \beta_{s-1} \beta_s \dots \beta_l$,

và $y_m - y_k = 0$, $0 \dots 0$? …?

(Chúng tôi tin rằng $y_m > y_k$; dấu hoa thị * biểu thị chữ số có nghĩa đầu tiên, dấu hiệu? - bất kỳ số nào bạn thích.) Sau đó, $|y_m - y_k| \geq 10^{-s}$. Bây giờ chúng ta so sánh các số $m$ và $s$. Để làm điều này, hãy so sánh các số $\overline{\alpha_1 \dots \alpha_{s-1}}$ và $\overline{\beta_1 \dots \beta_{s-1}}$. Vì khai triển của số $y_m - y_k$ có số 0 sau dấu thập phân $s-1$ nên hai số này giống nhau hoặc khác nhau 1.

Với tia 1. Nếu $\overline{\alpha_1 \dots \alpha_{s-1}} = \overline{\beta_1 \dots \beta_{s-1}}$ thì $\alpha_s \neq \beta_s$; Điều này có nghĩa là $a_s \neq \beta_s$, từ đó $|m - k| \geq 10^{s-1}$, vì khi trừ $k$ từ $m$, chúng ta nhận được một số khác 0 kết thúc bằng $s-1$ 0.

Với tia 2. Nếu $\overline{\alpha_1 \dots \alpha_{s-1}} = \overline{\beta_1 \dots \beta_{s-1}} + 1$ thì các số $\alpha_{s-1}$ và $\beta_{s-1}$ liền kề nhau. Khi đó, theo thuộc tính 3), các chữ số $a_{s-1}$ và $b_{s-1}$ không liền nhau, có nghĩa là trong phép khai triển thập phân của số $m-k$ chữ số trong chữ số $10^{s-2}$ không bằng 0, do đó $|m - k| \geq 10^{s-2}$.

Trong cả hai trường hợp $|y_m - y_k| \cdot |m - k| \geq 10^{-2}$, đó là điều cần chứng minh.

Thứ hai lời giải. Chúng ta đặt $x_n = n\sqrt{2} - a_n$, trong đó $a_n$ là số nguyên lớn nhất, không vượt quá $n\sqrt{2}$. Rõ ràng là $0 < x_n < 1$. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó cho bất kỳ $m > k > 1$ nào

$$|x_m - x_k| \cdot (m - k) > 1/4,$$

nghĩa là dãy $(4x_n)$ bị loại trừ.

Hãy đánh giá sức mạnh của số lượng

$$|x_m - x_k| = |(m - k)\sqrt{2} - a_m - a_k|$$

$$= \frac{|2(m - k)^2 - (a_m - a_k)|}{|(m - k)\sqrt{2} + (a_m - a_k)|}.$$

Tử số là một số nguyên khác 0 (số $\sqrt{2}$ là số vô tỷ) nên không nhỏ hơn 1. Mẫu số rất dễ ước tính, sử dụng thực tế là $a_m < m\sqrt{2} + a_k > k\sqrt{2} - 1$:

$$(m - k)\sqrt{2} + (a_m - a_k) < 2(m - k)\sqrt{2} + 1 < (m - k)(2\sqrt{2} + 1) < 4(m - k).$$

Từ đây chúng ta nhận được $|x_m - x_k| > \frac{1}{4(m - k)}$.

S. Konyakin, A. Kusherenko

27

F514. Vải dây cao su làm bằng zeug được làm bằng các sợi (dây) đàn hồi chắc chắn, chứa đầy cao su đàn hồi mềm. Các dây tạo thành một góc 2α với nhau (Hình 6). Một hình trụ mát được làm từ vải makoe và các nắp kim loại được gắn vào các đầu của hình trụ (Hình 7). Không khí được hút vào bên trong xi lanh. Trong các thí nghiệm, người ta đã thay thế rằng khi thêm không khí vào, hình trụ sẽ có một trong ba hình dạng như trong Hình 8. Hình dạng phụ thuộc vào góc 2α giữa các sợi ren. Giá trị uela nào tương ứng với dạng nào?

Hình 6.

Hình 7. Hình 8.

Bây giờ, hãy xem xét trạng thái cân bằng của một hình vuông trên khung vẽ từ cạnh l, “có thể nhìn thấy” ở một góc φ so với trục hình trụ, với φ ≤ 1. Hình vuông này chịu tác dụng bởi một lực ép ngang F₃ ≈ pl², và từ phía của phần còn lại của khung vẽ bởi một lực nằm ngang F₄ = 2Q₁l sin φ/2 ≈ Q₂lφ (Hình 9). Vì φ = l/R nên F₄ = Q₂l²/R.

Ở trạng thái cân bằng, F₃ = F₄, nghĩa là pl² = Q₂l²/R, từ đó Q₂ = pR = 2Q₁.

