Решения задач М513, М514; Ф514, Ф521—Ф525

24

Решения задач
M513, M514, Ф514, Ф521—Ф525

М513. Докажите, что существует число $A$ такое, что в график функции $y = A \sin x$ можно описать не менее 1978 попарно неконструмтивных квадратов. (Квадрат называется вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)

Рис. 1.

Рис. 2.

Для того чтобы точка $(x; y)$ была вершиной вписанного в график $\Gamma$ квадрат с центром $O = (0; 0)$, достаточно условия $(x; y) \in \Gamma$ и $(-y; x) \in \Gamma$, то есть условия

$$y = A \sin x, -x = A \sin y;$$

при этом $(-x; -y) \in \Gamma$ и $(y; -x) \in \Gamma$, так как $O$ — центр симметрики графика $\Gamma$ (рис. 1; функция $y = A \sin x$ нечетна). Тем самым каждому корню уравнения

$$\sin (A \sin x) = -\frac{x}{A}, x > 0, y = A \sin x > 0$$ (1)

соответствует вписанной квадрат с центром $O$. Покажем, что при большом $A$ это уравнение имеет много корней.

На каждом из отрезков $x \in [2\pi k; 2\pi k + \pi/2]$ величины $y = A \sin x$ увеличивается от 0 до $A$; на каждом из отрезков $x \in [2\pi k + \pi/2; 2\pi k + \pi]$ уменьшается от $A$ до 0 (рис. 2; $k = 1, 2, \dots$). Возьмем $A = 2\pi n$. Тогда величины $z = \sin y$ при $y$, меняются от 0 до $A$, пробегает отрезок $[-1; 1]$ $2n$ раз (начинаяся и заканчивается этот «пробег» при $z = 0$, Пусть $k < n$. Тогда на каждом отрезке $[2\pi k; 2\pi k + \pi/2]$ и $[2\pi k + \pi/2; 2\pi k + \pi]$ уравнение (1) будет иметь $2n$ корней — при каждом перехождение $z$ от 0 к $(-1)$ и обратно график $z = \sin (A \sin x)$ пересекает прямую $z = -\frac{x}{A}$ $2n$ раз, поскольку $|x/A| < 1$ при $0 \leq x \leq 2\pi k + \pi < A$, а всего уравнение (1) будет иметь $4n^2$ корней ($k = 0, 1, \dots, n - 1$).

Чтобы убедиться в том, что квадрат попарно неконструментный, возьмем лишь $x \in [0; \pi/2]$. При $A > 1978\pi$ уравнение (1) будет иметь это отрезке не менее 1978 корней, причем чем больше $x$, тем больше $y = A \sin x$ и $\sqrt{x^2 + y^2}$; значит, все соответствующие 1978 квадратов неконструменты.

Другое, более геометрическое решение задачи M513 можно получить, основываясь на таком соображении: повернем график $\Gamma$ функции $y = A \sin x$ на $90^\circ$ вокруг точки $O$. Тогда любая точка пересечения графика $\Gamma$ и повернуть графика $\Gamma'$ (кроме $O$) служит вершиной квадрата с центром $O$, вписанной в $\Gamma$.

Заметим, что все квадраты, о которых шла речь в наших решениях, имеют центры симметрины в точке $O$. Повидимому, любой квадрат, вписанный в $\Gamma$, имеет центр симметрины в одной из точек $(2\pi n; 0)$ (т. е. в одном из центров симметрики графика $\Gamma$); попробyte это доказать.

Н. Васильев

М514. Докажите, что существует максимальный операционный последовательность $(x_n)$, что для любых различных $m$ и $k$ выполняено неравенство

$$|x_m - x_k| \geq |m - k|^{-1}.$$

Мы приведем два решения задачи, представив читатель судить о достоинствах и недостатках каждой из них.

Заметим, что достаточно построить ограниченную последовательность $(x_n)$, удовлетворяющую (1) для $\varepsilon = 1/10$. В этом случае необходимо, чтобы член последовательности, номера которых отличаются на 1, отличались бы не менее чем на $1/10$, члены по-

26

1. шифр цифры 0 есть цифра 0;
2. любая цифра однозначно восстанавливается («дешифруемся») по ее цифру;
3. если цифры двух цифр соседние, m. e. отличются на 1 или на 9, то сами цифры не являются соседними.

