Филлотаксис и последовательность Фибоначчи

53

Филотаксис и последовательность Фибоначчи

Рисунок на первой странице обложки можно рассмотреть как упрощенное изображение соцветия подсолнуха, семечки в котором вышены через одно, в шахматном порядке. Реальные соцветия подсолнуха (см. рисунок на этой странице) также содержат два семейства логарифмических спиралей (об этих спиралях читайте «Квант», 1977, № 4, с. 42). Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В богатие также сочетание двух семейств спиралей называют филотаксисом (в переведе с гречского слова это означает «устройство листа»).

Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.

Филотаксис подсолнечника — одна из многоих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетин французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого интайянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по произвшему Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, в которой

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}.$$

Неожиданная встреча с этой последовательностью состоит с сеяцас и у нас. Предположим, что $\alpha^2 = 1 - \alpha$.

Выразим значения степени $\alpha^3, \alpha^4, \alpha^5, ...$ через $1 = \alpha^0$ и $\alpha$:

$$\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = 2\alpha - 1,$$

$$\alpha^4 = 2 - 3\alpha,$$

$$\alpha^5 = 5\alpha - 3, \dots$$

Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начная с члена $a_1$? По-виндимому, и для любого $n$ можно записать формулу

$$\alpha^n = (-1)^n (a_{n-1} - a_n \alpha),$$

где $a_{n-1}$ и $a_n$ — члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:

$$\alpha^{n+1} = (-1)^n (a_{n-1} \alpha - a_n \alpha^2) = (-1)^n (-a_n + (a_{n-1} + a_n) \alpha) = (-1)^{n+1}(a_n - a_{n+1} \alpha).$$

У уравнения $\alpha^2 = 1 - \alpha$ два корня — положительные $\alpha_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и отрицательные $\alpha_2 = -\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Как мы убедились,

$$\begin{cases} (-1)^n \alpha_1 = a_{n-1} - a_n \alpha_1 \\ (-1)^n \alpha_2 = a_{n-1} - a_n \alpha_2. \end{cases}$$

Решая эту систему относительно $a_n$, получаем, что

$$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right].$$

И этот результат довольно сложен — последовательность целочисленная, а общий ее член выражается через квадратные радики.

Следующую неожиданность получим, если вычислим $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$. Это значение «золотое сечение» (о нем см., например, «Квант», 1973, № 8, с. 22 и далее). Примогольный предмет с таким отношением стороны наблюдае приятен для глаз.

Существует много формул, связывающихся между собой членами последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:

$$a_{n+2} = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n + 1$$

$$a_{2n+2} = a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1}$$

$$a_{2n+1} = 1 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n}$$

$$a_{2n-2} + 1 = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots + a_{2n-1}$$

$$a_{2n}^2 = a_1 a_2 + a_2 a_3 + \dots + a_{2n-1} a_{2n}$$

$$a_{2n-1} = a_n^2 + a_n^2 - 1.$$

Попытайте их доказать.

О последовательности Фибоначчи вы можете прочесть в получарной и интерсесной книге Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи» (М., «Hayka», 1978). О филотаксисе — в другой интерсесной книге: Г. С. М. Кокстер «Введение в геометрию» (М., «Hayka», 1966).

В. Березин