Задачи М561—М565; Ф573—Ф577

22

Задачи

M561—M565; Ф573—Ф577

M561. Два треугольника $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$, площади которых равны $S_1$ и $S_2$, расположены так, что лучи $A_1B_1$ и $A_2B_2$, $B_1C_1$ и $B_2C_2$, $C_1A_1$ и $C_2A_2$ параллельны, но противоложно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$.

Л. Купцов

M562. На отрезке [0; 1] задано множество $M$, являющегося объединением нескольких отрезков, такое, что расстояние между любыми двумя точками из $M$ не равно 0,1. Докажите, что сумма длины отрезков, составляющих $M$, меньше a) 0,55; b) 0,5.

А. Кач, ученик 10 класса

M563. Функция $f$ определяна на отрезке $[a; b]$ дляины 4 и имеет на нем непрерывную производную $f'$. Докажите, что внутри отрезка $[a; b]$ найдется точка $x$, для которой

$$f'(x) - (f(x))^2 < 1.$$

С. Фомин

M564. Для каких точек $M$ стороны $BC$ треугольника $ABC$ верно утверждение: $\triangle MPQ \cong \triangle ABC$, если точки $P$ и $Q$ являются:

a) центрами окружностей, описанных соответственно около треугольников $ABM$ и $ACM$ (рис. 1);
b) точками пересечения их медиан;
b) точками пересечения их высот?

Э. Туркевич

M565. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — различные положительные числа. Обозначим через $b_k$ среднее арифметическое всевозможных производений по $k$ данных чисел ($k = 1, 2, \dots, n$):

$$b_1 = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n},$$

$$b_2 = \frac{a_1a_2 + a_1a_3 + \cdots + a_{n-1}a_n}{n(n-1)},$$

$$b_n = a_1a_2 \dots a_n.$$

23

Докажите неравенства:
a) $b_1 \geqslant \sqrt{b_2}$;
b) $b_k^2 \geqslant b_{k-1}b_{k+1}$ ($k=2, \dots, n-1$);
b) $k^k \sqrt{b_k} \geqslant k^{k+1} \sqrt{b_{k+1}}$ ($k=2, \dots, n-1$).

М. Розенберг

Ф573. Оцените, какое количество воды можно унести в решете с квадратными ячейками размером $2 \times 2$ мм. Диаметр решета равен 20 см. Нити решета не смачиваются водой.

Ф574. Два шара с массами $m_1 = 0,2$ кг и $m_2 = 0,3$ кг летят настречу друг другу со скоростью $v = 20$ м/с каждый. График зависимости от времени сили взимодейства шаров при стольновении показан на рисунке 2. Какое количество теплла выделилось при стольновении шаров?

И. Слободечкий

Ф575. В схеме, приведенной на рисунке 3, все волтметры и резисторы одинаковые. ЭДС батареи $E = 5$ В, ее внутреннее сопротивление мало. Верхний волтметр показывает $U = 2$ В. Что показывает остальные волтметры?

А. Зильберман

Ф576. По прямой $OB$ равномерно движется самолет со скоростью $v > c$ (с скорость звука). Наблюдатель следит за полетом из точки $A$ (рис. 4). В тот момент, когда самолет находится в точке $O$, специальное устройство, установленное на самолете, испускает два коротких звуковых импульса: сначала импульс с малой амплитудой, затем — с большой. Временной интервал между импульсами равен $t$. При каких условиях наблюдаются сможет зарегистировать сначала импульс с большой амплитудой, а потом с малой? Расстояние $OA$ равно $L$, угол $AOB$ равен $\theta$.

Б. Болотовский

Ф577. При температуре на улице $t_0 = -20^\circ C$ работаюшая батарея поддерживает в комнате температуру $t_1 = 16^\circ C$. Когда кроме батареи включили электропитку мощностью $P_1 = 1$ кВт, в комнате установилась температура, равная $t_2 = 22^\circ C$. Определите теплую мощность батареи.

При мечании е. Телопередача от одного тела к другому пропорциональна разности температур этих тел ($\Delta P = k\Delta t$, $k = \text{const}$).