Овал, восьмёрка, два овала...

21

Овал, восьмерка, два овала…

В этой статье рассматривается примеры алгебраических кривых четверго порядка. Напомним, что алгебраический кривой n-zo порядка называется графикуравнения $p_n(x,y) = 0$, где $p_n(x,y)$ — многочлен n-ой степени от переменных $x, y$). Например, алгебраическая кривая первого порядка — это прямая линия; алгебраических кривых второго порядка является, в частности, эллипс, гипербола, парабола — известные вам кривы, обладающие рядом замечательных свойств **).

Более интересны, да к тому же не полностью изучены, кривы более высоких порядков. Достаточно сказать, что знаменитая «шестнадцатая проблема Гильберта» для случая кривы шестого порядка была решена лишь совсем недавно, а для больших порядков осталось много просто формулируемых, но нерешенных проблем. Об этом, однako, мы скажем подробнее в Последовии, а сейчас перейдем к обещанным примерам.

*) Вспомним, что такое степень многочлена от двух переменных. Степень одночлена $a \cdot x^k y^l$ называется число $k+l$ (например, $xy$ — одночлен степени 2). Степень многочлена называется максимальная степень входящих в него одночленов (например, многочлен $p(x, y) = x^3 + 2xy^4 + 11y^2 - xy$ имеет степень 5).

**) См. «Квант», 1975, №2 1, 3, 4.

Изменим однослово

Хорошо известно геометрическое определение эллипса: эллипс — это множество точек (на плоскости), с сумма расстояний от которых до точки $F_1$ и $F_2$ построена: $|MF_1| + |MF_2| = 2a$. Заметим в этом определении однослово:

$$|MF_1| \cdot |MF_2| = a^2.$$ (1)

Точки $F_1$ и $F_2$, как и у эллипса, называются фокусами. «Овал Кассини» появился на свет благодаря ошибке. Его «изобрел» знаментий французский астроном (итальянец по проискждению) Жан Доминник Кассини (1625—1712). Этот выдающей учены, член Парижской академии наук, директор Парижской общеватории, открывший врашение Юпитера и Марса, а также четырех спутника Сатурна, почему-то считал, что именно такой форму имеет орбита Земли. Дальнейшее развитие научки показало, что более верным ответом будет общий эллипс. Но овал Кассини остался жить. Дело в том, что он обладает одним замечательным свойством.

Обозначим расстояние между фокусами через 2c и составим уравнение овала Кассини в системе координат, в котором $F_1(-c;0)$, $F_2(c;0)$. Подставляя

22

$$|MF_1| = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}, \quad |MF_2| = \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$

в равенство (1) и возводя в квадрат, после преобразования получим

$$(x^2 + y^2 + c^2)^2 - 4c^2x^2 = a^4.$$

Получилось уравнение четырех степени. Конкретный вид кривой зависит, размещается, от того, какие мы выберем значения параметров $a$ и $c$. Давайте, для примера, зафиксируем $a$ и будем увеличивать $c$ (можно поступить и наоборот: зафиксировать $c$ и уменьшать $a$—результат будет тот же; см. рис. 1). Тут-то и произойдет самое интересное: подобно куску теста, который растягивает в разных стороны, овал сначала удлинится, потом у него появится «талия», она будет становиться все тонше, пока, наконец, наша фигура не разорвется на две части, на два меньших овала. Более точного картина будет такой (рис. 2):

1. при $c=0$ — окружность;
2. при $0 < c \leq \frac{a}{\sqrt{2}}$ — выпуклый овал, пожожий на эллипс;
3. при $\frac{a}{\sqrt{2}} < c < a$ — овал с «талейй»;
4. при $c=a$ — «лежащая восьмерка» (она имеет отдельное название — лемисскама Бернулли);
5. при $c>a$ — два овала; один из них содержит внутри точку $F_1$, другой — точку $F_2$.

Указанное свойство «делимость» овалов Кассинни впервые обнаружил и детально изучил другой французский ученый — Жан Поль де Гюа де Мальв (1712—1785). Его работа была одной из первых работ, посвященных исследованию особых точек алгебраических кривых (особой точкой в данном случае является точка самопересечения при $c=a$). Воспел逮ии из таких работ родилась общирная ветвь современной математики — алгебраическая геометрия.

Второй пример

Рассмотрим теперь множество мочек $M$, для которых сумма величины, образных квадратам рассмотреной от

$$\frac{1}{|MF_1|^2} + \frac{1}{|MF_2|^2} = \frac{1}{b^2}.$$

Как и прежде, положим $|F_1F_2|=2c$. Подставляя в (2) формулы для $|MF_1|$ и $|MF_2|$, получаем уравнение $$\frac{1}{(x+c)^2 + y^2} + \frac{1}{(x-c)^2 + y^2} = \frac{1}{b^2}.$$

Контрольный вопрос. Почему уравнение (3) является уравнением четырех степени?