Обозначим шифрованную последовательность через $(y_n)$. Докажем, что последовательность $(y_n)$ такова, что для любых различных $m$ и $k$ выполнен неравенство

$$|y_m - y_k| \cdot |m - k| \geq 1/100.$$

Пусть $m > k$, $m = \overline{a_l \dots a_1}$, $k = \overline{b_l \dots b_1}$ (мы всегда можем считать, что в $k$ столько же цифр, сколько в $m$, пополив в случае необходимости число $k$ слева неокоторым количеством нулей; при этом согласно 1) число $y_k$ пополнится нулями справа).

Пусть $y_m = 0$, $\overline{\alpha_1 \dots \alpha_{s-1} \alpha_s \dots \alpha_l}$, $y_k = 0$, $\beta_1 \dots \beta_{s-1} \beta_s \dots \beta_l$,

и $y_m - y_k = 0$, $0 \dots 0$? …?

(Mы считаем, что $y_m > y_k$; звездочка * указывает первую значащую цифру, знаки? — какне угодно цифры.) Тогда $|y_m - y_k| \geq 10^{-s}$. Сравним теперь числа $m$ и $s$. Для этого сравним числа $\overline{\alpha_1 \dots \alpha_{s-1}}$ и $\overline{\beta_1 \dots \beta_{s-1}}$. Поскольку в разложении числа $y_m - y_k$ после запятой стоит $s-1$ нуль, эти два числа либо совпадают, либо отличятся на 1.

С лучой 1. Если $\overline{\alpha_1 \dots \alpha_{s-1}} = \overline{\beta_1 \dots \beta_{s-1}}$, то $\alpha_s \neq \beta_s$; значит, $a_s \neq \beta_s$, откуда $|m - k| \geq 10^{s-1}$, так как при вычитании $k$ из $m$ мы получим ненулевое число, кончащшееся на $s-1$ нуль.

С лучой 2. Если $\overline{\alpha_1 \dots \alpha_{s-1}} = \overline{\beta_1 \dots \beta_{s-1}} + 1$, то цифры $\alpha_{s-1}$ и $\beta_{s-1}$ являются соседними. Тогда по свойству 3) цифры $a_{s-1}$ и $b_{s-1}$ не являются соседними, а значит, в десятичном разложении числа $m-k$ цифра, стояшая в разряде $10^{s-2}$, не равна нулю, откуда $|m - k| \geq 10^{s-2}$.

В обонх случаях $|y_m - y_k| \cdot |m - k| \geq 10^{-2}$, что и требовалось доказать.

Второе решение. Положим $x_n = n\sqrt{2} - a_n$, где $a_n$ — наиболее целое число, не превышает $n\sqrt{2}$. Ясно, что $0 < x_n < 1$. Покажем, что для любых $m > k > 1$

$$|x_m - x_k| \cdot (m - k) > 1/4,$$

то есть что последовательность $(4x_n)$ — исключая.

Оценим силу величины

$$|x_m - x_k| = |(m - k)\sqrt{2} - a_m - a_k|$$

$$= \frac{|2(m - k)^2 - (a_m - a_k)|}{|(m - k)\sqrt{2} + (a_m - a_k)|}.$$

Числитель — целое число, отличное от нуля (число $\sqrt{2}$ irrationalное), поэтому он не меньше 1. Знаменатель легко оценить, пользоваться тем, что $a_m < m\sqrt{2} + a_k > k\sqrt{2} - 1$:

$$(m - k)\sqrt{2} + (a_m - a_k) < 2(m - k)\sqrt{2} + 1 < (m - k)(2\sqrt{2} + 1) < 4(m - k).$$

Отсюда получаем $|x_m - x_k| > \frac{1}{4(m - k)}$.

C. Конякин, А. Куширеенко

27

Ф514. Резино-кордное полотно изzeugмовлено из прочных упруехих нитей (корда), залимых мякой элastический резиной. Ними корда образуют угол 2α друже с дружеом (рис. 6). Из макое полотна сделан крутовой цилиндр, к морцам коморого прикреплены металлические крышки (рис. 7). Внутрь цилиндра наенемается воздух. В опытах было заменено, что при наенемании воздуха цилиндр принимает одну из трех форм, показанных на рис. 8. Форма зависит от угла 2α между нитями. Каким значениям уела соответствует какая форма?

