Новосибирский государственный университет

47

Рен до напряження $U_1 = 150$ В, а затем отключен от нее. Внутрь конденсатора паралельно его пластинам ввели незаряженную металлическую пластину толщиной $l = 1$ см, длина и ширина которого также же, как и у конденсатора. Определить разность потенциальов $U_2$ между пластинами конденсатора после введения в него металлической пластины.

4. В однородном магнитном поле, магнитная индукция которого $|\vec{B}| = 5 \cdot 10^{-2}$ Т, на двух легких нитях $AB$ и $CD$ подвешен горизонтальный проводник $BD$ длиной $l = 40$ см и массой $m = 5,1$ г. Каждый нить разрывается при нагрузке, превышающей $T_0 = 4 \cdot 10^{-2}$ Н. Каждый волчный ток $I$ надо пропустить через проводник в направлении от $B$ к $D$, чтобы одна из нитей разорвалась? Индукция магнитного поля направлена горизонтально, перpendикулярно к проводнику, к наблюдается.

5. Глаз человека может быть сфоксирован на объект, находящей на расстоянии от $a_1 = 25$ см до $a_2 \rightarrow \infty$ от глаза. Между какими двумя предельными расстояниями $s_1$ и $s_2$ от глаза должны быть расположен предмет, чтобы его было ясно видно через линзу с фокусным расстоянием $F = 10$ см, расположенную непосредственно перед глазом?

Географический и геологический факультеты и факультет почвоведения

1. Тело массой $m = 1$ кг врашается на ввервеke длиной $l = 1$ м в вертикальной плоскости с постоянной скоростью $v = 4$ м/c. Определить натяжение в момент, когда ввервека составляет с вертикально угол $\alpha = 60^\circ$.

2. Кастрюле с водой сообщили колчество теплоты $Q = 1,82 \cdot 10^6$ Дж; при этом часть воды выкипела. Определить долю выкипевшей воды. Масса и удельная температура равны $m_1 = 1$ кг и $c_1 = 400$ Дж/(кг·К), воды $m_2 = 5$ кг и $c_2 = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К). Начальная температура воды $t = 20^\circ$ С. Удельная температура воды $\lambda = 2,3 \cdot 10^6$ Дж/kg. Теплообменом с окружающей средой пребрежьте.

3. Два одинаковых проводящих шарика, расположенных в вакууме, с зарядами $q_1 = +3,8 \cdot 10^{-8}$ Кл и $q_2 = -1,8 \cdot 10^{-8}$ Кл, вседствие прятжения соприкосульсь и вновь разошлись на расстояние $r = 0,1$ м. Определить силу взанмодействия между ними после соприкосовения. Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/m.

4. Две лампочки, расчитанные на одно и то же направление и имеющие номinalные мощности $P_1 = 100$ Вт и $P_2 = 200$ Вт, включены последовательно в сеть с тем же направлением. Каче мощности $P'_1$ и $P'_2$ будут потреблять лампочки?

С. Алешин, В. Круелов, Л. Михеева, А. Сапоженко, А. Склякин

Ниже публикуются материалы вступительных экзаменов 1978 года.

Математика (письменный экзамен)

Механико-mатематический, физический, экономический факультеты

1. Автомобиль двигаля с постоянной скоростью, а затем стал тормозить с постояннымускорением $-2$ м/сек² и остановился. Известно, что за последние 5 сек перед остановкой он прошел $\frac{1}{7}$ часть расстояния, прошедного за предыдущие 10 сек. Определить начальное скоростьАвтомобиль.

2. Решить уравнение
   $$\frac{\sin x + \sin 3x}{\sqrt{2}|\cos x|} = \sin 2x + \cos 2x.$$

3. На плоскости заданы две окружности радиусов 3 и 1, расстояние между центрами которых равно $2\sqrt{2}$. Примяя $l$ обшая касательная этих двух окружностей. Найти площадь треугольника, вершинами которого являются точки касания и близкой шаг к $l$ точке пересечения окружностей.

4. Определить, для каких действительных значений параметра $a$ все решения herabенства $\log_x(5x^2 - 8x + 3) > 2$ является одновременно решениеми herabенства $x^2 - 2x - a^4 + 1 \geq 0$.

5. В правильной усеченной четырехугольной парамде $ABCDA'B'C'D'$ нижнее основание $ABCD$ — квадрат со стороны 3, верхнее основание $A'B'C'D'$ — квадрат со стороны 1, боковые ребра $AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ имеют длину 3. Точка $M$ середина ребра $C'D'$. Через точку $M$ проходит прямая, пересекающая прямые $AA'$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Найти длину отрезка $PQ$.