Полученная кривая своим поведением очень напоминает овали Кассинни. На рисунке 3 изображены последовательные «фазы деления», которые проходят кривая при увеличении параметра $c$ (параметр $b$ остается постоянным). Рассмотрим этот процесс чуть подробнее.

23

Режем бублик

Одна простая геометрическая идея позволяет построить еще один пример, аналогичный предыдущим. Возьмем мор — поверхность, наполняющий бублик; эта поверхность получается вращением окружности вокруг прямой, не пересекающей ее (и лежащей в той же плоскости, что и окружность). Будем пересекать тор плоскостями, параллельными друг другу и параллельными оси вращения (рис. 4). Если поднимать секущую плоскость сизу вверх, мы увидим знакомую картину: сначала сечением будет выпуклый овал, постепенно увеличивающийся в размерах; потом овал прибретет талю, она будет становиться все тонше, овал превращится в восьмерку, а восьмерка распадет на два овала. В верхней части тора весь процесс повторится в обратном порядке: два овала «срастут» в восьмерку, восьмерка превращится в овал с талией и т. д.

А теперь переведем наши геометрические расчудения на язык алгебры.

Выведем для этого уравнение тора. Пусть оси координат направлены так, как на рисунке 4; в частности, ось вращения тора совпадает с осью Оу. Пересечем тор произвольной плоскостью, проходящей через ось Оу, и рассмотрим одну из получившихся в течение окружностей (рис. 5). Ее уравнение

$$(t-R)^2+y^2=r^2.$$

Здесь через $r$ мы обозначили радиус окружности, а через $R$ расстояние от ее центра до оси Оу. Если теперь вспомним

24

Рис. 5.

нить, что $t$ — это расстояние от точки $(x, y, z)$ до оси $Oy$, то есть $t = \sqrt{x^2 + z^2}$, мы получим уравнение тогда:

$$(\sqrt{x^2 + z^2} - R)^2 + y^2 = r^2.$$ (4)

Если в (4) освободится от радикалов, получится уравнение четвертой степени. Теперь, чтобы «алгебраические» пересечить тор (плоскость $z=c$, следует в уравнение 4) вместе $z$ подставить $c$.

Задача 3. Испследите (с помощью рисунка 4) внешний вид кривой, задаваемой уравнением

$$(\sqrt{x^2 + c^2} - R)^2 + y^2 = r^2,$$

при различных $c$.

Задача 4*. Расмотрим «овал с талией»

$$\frac{1}{(x-1)^2 + y^2} + \frac{1}{(x+1)^2 + y^2} = 1.$$

Сдвинем его на 3 единицы впраvo (заменив $x$ на $x-3$):

$$\frac{1}{(x-4)^2 + y^2} - \frac{1}{(x-2)^2 + y^2} = 1;$$

теперь он не пересекает ось $Oy$. Образуем поверхность braшения, врашая этот овал вокруг оси $Oy$; уравнение этой поверхности получится, если вместе $x$ подставить $\sqrt{x^2 + z^2}$; если освободится от радикалов (что делать не обязательно), получится уравнение восьмои степени. Испследите (гометрический) внешний вид сечений этой поверхности плоскости $z=c$ при различных $c$.

Последовие

А сейчас — самоое интересное. В расстоянии нами примерах кривая четвертого порядка, если она не имеет самопересечений, состоит из одного или из двух овалов (овал с талией мы теперь тоже будем считать овалом). Вам, возможно, захочется узнать, каково максимальное число овалов для кривой указанного порядка, и как они могут располагаться друг относительно друга. Это мы сейчас и выясним, но прежде заметим, что эти два вопросы имеют смысл формулировать для кривой любого четвертого порядка; собственно говоря, математики уже давным давно задавали себе эти вопросы.

Еще в 1876 году А. Гарнак доказал, что максимальное число овалов, из которых может состоять кривая $n$-го порядка, равно $\frac{(n-1)(n-2)}{2} + 1$.

