Вычислим число e

8

Числа $c_{n,k}$, имеющие ясный комбинаторный смысл, неожиданное возникают в одной алгебраической задаче, связанной с многочленами.

Положим $x^{(1)} = x, x^{(2)} = x (x-1), x^{(3)} = x (x-1)(x-2)$ и т. д. Многочлены 1, $x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(n)}$ имеют, соответственно, степени 0, 1, 2, …, $n$. Поэтому любой многочлен от $x$ степени не выше $n$ единственным образом представляется в виде суммы этих многочленов (с некоторыми коэффициентами). В частности,

$$x^n = a_{n,1}x^{(1)} + a_{n,2}x^{(2)} + \dots + a_{n,n}x^{(n)}$$

(13)

Для некоторых чисел $a_{n,k}$, $(n \geqslant 1, 1 \leqslant k \leqslant n)$. Для $k > n$ положим $a_{n,k} = 0$. Оказывается, $a_{n,k} = c_{n,k}$. Доказем это.

Полагая в (13) $x = 1$, получаем $a_{n,1} = 1 = c_{n,1}$. Если $k > 1$ и $n = 1$, то $a_{1,k} = 0 = c_{1,k}$. Пусть теперь $k > 1$ и $n > 1$.

$$x^n = \sum_{k=1}^{n} a_{n,k} x^{(k)} = x \cdot x^{n-1} = x \cdot \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} x^{(i)} = \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} x^{(i)} \left[ (x-i) + i \right] =$$

$$= \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} \left[ x^{(i)} (x-i) + ix^{(i)} \right] = \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} \left[ x^{(i+1)} + ix^{(i)} \right] = \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} x^{(i+1)} +$$

$$+ \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} ix^{(i)}$$

Сравнивая коэффициенты при $x^{(k)}$, получаем $a_{n,k} = a_{n-1,k-1} + k \cdot a_{n-1,k}$. Как и выше, из этого вытекает, что $a_{n,k} = c_{n,k}$ при всех $n, k$.

У права не ие. Доказите равенство:

$$\tau(n-1) = \sum_{t=0}^{n-1} (-1)^t C_{n-1}^t \tau(n-t).$$

ВЫЧИСЛИМ ЧИСЛО $e$

На с. 4 было доказано, что число $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ равно сумме ряда $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$. Однако можно указать ряд, частные суммы которого сходятся к $e$ наимного быстрее частных сумм ряда $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$. Ниже представляется несколько задач, решив которые, вы с помощью нескольных выкладок научитесь точно вычислять много знаков числа $e$.

1. Докажите, что при $n \geqslant 2$ справедливо равенство:

$$1 + 1 + \frac{1}{2!} +$$

$$+ \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} +$$

$$+ \frac{1}{n \cdot n!} = 3 - \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2!} -$$

$$-\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 3!} - \dots - \frac{1}{(n-1) \cdot n \cdot n!}$$

Указание. Примените метод математической индукции.

2. Докажите, что

$$e = 3 -$$

$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+2)!}$$

3. Докажите, что

$$e = \frac{87}{32} -$$

$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!}$$

4. $e = \frac{87}{32} -$$$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!} -$$$$- R_k$. Оцените остаток $R_k$.

5. Вычисление приближенной значения $e$, взяв при целенарда ряда (1), и оцените порешность приближения.

6. Докажите, что

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!} < 0,00047.$$

Г. Сорокин