Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

44

Đại học quốc gia Moscow
họ. M. V. Lomonosova

Dưới đây là tài liệu ôn thi tuyển sinh năm 1978.

Toán học

Khoa Cơ học và Toán học
Lựa chọn tôi

1. Sự khác biệt
   $$\sqrt{|40\sqrt{2}-57|} - \sqrt{40\sqrt{2}+57}$$
   là một số nguyên. Tìm số nguyên này.
2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\int_0^\alpha \cos(x + \alpha^2) dx = \sin \alpha,$$
   thuộc đoạn [2; 3].
3. Cho tam giác ABC nhọn, hạ các đỉnh A và C lần lượt các đường cao AP và CQ xuống các cạnh BC và AB. Được biết, diện tích tam giác ABC là 18, diện tích tam giác BPQ là 2 và độ dài đoạn PQ là $2\sqrt{2}$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số a mà hệ bất phương trình
   $$\begin{cases} x^2 + 2xy - 7y^2 \geq \frac{1-a}{a+1}, \\ 3x^2 + 10xy - 5y^2 \leq -2, \end{cases}$$
   có lời giải.
5. Thể tích của tứ diện ABCD bằng 5. Vẽ một mặt phẳng đi qua trung điểm của các cạnh AD và BC, cắt cạnh CD tại điểm M. Trong trường hợp này, tỉ số giữa độ dài đoạn DM và độ dài đoạn MC là $\frac{2}{3}$. Tính diện tích mặt cắt ngang của tứ diện theo mặt phẳng đã chỉ định nếu khoảng cách từ nó đến đỉnh a là 1.

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học
Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$(x-1)\sqrt{x^2-x-2} \geq 0.$$
2. Tìm điểm cực tiểu của hàm số
   $$\sqrt{3}\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} - \frac{x-3}{2}.$$
3. Tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm có tọa độ $\left(\frac{1}{2}; 2\right)$, tiếp xúc với đồ thị của hàm số $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ và cắt nhau tại hai điểm khác nhau trên đồ thị của hàm số $y = \sqrt{4-x^2}$.
4. Tập A gồm các số tự nhiên khác nhau. Số lượng các số trong A lớn hơn bảy. Bội số chung nhỏ nhất của các số trong A là 210. Với hai số bất kỳ trong A, ước số chung lớn nhất của chúng lớn hơn một. Tích của tất cả các số trong A chia hết cho 1920 và không phải là bình phương của bất kỳ số nguyên nào. Tìm các số tạo nên A.
5. Cơ sở của tham số ABCEH là tứ giác lồi ABCE, được đường chéo BE chia thành hai hình tam giác có kích thước bằng nhau. Độ dài cạnh AB bằng 1, độ dài cạnh BC và CE bằng nhau. Tổng độ dài của các cạnh AH và EH là $\sqrt{2}$. Âm lượng của tham số là $\frac{1}{6}$. Tìm bán kính của quả bóng có bán kính chung nhất trong số tất cả các quả bóng phù hợp với tham số ABCEH.
6. bài toán thi vấn đáp
7. Tìm các hàm tối thiểu và tối đa $f(x) = a\sin x + b\cos x$.
8. Giải phương trình bằng số tự nhiên
   $$A_x^2 + 3 = C_x^2 + 20.$$
9. Chứng minh rằng diện tích của một tam giác nhỏ hơn một nếu độ dài của tất cả các đường phân giác đều nhỏ hơn một.
10. Chứng minh bất đẳng thức $3 < \pi < 4$.
11. Vẽ đồ thị hàm số
    $$y = \log_2 |\sin x| \frac{1}{2}.$$
12. Tính $\log_2 40$ nếu biết rằng $\lg 15 = a$, $\log_{20} 50 = b$.

Vật lý
(bài toán thi vấn đáp)

Khoa Vật lý

1. Lệnh phòng không có thể bắn theo mọi hướng có thể. Xác định ranh giới của khu vực là không gian từ ordiya này,

45

nếu mô-đun vận tốc ban đầu của đạn là $v_0$.

2. Xác định gia tốc của các tải có khối lượng $m_1$ và $m_2$ trong hệ như hình 1. (Khối lượng của các khối và các sợi dây, bỏ qua sự giãn của sợi dây và ma sát trong các khối.)

3. Không khí ẩm ở nhiệt độ $T$ và áp suất $p$ chiếm thể tích $V$. Độ ẩm không khí tương đối $\varepsilon\%$, áp suất hơi bão hòa ở nhiệt độ này $p_H$. Tìm mật độ của không khí ẩm và khối lượng hơi nước chứa trong đó.

4. Độ ẩm tương đối của hơi nước chứa trong thể tích $V = 20$ l ở nhiệt độ $t = 100^\circ\text{C}$ bằng $\varepsilon = 90\%$. Các cặp tia lửa đẳng nhiệt làm giảm thể tích đi một nửa. Tìm khối lượng nước ngưng tụ nếu áp suất hơi bão hòa ở nhiệt độ này là $p_H = 1$ atm. Hằng số khí phổ quát là $R = 8,31$ J/(K mol). Bỏ qua thể tích của nước.