Lực Q₁ và Q₂ đại diện cho lực căng tương đương của sợi. Hãy tìm chúng, giả sử rằng lực căng của sợi dây bằng T, và cạnh của ô tạo thành bởi sợi dây bằng a. Dễ dàng nhận thấy khoảng cách theo phương ngang giữa các giao điểm của ren trong trường hợp này bằng 2a cos α, và khoảng cách theo phương thẳng đứng là 2a sin α. Điều này có nghĩa là trên mặt ngang của hình vuông tính từ cạnh l có n₁ = 2l/2a cos α = l/a cos α và ở mặt đứng có n₂ = l/a sin α ren. Cân bằng theo chiều dọc Q₁l của lực căng của ren, được ước tính, bằng n₁T cos(π/2 - α) = n₁T sin α = Tl tan α/a, ngang - Q₂l = n₂T cos α = Tl/a tan α (Hình 10).

Trong trường hợp bề mặt bậc hai, Q₂ = 2Q₁, do đó T/a tan α = 2T tan α/a, do đó tan²α = 1/2, α ≈ 35° 16′. Tại α > 35° 16′ bề mặt có hình dạng giống như trên Hình 8.6, và tại α < 35° 16′ - như trong Hình 8.8.

28

F521. Hình 11 cho thấy một phần quỹ đạo của phấn tốt, được ném dưới bề mặt về phía chân trời. Ở thùy A viên phấn có tốc độ bằng giá trị trục hoành là 20 m/s. Hỏi quả chanh di chuyển từ ngăn A sang ngăn B trong bao lâu?

Một vật được ném nghiêng một góc so với đường chân trời sẽ chuyển động với gia tốc đều bởi gia tốc rơi tự do $g$; hình chiếu vận tốc của nó lên trục $OX$ không đổi và hình chiếu vận tốc của nó lên trục thẳng đứng $OY$ thay đổi theo thời gian theo định luật

$$v_y = v_0 + gt,$$

trong đó $g = -9,8 \text{ m/c}^2$ là hình chiếu của vectơ $g$ lên trục $OY$. Nếu $t_0$ là thời gian chuyển động của vật từ điểm A đến điểm B thì $v_{By} = v_{Ay} + gt_0$, từ đâu

$$t_0 = \frac{v_{By} - v_{Ay}}{g} = \frac{\Delta v_y}{g}.$$

Do đó, để tìm $t_0$, bạn cần tìm sự thay đổi trong hình chiếu vận tốc của vật lên trục $OY$.

Các vectơ $v_A$ và $v_B$ của vận tốc của vật tại các điểm A và B có hướng tiếp tuyến với quỹ đạo của vật tại các điểm này. Hãy vẽ vectơ $v_A$ theo tỷ lệ được chọn tùy ý và vẽ tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm B. Tìm hình chiếu $v_x$ của vận tốc của vật lên trục $OX$ tại điểm A và vẽ một đoạn có cùng độ dài trên một đường nằm ngang vẽ qua điểm B. Bây giờ hãy vẽ một đường thẳng đứng đi qua điểm cuối của đoạn bị hoãn, tìm vectơ $v_B$ và hình chiếu của nó $v_{By}$ để trục $OY$. Sau khi đo $v_{Ay}$ và $v_{By}$ bằng thước, chúng tôi tìm thấy giá trị $\Delta v_y$ (nó không phụ thuộc vào thang đo đã chọn) và sau đó là thời gian $t_0$ chuyển động của cơ thể từ điểm A đến điểm B.

Trong trường hợp của chúng tôi $\Delta v_y = |v_{By}| + |v_{Ay}| = 33 \text{ (м/c)}$, $t_0 \approx 3,3 \text{ c}$.

I. Slobodetsky

F522. Giá ở hình 12 cho thấy k bảy biến moka có hướng $U_0 = 220 \text{ B}$. Hướng giữa các hạt A và B là gì?

Hãy vẽ sơ đồ vector chỉ hướng của mạch điện. Vectơ chỉ phương giữa các điểm A và B bằng tổng các vectơ chỉ phương trên tụ điện và điện trở, nghĩa là nó được biểu thị bằng đường chéo của hình chữ nhật dựng trên vectơ $\vec{U}_C$ và $\vec{U}_R$ (Hình 13):

Hình 12.