Рис. 6.

Рис. 7. Рис. 8.

Теперь рассмотрим равновесие квадратка полотна со стороны l, который «виден» под углом φ от оси цилиндра, причем φ ≤ 1. На этот квадратик действует горизонтальная сила давления F₃ ≈ pl², а со стороны остальной части полотна — горизонтальная сила F₄ = 2Q₁l sin φ/2 ≈ Q₂lφ (рис. 9). Так как φ = l/R, то F₄ = Q₂l²/R.

При равновесии F₃ = F₄, то есть pl² = Q₂l²/R, откуда Q₂ = pR = 2Q₁.

Силы Q₁ и Q₂ представляют собой равноведействующие сил натяжения нитей. Найдем их, полагая, что натяжение нитей равно T, а сторона ячейки, образуемой нитями, равна a. Нетрудно увидеть, что горизонтальное расстояние между точками пересечения нитей в этом случае равно 2a cos α, а вертикальное — 2a sin α. Это означает, что на горизонтальной стороне квадратка со стороны l оказывается n₁ = 2l/2a cos α = l/a cos α нитей, а на вертикальной — n₂ = l/a sin α нитей. Вертикальная равноведействия Q₁l сил натяжения нитей, оцененное, равна n₁T cos(π/2 - α) = n₁T sin α = Tl tg α/a, горизонтальная — Q₂l = n₂T cos α = Tl/a tg α (рис. 10).

В случае квадратичной поверхности Q₂ = 2Q₁, так что T/a tg α = 2T tg α/a, откуда tg²α = 1/2, α ≈ 35° 16′. При α > 35° 16′ поверхности принимает такую форму, как на рисунке 8,6, а при α < 35° 16′ — как на рисунке 8,8.

28

Ф521. На рисунке 11 показана часть траектории движения хорошего мела, брошенное под уделом к горизонту. В мочеке A мело имelo скорость, равную по абсцизной величины 20 м/c. Сколько времени мело лемelo от мочика A к мочеке B?

Тело, брошенное под углом к горизонту, движется равноускоренно сускорением свободного падения $g$; проекция его скорости на ось $OX$ остается неизменной, а проекция скорости на вертикальную ось $OY$ меняется со временем по закону

$$v_y = v_0 + gt,$$

где $g = -9,8 \text{ m/c}^2$ — проекция вектора $g$ на ось $OY$. Если $t_0$ — время движения тела от точки A к точки B, то $v_{By} = v_{Ay} + gt_0$, откуда

$$t_0 = \frac{v_{By} - v_{Ay}}{g} = \frac{\Delta v_y}{g}.$$

Следовательно, чтобы найти $t_0$, нужно найти изменение проекции скорости тела на ось $OY$.

Векторы $v_A$ и $v_B$ скорости тела в точках A и B направлены по касательным к траектории тела в этих точках. Нарисуем вектор $v_A$ в произвольно выбранном масштабе и проведем касательную к траектории в точке B. Найдем проекцию $v_x$ скорости тела на ось $OX$ в точке A и отложим отрезок такой же длины на горизонтальной прямой, проведенной через точку B. Проведяем теперь через конец отложенного отрезка вертикаль, найдем вектор $v_B$ и его проекцию $v_{By}$ на ось $OY$. Измерив с помощью линейки $v_{Ay}$ и $v_{By}$, найдем значение $\Delta v_y$ (он не зависит от выбранного масштаба) и затем время $t_0$ движения тела от точки A до точки B.

В нашем случае $\Delta v_y = |v_{By}| + |v_{Ay}| = 33 \text{ (м/c)}$, $t_0 \approx 3,3 \text{ c}$.

И. Слободецкий

Ф522. Цень, показанная на рисунке 12, показывает к семи переменного мока с направлением $U_0 = 220 \text{ B}$. Каково направление между мочиками A и B?

