По страницам новой книги

Квант 1979, №8 с. 54-57 Тег 28EM

По страницам
новой книги
Прямы и кривые

Математика — большой и очень своеобразный мир ией, удивляющий красотой покоренных и непокоренных вершин, ажурных местов, переброшенных через пропасти и соединяющих одну горную страну фактов и методов с другой. Однако эти порождающие воображение горизонты открывают лишь тем, кто сумел проникнуть в мир математики, научился видеть скрытую от непосвященных красоту, постиг трудное умение видеть в окружающем мире чудесный калейдоскоп фигур, чисел и математическую логнику. Но проникнуть в мир математических идей непростой: помимо способностей и интереса нужны еще настоящивость, воля, желание и умение много работать. Лишь большая систематическая работа и, в частности, решение задач могут привести школьнику успех в математике.

Но вот все есть: и интерес к математике, и страсти же желание решать задачи (особенно «трудные»), и усидчивость, и трудолюбие. И тогда возникнет основной вопрос: что читать и какие решать задачи? Ведь если прочитанная книга оказывается не проникнутой современным «духом» математики и ее приложений, или если решать задачи о способствующим развития хорошего вкуса и исследованием методами и расширением кругозора, то что-то необходимо по теряно в воспитании и становлении будущего математика. Но если выбранная книга будет удачной, то она оказывается добрым и опытным учительем и наставником, и это может служить гарантийной того, что она поможет в воспитании хорошего вкуса, приобретению кругозора и исследовательных навчков.

Именно таким добрым и опытным наставником юного математика, по нашему мнению, является книга Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Прямы и кривые»*). Книга содержит интересный подбор задач, решая которые, читатель, — может быть, еще не осознавая этого — приобращется к духу и идеям современной математики. Здесь связаны (особенно в излагаемых решениях узловых задач, которые служат своеобразным маяком для читателя) языки теории множества и метод координат, используемые различными перемещений и кинематических сообщениями (которые авторы форму «теorem о колечках»), векторные методы решения задачи и логические связи между элементами условия. При этом одна и та же задача часто рассматривается с различными точки зрения, решается разными методами, что позволяет сравнивать эти методы, приобретении нужный кругозора.

Как вы видите, эта книга не рассматрина на легкое чтение, наоборот, она учит трудолюбию,

*) Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера. «Прямы и кривые». М., «Наука», 1978, изд. 2-е, перераб.

усидчивости, умению упорно работать над решением задач, помогает сделать трудную работу по приобретению новых решений задач увлекательной и интересной. При этом она одинаково удобна и для начинающего навыков решения задач увлекательного опыт решения задач. Несомненно, решение этих задачи и усвение теоретического тестига гарантирует воспитание у школьника математической культуры, умение самостоять мыслить, видеть взаимосвязь методов и математических идеи на доступном читателю уровне.

Мы выбрали из этой книги цикл задач, связанных с одной темой—вписанные углы. Эта тема начинается в 7-м классе (п. 64, «Геометрия 7»), затем продолжается в 8-м классе (п. 111, «Геометрия 8»). Нам представляется, что школьникам 7-х классов будут интересно ознакомиться с этой темой в целом, а школьникам старших классов будет полезно повторить всю последовательность соответствующих теореми.

Вписанные углы

Задача 1. Лестница, стоящая наладком полу у стены, сослазываем вниз. По какой линии движется коменок, сидящей на середине лестницы?

Ответ (вероятное, неожиданный). Котенок движется по окружности.

По снениие. Середина М данного отрезка КЛ (|КЛ|=d) всегда находится на расстоянии d/2 от точки O (рис. 1). Это следует из теоремы: диина медианы ОМ прямуюольно преугодына КОЛ равна половине диинуензы КЛ. (В ее справедливости легко убедиться, достичь треугольника КОЛ до прямогоЛЬника КОLT и вспомнить, что диагонали прямогоЛЬника КЛ и ОТ равны по длине и точкой пересечения М делать по полам; см. рис. 2, 3)

Посмотрим теперь на движение лестницы друг

гим способом. Пусть отрезок $KL$ («лестница») закреплен, а прямые $KO$ и $LO$ («стена» и «полл») врашаются соответственно вокруг точки $K$ и $L$ так, что угол между ними остается прямым. На этот раз тот факт, что расстояние от середины отрезка до вершины $O$ прямого угла все время одно и то же, превращается в теорему А из п. 64 «Геометрии 7»: если на плоскости заданы две точки $K$ и $L$ , то точки $O$ , для которых $K\hat{O}L=90^\circ$ , лежат на окружности с диаметром $KL$ .

Задача 2. Точка $O$ лежит на отрезке $AC$ . Найти множество точки $M$ , для которых $M\hat{O}C=2M\hat{A}C$ (рис. 4).

Ответ. Обедининие окружности с центром $O$ радиуса $AO$ (без точки $A$ ) и луча $OC$ (без точки $O$ ) — см. рисунок 5.

Пояснение. Пусть точка $M$ искомого множество не принадлежит прямой $AO$ . Доказем, что $|MO|=|AO|$ . Построим треугольник $OAM$ (рис. 6). По теореме о внешнем угле треугольника $O\hat{A}M+A\hat{M}O=M\hat{O}C$ . По условию $M\hat{O}C=2M\hat{A}C$ .

Из условия задачи сразу получаем $O\hat{A}M=A\hat{M}O$ ; следовательно, треугольник $AMO$ равноведренный, то есть $|OM|=|AO|$ .

На языке «движения» результат задания 2 можно представить себе так: пусть прямая $AM$ врашается вокруг точки $A$ с постоянной угловой скоростью $\omega$ (то есть за единицу времени поворачивается на угол величины $\omega$ ), а прямая $OM$ врашается вокруг точки $O$ с угловой скоростью $2\omega$ , причем в начальной момент времени обе прямые совпадали с прямой $AO$ (рис. 7). Тогда точка $M$ пересечения этих прямых движется по окружности с центром $O$ .

