Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

44

Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова

Ниже публикуются материалы вступительных экзаменов 1978 года.

Математика

Механико-математический факультет
Вариант I

1. Разность
   $$\sqrt{|40\sqrt{2}-57|} - \sqrt{40\sqrt{2}+57}$$
   является целым числом. Найдите это целое число.
2. Найти все решения уравнения
   $$\int_0^\alpha \cos(x + \alpha^2) dx = \sin \alpha,$$
   принадлежие отрезку [2; 3].
3. В остругольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна $2\sqrt{2}$. Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
4. Найти все значения параметра a, при которых система неравенств
   $$\begin{cases} x^2 + 2xy - 7y^2 \geq \frac{1-a}{a+1}, \\ 3x^2 + 10xy - 5y^2 \leq -2, \end{cases}$$
   имеет решение.
5. Объем tetraэдра ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом отношение длины отрезка DM к длине отрезка MC равно $\frac{2}{3}$. Вычислить площадь сечения tetraэдра указаанной плоскостью, если расстояние от нее до вершины a равно 1.

Факультет вычислительной математики и киберnetики
Вариант 2

1. Решить неравенство
   $$(x-1)\sqrt{x^2-x-2} \geq 0.$$
2. Найти точки минимума функции
   $$\sqrt{3}\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} - \frac{x-3}{2}.$$
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку с координатами $\left(\frac{1}{2}; 2\right)$, касающейся графика функции $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ и пересекающей в двух различных точках графика функции $y = \sqrt{4-x^2}$.
4. Совокупность A состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в A больше семи. Наименьшее общее кратное число чисел из A равно 210. Для любых двух чисел из A их наиболее общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из A делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит A.
5. Основанием параметра ABCEH служит выпукленный четырехугольник ABCE, который диагональю BE делится на два равновеликних треугольника. Длина ребра AB равна единице, длины ребер BC и CE равны. Сумма длины ребер AH и EH равна $\sqrt{2}$. Объем параметра равен $\frac{1}{6}$. Найти радиус шара, имеющего наиболее общим среди всех шаров, помещающихся в параметре ABCEH.
6. задачи устного экзамена
7. Найти min и max функции $f(x) = a\sin x + b\cos x$.
8. Решить в натуральных числах уравнение
   $$A_x^2 + 3 = C_x^2 + 20.$$
9. Доказать, что площадь треугольника меньше единицы, если длины всех биссектрис меньше единицы.
10. Доказать неравенства $3 < \pi < 4$.
11. Построить график функции
    $$y = \log_2 |\sin x| \frac{1}{2}.$$
12. Вычислить $\log_2 40$, если известно, что $\lg 15 = a$, $\log_{20} 50 = b$.

Физика
(задачи устного экзамена)

Физический факультет

1. Зенитное ordine может произвольить выстрелы во всевозможных направлениях. Определить границу области, которая пространства из этого ordия,

45

если модуль начальной скорости снаряда равен $v_0$.

2. Определить ускорения грузов массой $m_1$ и $m_2$ в системе, изобразенной на рисунке 1. (Массимы блоков и нитей, растяжением нитей и тренем в блоках пренебречь.)

3. Влажный воздуш при температуре $T$ и давлении $p$ занимает объем $V$. Относительная влажность воздуха $\varepsilon\%$, давление насыщенных паров при этой температуре $p_H$. Найти плотность влажного воздуха и массу содержащихся в нем паров воды.

4. Относительная влажность водыных паров, находящемся в объеме $V = 20$ л при температуре $t = 100^\circ\text{C}$, равна $\varepsilon = 90\%$. Пары изотермических скимиратов, уменышая объем в два раза. Найти массу сконденсировавшейся воды, если давление насыщенных паров при этой температуре равно $p_H = 1$ атм. Универсальная газовая постоянная $R = 8,31$ Дж/(К·моль). Объем воды пренебречь.

5. Идеальный газ массой $m$, находящся при температуре $T$, охлаждается изохорическими так, что его давление падает в $k$ раз. Затем газ расширяется изобарическими, пока его температура не станет равной первоначальной. Определить произведенную газом работу. Молярная масса газа равна $\mu$.

