Qua những trang sách mới

54

Theo trang
cuốn sách mới
Thẳng và cong

Toán học là một thế giới rộng lớn và rất độc đáo, đáng kinh ngạc với vẻ đẹp của những đỉnh cao đã chinh phục và chưa chinh phục, những nơi làm việc mở vượt qua vực thẳm và kết nối một quốc gia miền núi về sự kiện và phương pháp với một quốc gia miền núi khác. Tuy nhiên, những chân trời tạo ra trí tưởng tượng này chỉ mở ra cho những ai đã thâm nhập được vào thế giới toán học, đã học cách nhìn thấy vẻ đẹp tiềm ẩn đối với những người chưa quen và đã thành thạo khả năng khó nhìn thấy kính vạn hoa tuyệt vời về các hình, số và logic toán học trong thế giới xung quanh. Nhưng thâm nhập vào thế giới tư tưởng toán học không phải là điều dễ dàng: ngoài khả năng và niềm đam mê, bạn còn cần có tính xác thực, ý chí, khát khao và khả năng làm việc chăm chỉ. Chỉ có nhiều công việc có hệ thống và đặc biệt là lời giải bài toán mới có thể đưa học sinh thành công trong môn toán.

Nhưng mọi thứ đều ở đó: niềm đam mê toán học, niềm đam mê và mong muốn giải quyết bài toán (đặc biệt là “khó khăn”), sự kiên trì và chăm chỉ. Và khi đó câu hỏi chính sẽ nảy sinh: đọc gì và quyết định gì bài toán? Rốt cuộc, nếu cuốn sách bạn đọc hóa ra không thấm nhuần “tinh thần” hiện đại của toán học và các ứng dụng của nó, hoặc nếu bạn quyết định bài toán về việc thúc đẩy sự phát triển sở thích tốt và các phương pháp nghiên cứu cũng như mở rộng tầm nhìn của một người, thì điều gì đó cần phải được loại bỏ trong quá trình nuôi dưỡng và hình thành một nhà toán học tương lai. Nhưng nếu cuốn sách được chọn thành công, thì cuốn sách đó sẽ trở thành một giáo viên và người cố vấn tốt bụng và giàu kinh nghiệm, và điều này có thể đảm bảo rằng nó sẽ giúp trau dồi gu thẩm mỹ tốt, có được quan điểm và kỹ năng nghiên cứu.

Theo ý kiến ​​của chúng tôi, cuốn sách của N.B. Vasiliev và V.L. Gutenmacher “Những đường thẳng và đường cong”* chính xác là một người cố vấn tốt bụng và giàu kinh nghiệm cho một nhà toán học trẻ. Cuốn sách chứa đựng sự lựa chọn thú vị của bài toán, bằng cách giải mà người đọc - có lẽ chưa nhận ra - sẽ trở nên quen thuộc với tinh thần và ý tưởng của toán học hiện đại. Được kết nối ở đây (đặc biệt là trong các giải pháp được trình bày cho nút bài toán, đóng vai trò như một loại đèn hiệu cho người đọc) là các ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp và phương pháp tọa độ được sử dụng bởi các chuyển vị và thông điệp động học khác nhau (mà các tác giả tạo thành “định lý vòng”), phương pháp vectơ lời giải bài toán và các kết nối logic giữa các phần tử của điều kiện. Đồng thời, bài toán giống nhau thường được xem xét từ các quan điểm khác nhau, được giải quyết bằng các phương pháp khác nhau, điều này cho phép bạn so sánh các phương pháp này, thu được những tầm nhìn cần thiết.

Như bạn có thể thấy, cuốn sách này không nhằm mục đích đọc nhẹ nhàng, trái lại, nó dạy về sự chăm chỉ,

*) N. B. Vasiliev và V. L. Gutenmacher. “Thẳng và cong.” M., “Khoa học”, 1978, ed. lần thứ 2, sửa đổi

sự kiên trì, khả năng làm việc chăm chỉ để tìm ra giải pháp bài toán, giúp làm cho công việc khó khăn trong việc tiếp thu lời giải bài toán mới trở nên thú vị và hấp dẫn. Đồng thời, cũng thuận tiện không kém cho người mới bắt đầu với kỹ năng lời giải bài toán trải nghiệm thú vị lời giải bài toán. Không còn nghi ngờ gì nữa, lời giải trong số bài toán này và việc thành thạo bài kiểm tra lý thuyết đảm bảo sự phát triển văn hóa toán học ở học sinh, khả năng suy nghĩ độc lập, nhìn ra mối quan hệ giữa các phương pháp và ý tưởng toán học ở mức độ mà người đọc có thể tiếp cận được.