Hình 13.

$$\vec{U}_{ab} = \vec{U}_C + \vec{U}_R; \quad U_{ab} = |\vec{U}_C + \vec{U}_R| = U_0 = 220 \text{ B}.$$

Vectơ chỉ hướng giữa các điểm A và B bằng hiệu $U_C$ và $U_R$ và do đó được biểu thị bằng một đường chéo khác của cùng một hình chữ nhật. Vì các đường chéo của một đường thẳng bằng nhau nên

$$U_{AB} = U_{ab} = 220 \text{ B}.$$

A. Zilberman

F523. Một viên đạn phát triển tại một điểm nhất định trên quỹ đạo của nó thành hai mảnh gỗ. Trong Hình 14, được thực hiện khi xác định tỷ lệ, các dấu thập đánh dấu lo-

Nếu khối lượng của các mảnh bằng $m_A$ và $m_B$ thì khoảng cách $r_A$ và $r_B$ từ các mảnh đến tâm khối tại mọi thời điểm phải sao cho

$$\frac{r_2}{r_1} = \frac{m_1}{m_2} = \text{const.}$$

29

Vỏ Zhenya và một trong các mảnh vỡ ở những khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau. Chúng ta hãy tìm vị trí của mảnh thứ hai theo tỉ số giữa các khoảnh khắc của thời gian, nếu biết rằng nó ở điểm B vào thời điểm mảnh thứ nhất ở điểm A. Mũi tên trong hình chỉ hướng của gia tốc rơi tự do. Mô tả phương pháp thi công.

Hình 14.

F524. Mô hình máy bay trực thăng, được mô tả với kích thước bằng 1/10, được giữ trong không khí bằng công suất momora 30 W. Mỗi bit là công suất tối thiểu của máy bay trực thăng được mô tả từ cùng chất liệu với mô hình?

Khối tâm của hệ chuyển động giống như một hạt có khối lượng $M=m_1+m_2$ chuyển động khi chịu tác dụng của các lực tác dụng lên hệ. Trong trường hợp của chúng tôi, chỉ có trọng lực tác động lên hệ thống. Do đó, khối tâm của hệ tiếp tục chuyển động dọc theo cùng một parabol mà nó đã chuyển động trước khi lớp vỏ phát nổ.

Không khó để tìm được các vị trí liên tiếp của khối tâm. Từ hình vẽ cho thấy điểm a là đỉnh của parabol. Điều này xuất phát từ thực tế là các điểm trước và điểm tiếp theo nơi đặt bên ngoài ($b$ và $b'$) nằm trên cùng một đường ngang. Do đó, sau khi đạn vỡ, khối tâm của hệ, sau những khoảng thời gian bằng nhau liên tiếp, xuất hiện trên cùng một đường nằm ngang với các điểm c, d, e, f, v.v.. Các điểm $c', d', e', f'$, v.v., tại đó có khối tâm, đối xứng với các điểm c, d, e, f, v.v. so với đường thẳng đứng đi qua điểm a.

Tại thời điểm các mảnh ở điểm A và B thì khối tâm của chúng ở điểm $e'$. Theo hình vẽ, người ta thấy rằng điểm $e'$ chia đoạn AB thành các phần, độ dài của chúng có quan hệ với nhau là $r_A:r_B=2:1$ (do đó, $m_A:m_B=1:2$).

Để tìm vị trí của đoạn thứ hai sau những khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau, chúng ta vẽ các đường thẳng đi qua các điểm $A_1$ và $c'$, $A_2$ và $d'$, $A_3$ và $f'$, v.v. Trên các đường thẳng này từ điểm $c', d', e', f'$, v.v., chúng ta vẽ các đoạn có độ dài bằng $1/2|A_1c'|$ tương ứng, $1/2|A_2d'|$, $1/2|A_3f'|$, v.v. Phần cuối của các đoạn này là các điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, v.v. - và cho biết vị trí của đoạn thứ hai phù hợp với các thời điểm.

Một chiếc trực thăng (hoặc mô hình) bay lơ lửng trên không nhờ phản lực xảy ra khi cánh quạt bị “ném” vào luồng không khí. Theo định luật III Newton, phản lực tác dụng lên máy bay trực thăng (lên cánh quạt) có giá trị tuyệt đối bằng lực tác dụng lên máy bay phản lực.

Chúng ta hãy biểu thị $\rho$ mật độ không khí, $S$ diện tích của máy bay phản lực và $v$ giá trị tuyệt đối của tốc độ máy bay phản lực. Sau đó, trong thời gian $\Delta t$, cánh quạt được ném ra khỏi không khí $Sv\Delta t$ với khối lượng $m=\rho Sv\Delta t$, và động lượng của không khí thay đổi một lượng

$$\Delta p=mv=\rho Sv^2\Delta t.$$

Theo định luật II của Newton, một lực $F$ tác dụng lên các vivis sao cho giá trị tuyệt đối của nó bằng

$$F=\frac{\Delta P}{\Delta t}=\rho Sv^2.$$

Lực tuyệt đối tương tự tác dụng lên trực thăng. Để trực thăng tiếp tục ở trên không, $F$ phải bằng giá trị tuyệt đối $Mg$ của lực hấp dẫn tác dụng lên trực thăng:

$$\rho Sv^2=Mg.$$

Công suất $N$ của lực đẩy bằng năng lượng truyền vào không khí trong 1 giây:

$$N=\frac{mv^2}{2\Delta t}=\frac{\rho Sv^3}{2}.$$

Thay vào (*) $v=\sqrt{\frac{Mg}{\rho S}}$, ta được

$$N=\frac{1}{2}Mg\sqrt{\frac{Mg}{\rho S}}.$$

Vì khối lượng $M$ của máy bay trực thăng tỷ lệ thuận với thể tích của nó, tức là lập phương có kích thước tuyến tính $M \sim L^3$ và $S \sim L^2$, nên