Отсюда мы можем извлечь теорему о вписанном угле (теорема 62 из п. 111 «Геометрии 8»). Если прямая $AM$ за время $t$ поворачивается из положения $AM_1$ в положение $AM_2$ на угол $\omega t$ , то прямая $OM$ поворачивается на угол $2\omega t$ , другими словами, величина вписанной угла $M_1AM_2$ равна поливне угловой величины соответствующего чентрального угла $M_1OM_2$ (рис. 8).

Можно формулировать эту теорему более наглядно:

Теорема о количестве на окружности надeto маленькое колечко. Вокруг точки $A$ окружности врашается стержень, который проходит через это колечко. Если стержень врашается равномерно с угловой скоростью $\omega$ , то колечко при этом.bezем по окружности равномерно с угловой скоростью $2\omega$ (рис. 9).

*) Заметим, что теорему о количестве в буквальном смысле: воображаемое «колечко» — просто точка пересечения прямой и окружности; если же сделать проволочную модель, то после одного оборота (в тупили другую сторону) колечко застрянет.

Рис. 10.
Рис. 13.
Рис. 16.
Рис. 11.
Рис. 14.
Рис. 17.
Рис. 12.

Еще один вариант теорема о вписанном угле и колечке на окружности:
Теорема о врашащихся прямых.
Если две пересекающие прямые $l_A$ и $l_B$ врашаются в плоскости окружных точек $A$ и $B$ с одинаковой угловой скоростью $\omega$ (рис. 10); при этом, конечно, величины угла между ними остаются постоянной), моэктоория точки пересечения этих прямы — окружность.

Пояснение. Построим окружность $\delta$ , проходящую через три точки: $A$ , $B$ и еще одно положение $M_0$ точки пересечения прямых $l_A$ и $l_B$ (рис. 11). По теореме «о колечке на окружности» точка пересечения прямой $l_A$ и окружности $\delta$ движется по окружности $\delta$ равномерно с угловой скоростью $2\omega$ . Точно так же движется и точка пересечения $l_B$ с окружностью $\delta$ . Поскольку в один момент времени эти точки совпадают (положение $M_0$ ), то они совпадают.

Дают и в любой другой момент времени. Отсюда следует утверждение теоремы.

Задача 3. Сделайте самостояльно рисунок,纵острирующий теорему о врашащихся прямых.

Пояснение. Начертите окружность, разбейте ее на 12 равных частей. Проведите через одну из точки деления $A$ и остальные точки деления прямы, а также касательную к окружности в точке $A$ (рис. 12); получится пучок из 12 прямы, разделюших плоскость на 24 равных по величины угла). Двигая карандаш по окружности, можно убедиться, что при перехождение от точки деления $M$ к следующей точке деления пряма $AM$ поворачивается на один и тот же угол. Выберите еще одну точку деления $B$ (скажем, четвертую от $A$ ) и построите для нее такой же пучок из 12 прямы, как для точки $A$ . Отметьте для каждой точки деления $M$ острый угол между прямыми $AM$ и $BM$ (все эти углы одинаковы!).

Из теоремы о врашащихся прямых следует, что если продолжить все 23 построенные прямы до пересечения, то все 110 положенных точки пересечения (не считая $A$ и $B$ ) лежат на одинаковатни окружности — по десять на каждой.

Задача 4. Хорда $AB$ окружности закреплена, а хорда $CD$ перемещается, не меняя свой длины. По какой линии движется точки пересечения прямы: а) $AD$ и $BC$ ; б) $AC$ и $BD$ (рис. 13)?

Пояснение. Пусть точка $D$ равномерно движется по данной окружности, тогда и точка $C$ равномерно движется по ней, а следовательно, и прямы $AD$ , $BC$ , $AC$ , $BD$ равномерно врашают вокруг точки $A$ и $B$ (с одной и той же угловой скоростью). Согласно теореме о врашащихся прямых точки пересечения соответствую-

Ших прямых движутся по окружности.

Эта задача тесно связывана с задачами 12*, 13* из п. 111 «Геометрии 8».

Рис. 19.

Задача 5. По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, камтема без скольжения окружность ввода меньше его радиуса. Какую линю описываем точка К подвижной окружности (рис. 14)?

Ответ в этой задаче доудивления простой: точка движется по прямой, точнее — по диаметру неподвижной окружности (рис. 15). Этот результат называется теоремой Коперника.

Попробуйте убедиться в справедливости теоремы Коперника на опите. Ее нетрудно и доказать — нужно лишь вспомнить теорему о вписанном угле.

Сравним результаты задач 1 и 5. В обеих задачах решить идет о довольно сложном движении фигуры (в первой — отрезка, во второй — окружности), но траектории неокторных точек получаются неожиданно простыми. Оказывется, эти две задачи похожие не только внешне, но и сами движения, рассмотренные в них; совпадают!

Действительно, пусты по окружности радиуса d изнутри катится окружность радиуса d/2, и пусты KL — диаметр этой окружности, жестко связываный с ней. Согласно теореме Коперника точки K и L движются по неподвижным прямым (диаметром большой окружности — AA’ и BB’ соответствующего рис. 16). Итак, диаметр KL скользит свойми концами по двум взаммно перпендикулярным прямым, то есть движется так, как отрезок в задание 1.

Поставим еще вопросы, связываный с движением отрезка KL:

Задача 6. Какое множество точки заметаем этом отрезок, то есть каково обведение всех возможных положений отрезка KL при его движении?

Поставим еще вопросы, связываный с движением отрезка KL:

В. Болтянский,
M. Смолянский