Chúng tôi đã chọn từ cuốn sách này một loạt bài toán liên quan đến một chủ đề - góc nội tiếp. Chủ đề này bắt đầu ở lớp 7 (mục 64, “Hình học 7”), sau đó tiếp tục ở lớp 8 (mục 111, “Hình học 8”). Đối với chúng tôi, có vẻ như học sinh lớp 7 sẽ thích thú làm quen với chủ đề này nói chung và học sinh trung học sẽ thấy hữu ích khi lặp lại toàn bộ chuỗi các định lý liên quan.

Góc nội tiếp

Bài toán 1. Trượt thang xuống, đứng trên sàn dựa vào tường. Người đàn ông nhỏ bé ngồi giữa cầu thang đi theo đường nào?

Đáp số (có thể xảy ra, bất ngờ). Con mèo di chuyển theo vòng tròn.

Theo giấc mơ. M ở giữa của một đoạn CL cho trước (|CL|=d) luôn nằm ở khoảng cách d/2 tính từ điểm O (Hình 1). Điều này suy ra từ định lý: độ nhỏ của trung vị OM thích hợp hơn một cách tuyến tính so với KOL và bằng một nửa diinuenza KL. (Dễ dàng kiểm chứng tính đúng đắn của nó, nối tam giác KOL với hình chữ nhật KOLT và nhớ rằng các đường chéo của hình chữ nhật KL và OT có chiều dài bằng nhau và giao điểm M được tạo dọc theo các tầng; xem Hình 2, 3)

Bây giờ chúng ta cùng xem chuyển động của cầu thang nhé bạn

55

một cách tốt đẹp. Đặt đoạn $KL$ (“cầu thang”) cố định và các đường $KO$ và $LO$ (“tường” và “sàn”) lần lượt xoay quanh các điểm $K$ và $L$ sao cho góc giữa chúng vẫn vuông góc. Lần này, việc khoảng cách từ giữa đoạn thẳng đến đỉnh $O$ của góc vuông luôn không đổi trở thành Định lý A từ đoạn 64 của “Hình học 7”: nếu hai điểm $K$ và $L$ cho trên mặt phẳng thì các điểm $O$ mà $K\hat{O}L=90^\circ$ nằm trên một đường tròn có đường kính $KL$.

Bài toán 2. Điểm $O$ nằm trên đoạn $AC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $M\hat{O}C=2M\hat{A}C$ (Hình 4).

Đáp số. Sự kết hợp của một đường tròn có tâm $O$ bán kính $AO$ (không có điểm $A$) và tia $OC$ (không có điểm $O$) - xem Hình 5.

Giải thích. Để điểm $M$ của tập hợp mong muốn không thuộc đường $AO$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $|MO|=|AO|$. Hãy dựng một hình tam giác $OAM$ (Hình 6). Bằng định lý về góc ngoài của tam giác $O\hat{A}M+A\hat{M}O=M\hat{O}C$. Theo điều kiện $M\hat{O}C=2M\hat{A}C$.

Từ điều kiện bài toán ta thu được ngay $O\hat{A}M=A\hat{M}O$; do đó, tam giác $AMO$ là tam giác đều, tức là $|OM|=|AO|$.

Nói theo ngôn ngữ “chuyển động”, kết quả của nhiệm vụ 2 có thể hình dung như sau: cho đường thẳng $AM$ quay quanh điểm $A$ với vận tốc góc không đổi $\omega$ (tức là trong một đơn vị thời gian, quay một góc có độ lớn $\omega$), và để đường thẳng $OM$ quay quanh điểm $O$ với vận tốc góc $2\omega$, và tại thời điểm ban đầu, cả hai đường thẳng đều trùng với đường thẳng $AO$ (Hình 7). Khi đó điểm $M$ giao điểm của các đường này di chuyển dọc theo một đường tròn có tâm $O$.

Từ đây chúng ta có thể rút ra định lý góc nội tiếp (Định lý 62 từ đoạn 111 của Hình học 8). Nếu đường thẳng $AM$ trong thời gian $t$ quay từ vị trí $AM_1$ đến vị trí $AM_2$ theo góc $\omega t$ thì đường thẳng $OM$ quay qua góc $2\omega t$, nói cách khác, góc nội tiếp $M_1AM_2$ bằng giá trị góc của góc ở tâm tương ứng $M_1OM_2$ (Hình 2). 8).