Факультет естественных наук, геологический факультет

1. Решить систему
   $$\begin{cases} 2x^2 + y^2 + 3xy = 12, \\ (x+y)^2 - \frac{1}{2}y^2 = 7. \end{cases}$$

2. Решить уравнение
   $$1 - \cos 3x \cdot \text{ctg} x = \sin 3x.$$

48

3. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ выбрана точка $D$ таким образом, что длина отрезка $BD$ в 4 раза больше длины отрезка $AD$. Точки $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, описанных около треугольников $ACD$ и $BCD$. Известно, что прямая $O_1O_2$ параллельна прямой $BC$. Определить, в каком отношении прямая $O_1O_2$ делит площадь треугольника $ABC$.

4. Решить неравенство

$$\log_2 \left(1 + \frac{1}{x}\right) + \log_2 \left(1 + \frac{x}{4}\right) \geq 1.$$

5. Дан куб с основанием $ABCD$ и боковыми ребрами $AA', BB', CC', DD'$. Точка $N$ — середина ребра $AB$, точка $M$ — середина ребра $BB', O$ — точка пересечения диагоналей грани $BCC'B'$. Через точку $O$ проведена прямая, пересекающая прямые $AM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Определить длину отрезка $PQ$, если известно, что длина ребра куба 1.

Физика

В 1978 году на физическом факультете НГУ каждый вариант письменного экзамена по физике состоял из пяты задач трех типов.

Первые три задач — расчетные задачи различной трудности: от почти стандартных до сравнительных сложных, требующих смекалки, глубоких знаний, умения разобраться в непrivibuous или условеной физической ситуации.

Четвертая задач — это задача-оценка. Для решения этой задачи надо попытаться разматриваемое физическое явление, формulierовать простую (так как нужно только оценка) физического модель этого явления, выбрать размерные значения физических параметров и, наконец, получить численный результат, более или менее соответствующей реальности. В тексте задачи подвергивалось, что абитурент, хорошо представляя явление или задачу, может сам задать необходимые величины и получить численный ответ. Опыт вступительных экзаменов показывает, что с задами-оценками справляется значительная часть абитурентов, значленных на физической факультет.

Пятая задач — это задача-дemonстрация, в которой надо обьясить физическое явление, демонстрируемое на экзамене. Здесь важно получить существенные явления и среди различных физических факторов выделить главный.

Ниже приведятся первые три задач трех вариантов, а также некоторые задания-оценки и заданий-дemonстрации.

Вариант 1

1. В U-образной трубке с воздухом на одинаковой высоте $h$ удерживается два поршня массой $m$ каждый (рис. 1). Сечение левого колена $2S$, правого и нижнего $S$. Длина нижнего колена $3h$. Давление воздуха внутри трубки равно atmospheric давлению $p_0$. В некоторых моментах поршня отпускают. Найти установившиеся высоты поршней. (Температура газа в начале и в конце одна и та же, поршни могут перемешаться только по вертикальным участкам.)

2. В схеме, изображенной на рисунке 2, ключ $K$ вначале находится в положении $O$. Конденсаторы емкости $C_1$ и $C_2$ разряжены. ЭДС батарей равны $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$. Затем ключ $K$ замыкается на клемму $I$ и через некоторое время переключается на клемму $2$. Какая разность потенциальов установится на конденсаторе емкости $C_1$?

3. Две одинаковые сбирающие линия с фокусным расстоянием $F$ расположены так, что их главные оптические оси образуют угол $\alpha$ и ось второго линзы прохождения церзццерт $O_1$ первой (рис. 3). В формуле линзы расположен точчный источник света $S_0$. Найти расстояние $|S_0S|$ между источником $S_0$ и его изображением $S$ в системе линза, если расстояние между центрами линза $|O_1O_2| = 2F$.

Вариант 2

1. ДиНАМОметр $D$ поставили между двумя отрезками троса $ABC$ и $AEC$ так, что он находится на диагонали $BE$ ромба $(EAB = BCE = \alpha)$ (рис. 4). Точка $C$ закреплена. Найти силу, которая приложена к точке $A$, если диНАМОметр показывает абсолотную величины силы $F_0$.

2. Цилиндрический сосуд высотой $l$ наполнен скинемаемой жидкости, плотность которого $p$ меняется с глубиной $h$ по закону $\rho = \rho_0 (1 + \alpha h)$. Каким должен быть коэффициент $\alpha$, чтобы этой жидкость можно было направить три одинаковых сосуда высотой $l/2$ с сечением, равным сечению исходного сосуда?

3. Автомобиль движется со скоростью $v$ mismo длиной стены под углом $\alpha$ к ней (рис. 5). В момент, когда расстояние до стены равно $l$, Автомобиль подает звуковой сигнал. Какое расстояние проедет