Вечерняя физическая школа

62

Заочная школа при НГУ

При Новосибирском государственном университете с 1968 года работает Заочная школа для учащихся 8—10 классов школа Сибири, Дальнего Востока, Казахстан и Средней Азии. В настоящее время в Заочной школе три отделения: математическое, физическое и химическое, на которых учатся более 2000 школьников. Обучение в Заочной школе углубляет знания учащихся, способствует развитию самостоятельного логического мышления, расширяет кругозор.

Учащиеся Заочной школа в течение учебного года должны выполнить 5—6 заданий, тематika которых совпадает с надавно проиденными или изучаемыми в данной момент материалом школьной программы. Особое внимание уделяется тем разделам программы, которые в средней школе усавиают неодостаточно глубоко.

Каждее задание начинается с краткой подборки теоретического материала, волне достаочного, чтобы после внимательного его изучения и творческого использования можно было решить все предложенные 15 задач. При этом в качестве примера подробно рассматривается 1—2 задач, аналогичные тем, что приведены в задании. Задания содержат задачи двух типов: несколько простых задач, обязательных для решения, и 3—4 сложных, которые весма желательно решить полностью или частично.

Лучшие учащиеся Заочной школа ежедневно, в период с 1 по 22 августа, приглашает в Летнию шкалу при НГУ, где они вместе с победителями Сибирской олимпиады служают лекции крупных ученых, встречаются со своим преподавателем,

Вечерняя физическая школа

Вечерняя физическая школа (ВФШ) на физическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова объявляет набор учащихся 8—10 классов на 1979/80 учебный год. Систематические занятия в ВФШ способствуют развитию навыков самостоятельного решения физических задач, вводят учащихся в курс проблем современной физики. Семинарские занятия проводят студенты старших курсов и спираты. Наиболее сложные вопросы школьной программы подробно разбираются на лекциях преподавателями и научными сотрудниками физического факультета. Экскурсии влаборатории физического факультета, в Научно-исследовательский институт ядерной физики и Государственный астрономический институт позвольют учащимся ВФШ позна-

комитться с методикой научного эксперимента.

Конкурсный набор в Вечерню физического школе состоит в centябре. Приять учатие в конкурсе нужно до 20 centябра подать заявление на имя директора ВФШ, заполнить анкету в Комитете ВЛКСМ физического факультета, а также сдать 2 форокарточки размером 3×4 см.

Прием заявления будет проходить со 2 по 20 сентября с 16.00 до 18.00 (кроме восревеня) в Комитете ВЛКСМ физического факультета МГУ (здание физического факультета, комната 2—47).

Зачисление в школе проводится по результатам собственания. Требования по собственанию не выходят за рамки школьной программы.

Наш адрес: Москва, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет. Телефон для справок: 139-26-56.

А. Васильев

63

Овал, восмерка, два овала …

1. «Восьмерка» содержит точку (0; 0); подставив $x=0$, $y=0$ в уравнение (5), получим $\frac{2}{c^2} = \frac{1}{b^2}$, т. е. $c = b\sqrt{2}$.

2. Указание e. Найдите точки пересечения нашей кривой с осью $Oy$; подставьте одно из полученных значений $y$ в уравнение (5) (геометрический смысл этой операции изображен на рисунке 1). Если полученное уравнение (относительно $x$) будет иметь одно решение, то овал выпуклый, а если три — то овал с талией.

Ответ. a) $0 \leq c \leq b/\sqrt{2}$; b) $b/\sqrt{2} < c < b\sqrt{2}$.

3. Ответ. $|c| < R-r$ — два овала; $|c| = R-r$ — восмерка; $R-r < |c| < R$-овал с талией; $R \leq |c| < R+r$ — выпуклый овал; $|c| = R+r$ — точка, $|c| > R+r-\emptyset$.

4. Уравнение $x^2+y^2-1=0$ задает окружность радиуса 1 с центром в начале координат; уравнение $x^2+y^2-4=0$ — окружность радиуса 2 с тем же центром. Поэтому уравнение $(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-4)=0$ задает обедининие этих окружностей.

5. Уравнение $P(x,y)=\frac{x^2}{10^2}+y^2-1=0$ задает «лежащий» эллипс, у которой горизонтальная полуось равна 10, а вертикальная 1. При этом, как легко убедиться, для точек $(x; y)$ внутри эллипса $P(x,y)<0$,

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

а для точек вне эллипса $P(x,y)>0$. Аналогично, уравнение $Q(x,y)=x^2+\frac{y^2}{10^2}-1=0$ задает «вертикальный» эллипс, внутри которого $Q(x,y)>0$, а снаружи $Q(x,y)>0$. Ясно, что уравнение $P(x,y)\cdot Q(x,y)=0$ задает обедининие этих двух эллипсов, причем знаки функции $F(x,y)=P(x,y)\times Q(x,y)$ будут такими, как изображены на рисунке 2. Поэтому, если взять очень маленькое число $\varepsilon>0$, то кривая, являющаяся график уравнения $F(x,y)=-\varepsilon$, пройдет целиком по «отрицательной области» (на рисунке 2 она ограничивает глубь облака).

7. Можно проделать то же самое, что и в предыдущей задаче, с двумя эллипсами, расположенными, как показано на рисунке 3.