Định lý này có thể được phát biểu rõ ràng hơn:

Định lý về số lượng trên một đường tròn chứa một vành nhỏ. Một thanh quay quanh điểm $A$ của đường tròn và đi qua vòng này. Nếu thanh quay đều với vận tốc góc $\omega$ thì vòng quay đều quanh chu vi với vận tốc góc $2\omega$ (Hình 9).

*) Lưu ý định lý số lượng theo nghĩa đen: “vòng” tưởng tượng đơn giản là giao điểm của một đường thẳng và một đường tròn; nếu bạn làm mô hình dây thì sau một lượt (theo hướng khác) vòng sẽ bị kẹt.

56

Hình 10.
Hình 13.
Hình 16.
Hình 11.
Hình 14.
Hình 17.
Hình 12.

Một dạng khác của định lý về góc nội tiếp và đường tròn trên đường tròn:
Định lý về đường quay.
Nếu hai đường thẳng cắt nhau $l_A$ và $l_B$ quay trong mặt phẳng chứa các điểm chu vi $A$ và $B$ với cùng vận tốc góc $\omega$ (Hình 10); trong trường hợp này tất nhiên góc giữa chúng không đổi), hình dạng giao điểm của các đường thẳng này là hình tròn.

Giải thích. Hãy dựng một đường tròn $\delta$ đi qua ba điểm: $A$, $B$ và một vị trí khác $M_0$ là giao điểm của các đường $l_A$ và $l_B$ (Hình 11). Theo định lý “về một vành trên một đường tròn”, giao điểm của đường thẳng $l_A$ và đường tròn $\delta$ chuyển động dọc theo đường tròn $\delta$ đều với vận tốc góc $2\omega$. Điểm giao nhau $l_B$ với đường tròn $\delta$ di chuyển theo cùng một cách. Vì tại một thời điểm các điểm này trùng nhau (vị trí $M_0$) nên chúng trùng nhau.

Họ đưa nó vào bất cứ lúc nào khác. Điều này ngụ ý sự phát biểu của định lý.

Bài toán 3. Tự vẽ một bức tranh nêu bật định lý về đường quay.

Giải thích. Vẽ một vòng tròn và chia nó thành 12 phần bằng nhau. Vẽ qua một trong các điểm chia $A$ và các điểm chia còn lại là các đường thẳng, đồng thời là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $A$ (Hình 12); bạn sẽ được một tập gồm 12 đường thẳng chia mặt phẳng thành 24 góc bằng nhau). Bằng cách di chuyển bút chì quanh vòng tròn, bạn có thể chắc chắn rằng khi di chuyển từ điểm chia $M$ đến điểm chia tiếp theo, đường thẳng $AM$ sẽ quay cùng một góc. Chọn một điểm chia khác $B$ (giả sử điểm chia thứ tư từ $A$) và dựng cho nó một bó gồm 12 đường thẳng giống như đối với điểm $A$. Đối với mỗi điểm phân chia $M$, hãy đánh dấu một góc nhọn giữa các đường $AM$ và $BM$ (tất cả các góc này đều giống nhau!).

Từ định lý về các đường quay, suy ra rằng nếu chúng ta tiếp tục tất cả 23 đường đã dựng đến giao điểm thì tất cả 110 điểm giao nhau (không tính $A$ và $B$) nằm trên cùng một vòng tròn - mỗi điểm có 10 điểm.

Bài toán 4. Dây $AB$ của vòng tròn được cố định và dây $CD$ chuyển động mà không thay đổi độ dài. Giao điểm của các đường thẳng di chuyển dọc theo đường nào: a) $AD$ và $BC$; b) $AC$ và $BD$ (Hình 13)?

Giải thích. Để điểm $D$ di chuyển đều dọc theo một đường tròn cho trước, sau đó điểm $C$ di chuyển đều dọc theo đường tròn đó, và do đó các đường thẳng $AD$, $BC$, $AC$, $BD$ quay đều quanh điểm $A$ và $B$ (với cùng vận tốc góc). Theo định lý về đường quay, giao điểm của các đường thẳng tương ứng

57

Một số đường thẳng chuyển động thành một vòng tròn.

bài toán này liên quan chặt chẽ đến các bài toán 12*, 13* từ đoạn 111 của “Hình học 8”.

Hình 19.

Bài toán 5. Dọc theo một đường tròn đứng yên, chạm vào nó từ trong ra ngoài, không trượt thì đường tròn vào nhỏ hơn bán kính của nó. Chúng ta mô tả đường nào tại điểm K của vòng tròn chuyển động (Hình 14)?

Đáp số trong bài toán này đơn giản một cách đáng ngạc nhiên: điểm di chuyển theo đường thẳng, chính xác hơn là dọc theo đường kính của một đường tròn đứng yên (Hình 15). Kết quả này được gọi là định lý Copernicus.