30

từ (**) ta có:

$$N \sim L^{7/2}.$$

Điều này có nghĩa là tỷ số công suất động cơ của máy bay trực thăng và mô hình phải bằng tỷ số kích thước tuyến tính của chúng với công suất 7/2, nghĩa là

$$\frac{N}{N_{\text{мод}}} = \left( \frac{L}{L_{\text{мод}}} \right)^{7/2}.$$

Từ đây

$$N = N_{\text{мод}} \cdot 10^{7/2} \approx 95 \text{ кВт}.$$

F525. Khi dòng điện tăng, hướng phóng hồ quang qua khe phóng điện sẽ giảm, có xu hướng đạt đến một giá trị không đổi nhất định ở dòng điện cao. Hồ quang được mắc nối tiếp với một số điện trở dằn. Đặc tính dòng điện-điện áp của một mạch điện được thể hiện trên Hình 15. 1) Hãy xây dựng đặc tính dòng điện-điện áp của một hồ quang không có điện trở dằn. 2) Sử dụng biểu đồ thu được, chúng ta xác định điện trở tối đa của điện trở chấn lưu mà tại đó hồ quang có thể cháy theo hướng của nguồn $U=85 \text{ В}$.

Hình 15.

Hình 16.

1. Điện áp $U$ ở đầu vào hệ thống bằng tổng hướng $U_{\text{д}}$ trên khe phóng điện hồ quang và hướng $U_R$ trên điện trở. Vì $U_R=1R$, trong đó $I$ là dòng điện trong mạch, thì

$$U(I)=U_{\text{д}}(I)+1R.$$

Giá trị $U_{\text{д}}(I)$ giảm khi $I$ tăng và ở giá trị hiện tại cao, nó có xu hướng đạt đến một giá trị không đổi nào đó $U_0$. Điều này có nghĩa là ở dòng điện cao sự phụ thuộc $U(I)$ trở thành tuyến tính -

$$U(I)=1R+U_0,$$

Hơn nữa, tiếp tuyến của góc $\alpha$ của đồ thị trên với trục hiện tại bằng $R$:

$$tg \alpha = \frac{\Delta U}{\Delta I} = R.$$

Từ Hình 15 có thể thấy rằng tại $I>10$ A, đồ thị $U(I)$ là một ví dụ thực tế về một đường thẳng. Theo hình ảnh có

$$R = \frac{80-55}{17,5} \approx 1,4 \text{ (Ом)}.$$

Để xây dựng đặc tính dòng điện-điện áp của hồ quang, mỗi giá trị dòng điện $I_i$ cần tìm giá trị $U_{\text{д}}(I_i)=U_i-I_iR$ (các giá trị $U_i$, lấy từ biểu đồ, $I_iR=1,4 I_i$). Đặc tính dòng điện-điện áp của hồ quang được thể hiện trên hình 16. 2) Hãy xác định điện trở cực đại $R_{\text{max}}$ của điện trở dằn mà tại đó hồ quang có thể cháy theo hướng nguồn $U=85 \text{ В}$.

Trên biểu đồ $U_{\text{д}}(I)$, chúng ta vẽ giới hạn tải $U-1R$ ($U=85 \text{ В}$), tương ứng với các giá trị $R$. Rõ ràng, giá trị $R$ càng lớn thì góc $\alpha$ giữa đường tải và trục hiện tại càng nhỏ. Nếu đường tải không có điểm chung với đồ thị $U_{\text{д}}(I)$ thì việc đốt hồ quang là không thể. Do đó, rõ ràng điện trở cực đại $R_{\text{max}}$ của điện trở tại đó hồ quang cháy tương ứng với điện áp tải chạm vào đồ thị $U_{\text{д}}(I)$. Từ Hình 16, người ta thấy,

$$R_{\text{max}} = \frac{\Delta U}{\Delta I} \approx \frac{35}{7} = 5 \text{ (Ом)}.$$

(Các điểm giao nhau của sơ bộ tải với đồ thị $U_{\text{д}}(I)$ (ví dụ: các điểm $a$ và $b$) xác định khả năng giá trị hiện tại và hướng trên hồ quang đối với một điện trở nhất định của điện trở chấn lưu. Điểm $a$ tương ứng với sự cháy hồ quang không ổn định và điểm $b$ tương ứng với ổn định.)