Построим векторную диаграмму направлений для цепи. Вектор направления между точками A и B равен сумме векторов направления на конденсаторе и резисторе, то есть изображается диагональю прямой угольника, построенного на векторах $\vec{U}_C$ и $\vec{U}_R$ (рис. 13):

Рис. 12.

Рис. 13.

$$\vec{U}_{ab} = \vec{U}_C + \vec{U}_R; \quad U_{ab} = |\vec{U}_C + \vec{U}_R| = U_0 = 220 \text{ B}.$$

Вектор направления между точками A и B равен разности $U_C$ и $U_R$ и, следовательно, изображается другой диагональю того же прямой угольника. Так как диагональ прямой равны, то

$$U_{AB} = U_{ab} = 220 \text{ B}.$$

А. Зильберман

Ф523. Снаряд развиваемая в некоторой точке траектории на два осолка. На рисунке 14, сделаном в определении масштабes, крестиками отмечен по-lo-

Если массы осолков равны $m_A$ и $m_B$, то расстояния $r_A$ и $r_B$ от осолков до центра масс в любые моменты времени должны быть таким, чтобы

$$\frac{r_2}{r_1} = \frac{m_1}{m_2} = \text{const.}$$

29

Женняя снаряда и одною из околков через последовательное равные промежуточки времени. Найдем положения второго околка в соответствии соотношение моменты времени, если известно, что он находится в точке B в том момент, когда первый околок находится в точке A. Стрелкой на рисунке показано направление ускорения свободного падения. Опишите способ построения.

Рис. 14.

Ф524. Модель вертолета, изображенная в 1/10 намуральной величины, уderживается в воздухе при мощности momora 30 Вт. Каждый бит минимальная мощность вертолета, изображенной из тех же матерцалов, что и модель?

Центр же масс системы движения так, как движется частица с массой $M=m_1+m_2$, когда на нее действуют силы, действующие на систему. В нашем случае на системе действует только сила тяжести. Поэтому центр масс системыprodолжает двигаться по той же параболе, по которой он движался до разрыва снаряда.

Нетрудно найти последовательные положения центра масс. Из рисунка видно, что точка a — вершина парабольы. Это следует из того, что предыдущая и последующая точки, в которых находится снаружи ($b$ и $b'$), лежат на одной горизонтали. Следовательно, после разрыва снаряда центр масс системы через последовательное равные промежуточки времени оказывается на тех же горизонтальных прямых, что и точки c, d, e, f и т. д. Точки $c', d', e', f'$ и т. д., в которых находится центр масс, симметричный точкам c, d, e, f и т. д. относительно вертикалки, проходящей через точку a.

В тот момент, когда околки находится в точках A и B, центр масс их находится в точке $e'$. По рисунку находится, что точка $e'$ делит отрезок AB на части, длины которых относится как $r_A:r_B=2:1$ (следовательно, $m_A:m_B=1:2$).

Чтобы найти положение второго околка через последовательное равные промежуточки времени, проведем прямые через точки $A_1$ и $c'$, $A_2$ и $d'$, $A_3$ и $f'$ и т. д. На этих прямых от точки $c', d', e', f'$ и т. д. отложим отрезки, длины которых равны соответствующим $1/2|A_1c'|$, $1/2|A_2d'|$, $1/2|A_3f'|$ и т. д. Концы этих отрезков — точки $B_1$, $B_2$, $B_3$ и т. д. — и указывают положения второго околка в соответствии моменты времени.

Вертолет (или модель) уderживает в воздухе благодар реактивной силе, возникающей, когда винт «отбрасывается» взиз воздуханую струю. Согласно III закону Ньютона действующая на вертолет (на винт) реактивная сила равна по абсолотному значению силе, действующей на струю.