6. Какое количество теплоты выделится в цепи при переключении ключа $K$ из положения 1 в положение 2 (рис. 2)?

7. Определить разность потенциаль на конденсаторе емкости $C_0$ в схеме, изобразенной на рисунке 3. Величины сопротивления, ЭДС батарей и их полярность указаны на рисунке. Внутренним сопротивлением источников пренебречь. Какой знак будет иметь заряд на верхней пластине конденсатора?

8. Контур $AOB$, имеющий вид сектора, образован другой $AB$ радиусом $L = 10$ cm из оголеного проводника и двумя радиальным проводниками $OA$ и $OB$ с сопротивлениями $R_1 = 1$ Ом и $R_2 = 2$ Ом (рис. 4). В центре $O$ других шарнирона закреплена перемычка $OC$, другой конец которого может двигаться вдоль дуги, сохраняя с ней контакт. Сопротивление перемычки $R_3 = 3$ Ом. Контур находится в магнитном поле с индукцией $\vec{B} (|\vec{B}| = 0,2\text{T})$, направленной перpendикрой к плоскости контура. Найти силу тока $I$ в перемычке при ее вращении с постоянной угловой скоростью $\omega = 11\text{rad/c}$. Сопротивлением других пренебречь.

9. В сферическуюашу с зеркальной внутренней поверхности налитою немного воды. Сверху на чашу падает пучок паралельных лучей света. В результате отражения от сферического зеркала чаши и преломления на поверхности воды пучок фокусируется в точку. Радиус кривизны зеркала равен $R$, показатель преломления воды равен $n$. Динамир пучка много меньше радиуса кривизны зеркала, поэтому сгущены угловой падения можно заменить углами. На каком расстоянии от поверхности воды лучи собираются в фокус?

10. Точечный источник света помещен в фокус рассеивающей лины с фокусным расстоянием $F = 4\text{cm}$ На экране, расположенном за линей на расстоянии $l = 3\text{cm}$, получено светлое пятно. На какое расстояние по оптической оси надо переместить источник, чтобы диаметр пятна уменьшился на 20%?

Механико-mатематический факультет и факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Шарик подвешен на нити длиной $l = 32\text{cm}$ так, что точка подвеска находится на высоте $H = 50\text{cm}$ над гладким столом. Шарик вывели из положения равновесия, отклонив нить в натянутом состоянии на угол $90^\circ$, и отпустил без толька. Нить оборвалась в тот момент, когда ее угол отклонения от вертикали был $\alpha = 60^\circ$. Найти высоту $h$, на которой шарик подрыгнет после удраа о стол, если этот удар абсолотно упругий. Нить нерастяжима.

2. На горизонтальной врашающся платформе на расстоянии $l = 1\text{m}$ от оси вращения лежит груз. Кээффициент треня между грузом и платформой $\mu = 0,1$. Через какое время псевда вращения платформы груз сосковлен с нее, если платформа начинает вращаться равновесенно и через $t = 2\text{мин}$ приобретает угловую скорость $\omega = 1,2\text{rad/c}$?

46

корение свободного падения приять равным $g = 9,8 \text{ m/c}^2$.

3. Спутник, масса которого $m = 2 \cdot 10^3 \text{ кг}$, из-за торможения о верхне слон атмосферы переходит с орбиты, расположенной на высоте $h_1 = 210 \text{ km}$ над поверхностью Земли, на орбиту с высотой $h_2 = 200 \text{ km}$. Какую энергию теряет при этом спутник? В обихх случае орбиту спутника считать круговой. Ускорение свободного падения можно считать постоянным и равным $g = 10 \text{ m/c}^2$.

4. В запаянной с левого конца U-образной трубке высота столбика воздуха $l_0 = 300 \text{ mm}$, а избыточная высота столбка рутин в правом колене $h_0 = 110 \text{ mm}$. В правое колено должны столько рутин, что ее уровень влевом колене поднялся на $l = 10 \text{ mm}$. На сколько поднялся уровень рутин в правом колене? Атмосферное давление $p = 760 \text{ mm} \cdot \text{ст.}$ Температура постоянна.