8. Пусть кривая четвертого порядка $P(x,y)=0$ содержит, кроме двух овалов (один из которых вложен в другой), еще хотя бы одну точку. Проведем через эту точку прямую, пересекающую оба овала; полученная прямая имеет с нашей кривой 5 или более общих точек. Пусть уравнение этой прямой $Ax+By+C=0$. Запишем систему:

$$\begin{cases} P(x,y)=0 \\ Ax+By+C=0 \end{cases}$$

С помощью уравнения (2) выразим одну из переменных через другую и подставим ее в уравнение (1). Мы получим уравнение четвертой степени. Как известно, оно может иметь более четырех решений, что противоречит наличие пятых точек у прямой и кривой.

9. Пусть кривая $P(x,y)$ состоит из 5 или более овалов. Возьмем на каждом из овалов по точке и через полученные 5 точек проводим кривую второго порядка (ее уравнение $Q(x,y)=0$). Ясно, что точки можно выбрать так, чтобы эта кривая пересекала все овалы, а не касалась их. Тогда у кривых $P(x,y)=0$ и $Q(x,y)=0$ будет 10 (или более) точек пересечения. Мы получим противоречение, если докажем, что система

$$\begin{cases} P(x,y)=0 \\ Q(x,y)=0 \end{cases}$$

имеет не более 8 решений (напомним, что $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ — многочлены, соответствен, четвертой и второй степени); верен и более общий факт: если $P(x,y)$ имеет степень $m$, а $Q(x,y)$ — степень $n$, то система (3) имеет не более $m \cdot n$ решений *). Для того, чтобы это доказать, све-

*) Следует сделать одну оговорку: число решений системы (3) может быть бесконечным. (Например, кривая $P(x,y)$ состоит из двух окружностей, а $Q(x,y)=0$ — одна из этих окружностей.) Этот случай, однако, нам не интересен (почему?). Если же число решений конечно, то оно не превыходит $m \cdot n$.

64

дем системы (3) к одному алгебраическому уравнению 8-й степени следующего образом:

1. С помощью замены переменных $z = ax + by + c$, $t = dx + ey + f$, подбрав подходящие числа $a, b, c, d, e, f$, сведем уравнение $Q(x, y) = 0$ к одному из следующих видов:
   (a) $z + At^2 = B$
   (b) $z^2 + At^2 = B$.

Далее уравнение $P(x, y) = 0$ тоже можно переписать через новые неизвестные: $R(z, t) = 0$; при этом (что очень важно!) оно останется уравнением четвертой степени (объясните!).

2. В случае (a), выразив $z = -At^2 + B$, подставим это выражение для $z$ в уравнение $R(z, t) = 0$ и получим уравнение 8-й степени относительно $t$.

3. В случае (6) возьмем уравнение $R(z, t) = 0$ и оставим в нем следа те одночлены, в которых $z$ входит в четной степени, а остальные пересеcem в правую часть и возведем обе части полученного уравнения в квадрат. Мы получили уравнение восмой степени, которое содержит molъко четные степени $z$. Подставив в него выражение $z^2 = -At^2 + B$ (см. (6)), получим уравнение восмой степени относительно $t$.

Где ошибка?

Сложив уравнения (1), (2), мы получаем уравнение
$$0x + 0y + 0z + 2d = 0.$$ (3)
Отсюда числовое равенство $d = 0$ получается только при условии, что уравнение (3) имеет хотя бы одно решение. Таким образом, наше «доказательство» доказывает только следующее: если две плоскости симметричных относительной начала координат $O$ и пересекаю этося, то они обе проходят через точку $O$.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 7)

1. Заполним две первые пустые клетки буквами $x$ и $y$. Заметим, что $x + y = 9$, тогда в следующей клетке должно стать число 6, в следующей $x$, в следующей $y$ и т. д., пока не достигем до клетки, где стоит число 4, но там должно стать число $y$, отсюда $y = 4$, а $x = 5$, и в последней пустой клетке стоит число 5.

2. Ответ:

3. VI+III=IX.

4. Рассмотрите осевую симметрию с осью $OE$, где $O$ — центр полукружности (см. рис. 4), и доказите, что сторона большого квадрата в два раза длиннее стороны меньшего квадрата.

Рис. 4.

5. Пусть одна книга стоит $x$ коп. Тогда $9x < 1000$, т. е. $x \leq 111$. В то же время $10x > 1100$, т. е. $x > 110$. Следовательно, $x = 111$ — книга стоит 1 р. 11 коп.

Номер готовили:
А. Виленкин, И. Клумова, Т. Петрова,
А. Сосинский, В. Тихомирова,
Ю. Шиханович

Номер оформили:
М. Дубах, Э. Назаров, А. Пономарева,
И. Смирнова, В. Чернов

Зав. редакцией Л. Чернова

Художественный редактор Т. Макарова

Корректор Л. Н. Боровина, В. П. Сорокина

113035, Москва М-35, Б. Ордынка, 21/16,
«Квант», тел. 231-83-62
Сдано в набор 1/VI-79
Подписано в печать 12/VII-79
Бумага 70×108\footnote{Чеховский полиграфический комбинат Союзполиграфпрома Государственное комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли г. Чехов Московской области} 6,76 Т-11249
Цена 30 коп. Заказ 1209 Тираж 279 035 экз.