Обозначим $\rho$ плотность воздуха, $S$ — площадь струи и $v$ — абсолотное значение скорости струи. Тогда за время $\Delta t$ винт отбрасывается взиз воздуха $Sv\Delta t$ с массой $m=\rho Sv\Delta t$, и импульс воздуха изменяется на величины

$$\Delta p=mv=\rho Sv^2\Delta t.$$

Согласно II закону Ньютона на взизах действует сила $F$ такая, что абсолотное значение ее равно

$$F=\frac{\Delta P}{\Delta t}=\rho Sv^2.$$

Такая же по абсолотному значению сила действует на вертолет. Чтобы вертолет уderживает в воздухе $F$ должно быть равно абсолотному значению $Mg$ силы тяжести, действующей на вертолет:

$$\rho Sv^2=Mg.$$

Мощность $N$ движетля равна энергии, сообщаемой воздуха за 1 секунду:

$$N=\frac{mv^2}{2\Delta t}=\frac{\rho Sv^3}{2}.$$

Подставляя из (*) $v=\sqrt{\frac{Mg}{\rho S}}$, получим

$$N=\frac{1}{2}Mg\sqrt{\frac{Mg}{\rho S}}.$$

Так как масса $M$ вертолета пропорциональна его объему, то есть кубу линейных размеров $M \sim L^3$, а $S \sim L^2$, то

30

из (**) имеем:

$$N \sim L^{7/2}.$$

Это означает, что отношение мощностей двигателей вертолета и модели должно быть равно отношению их линейных размеров в степении 7/2, то есть

$$\frac{N}{N_{\text{мод}}} = \left( \frac{L}{L_{\text{мод}}} \right)^{7/2}.$$

Отсюда

$$N = N_{\text{мод}} \cdot 10^{7/2} \approx 95 \text{ кВт}.$$

Ф525. При увеличении мока направление на разрядном промежутке дугового разряда уменьшается, стремясь при больших токах к некоторому постоянному значению. Дугу включили в себя последовательное с некоторым балластным резистором. Вольтамперная характеристика для маки цепи показана на рисунке 15. 1) Построим волтамперную характеристику дуги без балластного резистора. 2) Используя полученный график, определим максимальное сопротивление балластного резистора, при котором дуга может гореть при направлении источника $U=85 \text{ В}$.

Рис. 15.

Рис. 16.

1. Наряжение $U$ на входе системы равно сумме направления $U_{\text{д}}$ на разрядном промежутке дуги и направления $U_R$ на резисторе. Так как $U_R=1R$, где $I$ — ток в цепи, то

$$U(I)=U_{\text{д}}(I)+1R.$$

Значение $U_{\text{д}}(I)$ убивает при увеличении $I$ и при больших значениях тока стремится к некоторому постоянному значению $U_0$. Это означает, что при больших токах зависит $U(I)$ становится линейной —

$$U(I)=1R+U_0,$$

причем тангенс угла $\alpha$ накладна графика к оси токов равен $R$:

$$tg \alpha = \frac{\Delta U}{\Delta I} = R.$$

Из рисунка 15 видно, что при $I>10$ А график $U(I)$ — практический пример линяя. По рисунку находится

$$R = \frac{80-55}{17,5} \approx 1,4 \text{ (Ом)}.$$

Чтобы построить волтамперную характеристику дуги, надо для каждого значения тока $I_i$ найти значение $U_{\text{д}}(I_i)=U_i-I_iR$ (значения $U_i$, берем из графика, $I_iR=1,4 I_i$). Волтамперная характеристика дуги приведена на рисунке 16. 2) Определим максимальное сопротивление $R_{\text{max}}$ балластного резистора, при котором дуга может гореть при направлении источника $U=85 \text{ В}$.

На график $U_{\text{д}}(I)$ нанесем нагрузочные примысе $U-1R$ ($U=85 \text{ В}$), отвечающие значения $R$. Очевидно, что чем больше значение $R$, тем меньше угол $\alpha$ составляет нагрузочная примая с осью токов. Если нагрузочная примая не имеет общих точек с графиком $U_{\text{д}}(I)$ — горение дуги невозможно. Поэтому ясно, что максимальное сопротивление $R_{\text{max}}$ резистора, при котором дуга горит, соответствует нагрузочной примая, касающейся графика $U_{\text{д}}(I)$. Из рисунка 16 находится,

$$R_{\text{max}} = \frac{\Delta U}{\Delta I} \approx \frac{35}{7} = 5 \text{ (Ом)}.$$

(Точки пересечения нагрузочной примой с графиком $U_{\text{д}}(I)$ (например, точки $a$ и $b$) определяют возможность значения тока и направления на дуге при данной сопротивлении балластного резистора. Точка $a$ соответствует неустойчивому горению дуги, а точка $b$ — устойчивому.)