5. Một khí lý tưởng có khối lượng $m$, nằm ở nhiệt độ $T$, được làm lạnh đẳng tích sao cho áp suất của nó giảm $k$ lần. Sau đó khí dãn nở đẳng áp cho đến khi nhiệt độ của nó bằng nhiệt độ ban đầu. Xác định công mà khí thực hiện. Khối lượng mol của khí là $\mu$.

6. Bao nhiêu nhiệt sẽ tỏa ra trong mạch khi chuyển phím $K$ từ vị trí 1 sang vị trí 2 (Hình 2)?

7. Xác định hiệu điện thế giữa tụ điện $C_0$ trong mạch như hình 3. Các giá trị điện trở, sức điện động của pin và cực tính của chúng được chỉ ra trong hình. Bỏ qua điện trở trong của các nguồn. Điện tích ở bản trên của tụ điện sẽ có dấu hiệu gì?

8. Mạch $AOB$, có dạng khu vực, được hình thành bởi một $AB$ khác có bán kính $L = 10$ cm từ một dây dẫn trần và hai dây dẫn hướng tâm $OA$ và $OB$ có điện trở $R_1 = 1$ Ohm và $R_2 = 2$ Ohm (Hình 4). Ở trung tâm $O$ của các bản lề khác có một nút nhảy $OC$, đầu kia của nó có thể di chuyển dọc theo vòng cung, duy trì tiếp xúc với nó. Điện trở dây nhảy $R_3 = 3$ Ohm. Mạch nằm trong từ trường có cảm ứng $\vec{B} (|\vec{B}| = 0,2\text{T})$, hướng vuông góc với mặt phẳng của mạch. Tìm cường độ dòng điện $I$ trong dây nhảy khi nó quay với vận tốc góc không đổi $\omega = 11\text{rad/c}$. Bỏ qua sự phản kháng của người khác.

9. Đổ một ít nước vào một chiếc bát hình cầu có bề mặt bên trong tráng gương. Một chùm tia sáng song song rơi xuống cái bát từ trên cao. Do sự phản xạ từ gương cầu của cái bát và khúc xạ trên mặt nước, chùm tia hội tụ vào một điểm. Bán kính cong của gương là $R$, chiết suất của nước là $n$. Động lực của chùm tia nhỏ hơn nhiều so với bán kính cong của gương nên góc tới cô đặc có thể được thay thế bằng các góc. Ở khoảng cách bao nhiêu so với mặt nước thì các tia sáng tập trung?

10. Một nguồn sáng điểm được đặt tại tiêu điểm của một đường tán xạ có tiêu cự $F = 4\text{cm}$ Trên màn hình thu được một điểm sáng nằm phía sau đường đó ở khoảng cách $l = 3\text{cm}$. Nguồn phải được di chuyển bao xa dọc theo trục quang để đường kính của điểm giảm đi 20%?

Khoa Cơ học và Toán học và Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Quả bóng được treo trên một sợi dây có chiều dài $l = 32\text{cm}$ sao cho điểm treo ở độ cao $H = 50\text{cm}$ phía trên mặt bàn nhẵn. Quả bóng được đưa ra khỏi vị trí cân bằng bằng cách làm lệch sợi chỉ ở trạng thái căng một góc $90^\circ$, và được thả ra mà không gặp vấn đề gì. Sợi chỉ bị đứt tại thời điểm nó có góc lệch so với phương thẳng đứng là $\alpha = 60^\circ$. Tìm độ cao $h$ mà tại đó quả bóng sẽ nảy lên sau khi chạm vào bàn, nếu lực tác động này là đàn hồi tuyệt đối. Các chủ đề là không thể mở rộng.

2. Có một tải trọng đặt lên một bệ quay nằm ngang cách trục quay một khoảng $l = 1\text{m}$. Hệ số ma sát giữa tải và bệ $\mu = 0,1$. Sau thời gian giả quay nào thì tải được lấy ra khỏi nó, nếu bệ bắt đầu quay ở trạng thái cân bằng và sau $t = 2\text{мин}$ thu được vận tốc góc $\omega = 1,2\text{rad/c}$?

46

lấy căn bậc hai rơi tự do bằng $g = 9,8 \text{ m/c}^2$.

3. Một vệ tinh có khối lượng $m = 2 \cdot 10^3 \text{ кг}$, do bị hãm từ tầng khí quyển phía trên, chuyển động từ quỹ đạo nằm ở độ cao $h_1 = 210 \text{ km}$ so với bề mặt Trái đất đến quỹ đạo có độ cao $h_2 = 200 \text{ km}$. Vệ tinh mất bao nhiêu năng lượng trong trường hợp này? Trong cả hai trường hợp, quỹ đạo của vệ tinh được coi là hình tròn. Gia tốc rơi tự do có thể coi là không đổi và bằng $g = 10 \text{ m/c}^2$.