5. Два сосуда соединены тонкой трубкой, содержащей капельку рутин, которая исключает перемещивание газов, находящихся в сосудах (рис. 5). В первом сосуде заключено $m_1 = 2 \text{ г}$ гелия (молярная масса $\mu_1 = 4 \text{ кг/кмоль}$), во втором — $m_2 = 4 \text{ г}$ неона (молярная масса $\mu_2 = 20 \text{ кг/кмоль}$). Температура в обихх сосудах одинакова и равна $T_1$. Во сколько раз увеличится давление в системе, если гелий нагрет до температуры $T_2 = 2T_1$, не меняя температуры неона? Расширения сосудов не учитывают.

6. Найти разность потенциаль между точками $A$ и $B$ в схеме, изображенной на рисунке 6. Емкость конденсаторов: $C_1 = 1 \text{ мкФ}, C_2 = 2 \text{ мкФ}$. Электродвижение силы источников: $\%_1 = 4 \text{ B}, \%_2 = 6 \text{ B}$.

7. Найти величины сопротивления $R_1$, при которой разность потенциаль между точками $A$ и $B$ в схеме, изображенной на рисунке 7, равна нулю ($R_2 = 60 \text{ Ом}, R_3 = 10 \text{ Ом}, R_4 = 80 \text{ Ом}, R_5 = 20 \text{ Ом}$).

8. В однородном магнитном поле с индуктивей $|B| = 2 \text{T}$ находится прямогольная рамка. Плоскость рамки перpendикулярна к магнитным линям. Сопротивление рамки $R = 0,25 \text{ Ом}$. Какая мощность затрачивается, если рамка вывгается из магнитного поля с по-стоянной скоростью $|\vec{v}| = 6,2 \text{ m/c}$ перpendикулярно к направлению магнитных линей? Поле имеет резко очеченную границу, и сторона рамки длиной $l = 20 \text{ cm}$ параллельна этой границе.

9. Съемка чертежа размером 30 cm $\times$ 40 cm ведется фотоаппаратом, объективного името фокусное расстояние $F = 20 \text{ cm}$. Расстояние от объектива до чертежа $d = 1,6 \text{ m}$. Каким должно быть фокусное расстояние насадочной линии (т. е. линзы, приставляемый вплотную к объективу), чтобы изображение чертежа точно уложилось на фотопластику размером 9 cm $\times$ 12 cm?

10. Точечный источник света находится на расстоянии $d = 10 \text{ cm}$ от coincрающей линзы, имеющей фокусное расстояние $F = 12 \text{ cm}$, на ее главной оптической оси. Лучи света, предполившись в линзе, падают на выпуклое зеркало, отражаются от него и вновь проходит через линзу, в результате чего получается пучок лучей, параллельный главной оптической оси линзы. Определить радиус кривизны зеркала, если оно находится на расстоянии $l = 3 \text{ cm}$ от линзы.

Химический факультет

1. Шарик массы $m_1$ движется без трения по горизонтальной поверхности и сталькиается с покоящимся шариком массы $m_2$. Удар считать центральным и абсолотно упругим. При каком соотношения масс шариков они разлетятся в противоположные стороны с равными по абсолотной величины скоростими?

2. В теплопроводном сосуде содержится смесь воды массы $m_1 = 500 \text{ г}$ и льда $m_2 = 55 \text{ г}$ при температуре $t_1 = 0^\circ\text{C}$. В сосуде вводится сухой насыщенный пар масс $m_3 = 6,6 \text{ г}$ при температуре $t_2 = 100^\circ\text{C}$. Какой будет температура $t$ содержимого сосуда после установки температуры теперь парообразования воды $\lambda = 2,3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$, удельная температура льда $r = 0,33 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$, удельная темперакость воды $c = 4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{К)}$.

3. Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора $d = 5 \text{ cm}$ Конденсатор заряжен при помощи бата-