Hãy thử kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Copernicus trong thực tế. Chứng minh không khó - bạn chỉ cần nhớ định lý góc nội tiếp.

Hãy so sánh kết quả của bài toán 1 và 5. Trong cả hai bài toán, lời giải đều liên quan đến một chuyển động khá phức tạp của một hình (ở bài thứ nhất là một đoạn, ở bài thứ hai là một đường tròn), nhưng quỹ đạo của các điểm không phải tác nhân hóa ra lại đơn giản đến không ngờ. Hóa ra hai bài toán này giống nhau không chỉ ở bên ngoài, mà cả các chuyển động được xem xét trong chúng; cuộc thi đấu!

Thật vậy, một đường tròn bán kính d/2 lăn dọc theo một đường tròn bán kính d từ bên trong, và KL rỗng - đường kính của đường tròn này, được nối cứng với nó. Theo định lý Copernicus, các điểm K và L chuyển động dọc theo các đường thẳng cố định (đường kính của đường tròn lớn là AA’ và BB’, tương ứng với Hình 16). Vì vậy, đường kính KL trượt các đầu dọc theo hai đường thẳng vuông góc với nhau, nghĩa là nó chuyển động giống như đoạn ở bài 1.

Chúng ta đặt thêm một số câu hỏi liên quan đến chuyển động của đoạn KL:

Bài toán 6. Chúng ta đề cập đến tập hợp điểm nào trên đoạn này, tức là phác thảo tất cả các vị trí có thể có của đoạn KL trong quá trình chuyển động của nó là gì?

Đáp số trong bài toán này đơn giản một cách đáng ngạc nhiên: điểm di chuyển theo đường thẳng, chính xác hơn là dọc theo đường kính của một đường tròn đứng yên (Hình 15). Kết quả này được gọi là định lý Copernicus.

Hãy thử kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Copernicus trong thực tế. Chứng minh không khó - bạn chỉ cần nhớ định lý góc nội tiếp.

Hãy so sánh kết quả của bài toán 1 và 5. Trong cả hai bài toán, lời giải đều liên quan đến một chuyển động khá phức tạp của một hình (ở bài thứ nhất là một đoạn, ở bài thứ hai là một đường tròn), nhưng quỹ đạo của các điểm không phải tác nhân hóa ra lại đơn giản đến không ngờ. Hóa ra hai bài toán này giống nhau không chỉ ở bên ngoài, mà cả các chuyển động được xem xét trong chúng; cuộc thi đấu!

Chúng ta đặt thêm một số câu hỏi liên quan đến chuyển động của đoạn KL:

Bài toán 6. Chúng ta đề cập đến tập hợp điểm nào trên đoạn này, tức là phác thảo tất cả các vị trí có thể có của đoạn KL trong quá trình chuyển động của nó là gì?

Đáp số trong bài toán này đơn giản một cách đáng ngạc nhiên: điểm di chuyển theo đường thẳng, chính xác hơn là dọc theo đường kính của một đường tròn đứng yên (Hình 15). Kết quả này được gọi là định lý Copernicus.

Hãy thử kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Copernicus trong thực tế. Chứng minh không khó - bạn chỉ cần nhớ định lý góc nội tiếp.

Hãy so sánh kết quả của bài toán 1 và 5. Trong cả hai bài toán, lời giải đều liên quan đến một chuyển động khá phức tạp của một hình (ở bài thứ nhất là một đoạn, ở bài thứ hai là một đường tròn), nhưng quỹ đạo của các điểm không phải tác nhân hóa ra lại đơn giản đến không ngờ. Hóa ra hai bài toán này giống nhau không chỉ ở bên ngoài, mà cả các chuyển động được xem xét trong chúng; cuộc thi đấu!

Chúng ta đặt thêm một số câu hỏi liên quan đến chuyển động của đoạn KL:

Bài toán 6. Chúng ta đề cập đến tập hợp điểm nào trên đoạn này, tức là phác thảo tất cả các vị trí có thể có của đoạn KL trong quá trình chuyển động của nó là gì?

Đáp số trong bài toán này đơn giản một cách đáng ngạc nhiên: điểm di chuyển theo đường thẳng, chính xác hơn là dọc theo đường kính của một đường tròn đứng yên (Hình 15). Kết quả này được gọi là định lý Copernicus.

Hãy thử kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Copernicus trong thực tế. Chứng minh không khó - bạn chỉ cần nhớ định lý góc nội tiếp.

V. Boltyansky,
M. Smolyansky