4. Trong một ống hình chữ U bịt kín đầu bên trái, chiều cao của cột không khí là $l_0 = 300 \text{ mm}$, và chiều cao vượt quá của cột rutin ở khuỷu tay phải là $h_0 = 110 \text{ mm}$. Đáng lẽ phải có nhiều thói quen ở đầu gối phải đến mức mức độ của nó ở đầu gối trái tăng lên $l = 10 \text{ mm}$. Mức độ hoạt động ở đầu gối phải đã tăng lên bao nhiêu? Áp suất khí quyển $p = 760 \text{ mm} \cdot \text{ст.}$ Nhiệt độ không đổi.

5. Hai bình được nối với nhau bằng một ống mỏng chứa một giọt rutin, ngăn cản sự chuyển động của khí trong bình (Hình 5). Bình thứ nhất chứa $m_1 = 2 \text{ г}$ heli (khối lượng mol $\mu_1 = 4 \text{ кг/кмоль}$), bình thứ hai chứa $m_2 = 4 \text{ г}$ neon (khối lượng mol $\mu_2 = 20 \text{ кг/кмоль}$). Nhiệt độ ở cả hai bình là như nhau và bằng $T_1$. Áp suất trong hệ sẽ tăng bao nhiêu lần nếu nung heli đến nhiệt độ $T_2 = 2T_1$ mà không làm thay đổi nhiệt độ của neon? Sự giãn mạch không được tính đến.

6. Tìm hiệu điện thế giữa các điểm $A$ và $B$ trong mạch như hình 6. Điện dung của tụ điện: $C_1 = 1 \text{ мкФ}, C_2 = 2 \text{ мкФ}$. Nguồn sức điện động: $\%_1 = 4 \text{ B}, \%_2 = 6 \text{ B}$.

7. Tìm giá trị điện trở $R_1$ tại đó hiệu điện thế giữa các điểm $A$ và $B$ trong mạch như hình 7 bằng 0 ($R_2 = 60 \text{ Ом}, R_3 = 10 \text{ Ом}, R_4 = 80 \text{ Ом}, R_5 = 20 \text{ Ом}$).

8. Có một khung hình chữ nhật đặt trong từ trường đều có cảm ứng $|B| = 2 \text{T}$. Mặt phẳng của khung vuông góc với các đường sức từ. Điện trở khung $R = 0,25 \text{ Ом}$. Công suất tiêu hao là bao nhiêu nếu khung được đưa ra khỏi từ trường với tốc độ không đổi $|\vec{v}| = 6,2 \text{ m/c}$ vuông góc với hướng của đường sức từ? Trường có đường viền được xác định rõ ràng và cạnh của khung có chiều dài $l = 20 \text{ cm}$ song song với đường viền này.

9. Một bức vẽ có kích thước 30 cm $\times$ 40 cm được chụp bằng máy ảnh có tiêu cự vật kính $F = 20 \text{ cm}$. Khoảng cách từ ống kính đến bản vẽ $d = 1,6 \text{ m}$. Tiêu cự của đường đính kèm (tức là thấu kính đặt gần thấu kính) phải là bao nhiêu để ảnh của bức vẽ vừa khít trên nhựa ảnh có kích thước 9 cm $\times$ 12 cm?

10. Một nguồn sáng điểm nằm cách một thấu kính trùng nhau có tiêu cự $F = 12 \text{ cm}$ một khoảng $d = 10 \text{ cm}$, trên trục quang chính của nó. Các tia sáng truyền trước vào thấu kính sẽ rơi vào gương cầu lồi, bị phản xạ từ gương cầu lồi và một lần nữa đi qua thấu kính, tạo ra một chùm tia song song với trục chính của thấu kính. Xác định bán kính cong của gương nếu nó nằm cách thấu kính một khoảng $l = 3 \text{ cm}$.

Khoa Hóa học

1. Một quả bóng có khối lượng $m_1$ chuyển động không ma sát dọc theo một mặt phẳng nằm ngang và va chạm với một quả bóng có khối lượng $m_2$ đang đứng yên. Tác động được coi là trung tâm và hoàn toàn đàn hồi. Với tỷ lệ nào về khối lượng của các quả bóng, chúng sẽ bay xa nhau theo hai hướng ngược nhau với vận tốc có giá trị tuyệt đối bằng nhau?

2. Một bình dẫn nhiệt chứa hỗn hợp nước có khối lượng $m_1 = 500 \text{ г}$ và nước đá $m_2 = 55 \text{ г}$ ở nhiệt độ $t_1 = 0^\circ\text{C}$. Hơi bão hòa khô có khối lượng $m_3 = 6,6 \text{ г}$ được đưa vào bình ở nhiệt độ $t_2 = 100^\circ\text{C}$. Nhiệt độ $t$ của vật chứa trong bình sau khi đặt nhiệt độ hóa hơi nước bây giờ là $\lambda = 2,3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$, nhiệt độ riêng của nước đá $r = 0,33 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$, nhiệt độ riêng của nước $c = 4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{К)}$.

3. Khoảng cách giữa các bản của tụ điện phẳng $d = 5 \text{ cm}$ Tụ điện được sạc bằng pin