В частности, для $n=4$ получается 4 овала, для $n=6-11$ овалов, для $n=8-22$ овала, и т. д. Задча об их взаимном расположении оказывается значительно сложнее. На рубеже нашей степени, в 1900 году, на Втором всемирном математическом конгрессе великий немецкий математик Д. Гильберт формулировал значительные 23 проблем, которые он считал наиболее важными для развития математики XX века. Интересующий нас вопрос вошел в списк Гильбerta под номером 16. С тех пор шестнадцатая проблема Гильбerta не перестает заниматься математикой Д. А. Гудков немного более 10 лет назад. Для 11 овалов возникло три типа взаимного располагания

25

Ложения; они схематически изображены на рисунке 6 (конфигурации с меньшим числом овалов не приведены, т. к. их сликом много; всего, вместе с указаными треями, возможны 56 разных конфигураций). Вряд ли вам удостселяя найти доказательство; но заго аналогическое исследование для кривых четвертого порядка мы проведем полностую. Для этого вам предлагается решить приведенные ниже задачи.

Задачка 5 (легкая). Построите пример кривой четвертого порядка, состоящий из двух волженных друг в другга овалов.

Задачка 6 (трудная). Построите пример кривой четвертого порядка с четырьмя овалами. (Указан и е. Начните с пары пересекающих эллипсов и подпортите уравнение так, чтобы «цветок», изображенный на рисунке 7, распаляя на четыре голубых лепестка.)

Задачка 7 (на уровень предыдущего). Построите пример кривой четвертого порядка с треями овалами.

Если вы решили задачи 6, 7 (или подглядели ответ), вы, наверное, обратили внимание на то, что ни один овал не содержится в другом. Это неспроста:

Задачка 8. Докажите, что кривая четвертого порядка, содержащая два волженных друг в друга овала, больше не содержит никаких других точек. (Указан и е. Покажите, что любая прямая пересекает кривой четвертого порядка не более чем в четырех точек.)

Интересующий нас вопрос исследован полностью, если будет решена заключительная

Задачка 9 (очень трудная). Докажите, что кривая четвертого порядка не может содержать более четырех овалов. (Указан и е. Воспользоваться тем, что через любые точки проходитровно одна кривая второго порядка.)

Задачки наших читателей

(Начало см. с. 17)

b) $|AG_c|^2 \cdot \text{tg} \frac{\hat{A}}{2} + |BG_a|^2 \cdot \text{tg} \frac{\hat{B}}{2} + |CG_b|^2 \cdot \text{tg} \frac{\hat{C}}{2} = |AN_c|^2 \cdot \text{tg} \frac{B}{2} + |BN_a|^2 \cdot \text{tg} \frac{\hat{C}}{2} + |CN_b|^2 \cdot \text{tg} \frac{\hat{A}}{2} = |AN_b|^2 \cdot \text{tg} \frac{\hat{C}}{2} + |BN_c|^2 \cdot \text{tg} \frac{\hat{A}}{2} + |CN_a|^2 \cdot \text{tg} \frac{\hat{B}}{2} = S,$

где $S$ — площадь треугольника $ABC$.

2. Из вершин $B$ и $C$ (С и А, А и В) треугольника $ABC$ восставлены перпендикуляры к сторонам $AB$ и $CA$ (BC и AB, CA и BC соответственно) до пересечения с биссектриской угла $\hat{A}$ ($\hat{B}, \hat{C}$ соответственно) в точках $B_a$ и $C_a$ ($C_b$ и $A_b$, $A_c$ и $B_c$). Пусть $h_a, h_b, h_c$ — длины высот, опущенных, соответственно, из вершин $A, B$ и $C$; $a, b, c$ — длины сторона $BC, CA$ и $AB$, $r$ — радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $p$ — его полуперimetр. Докажите, что:

a) $\frac{1}{h_a |CC_b|} + \frac{1}{h_b |AA_c|} + \frac{1}{h_c |BB_a|} = \frac{1}{h_a |BB_c|} + \frac{1}{h_b |CC_a|} + \frac{1}{h_c |AA_b|} = \frac{1}{2r^2};$

b) $\frac{ab^3}{|CA_c|^2} + \frac{bc^3}{|AB_a|^2} + \frac{ca^3}{|BC_b|^2} = \frac{a^3b}{|CB_c|^2} + \frac{b^3c}{|AC_a|^2} + \frac{c^3a}{|BA_b|^2} = p^2.$

3. $A_0, B_0$ и $C_0$ — основания высот остроугольного треугольника $ABC$, опущенных, соответственно, из вершин $A, B$ и $C$. Прямы, соединяющие вершины $A, B$ и $C$ с центром описанной около треугольника $ABC$ окружности, пересекают прямые $B_0C_0, C_0A_0$ и $A_0B_0$ в точках $M_a, M_b$ и $M_c$ соответственно. Докажите равенства:

a) $|M_aB_0| = |M_bA_0|, |M_cB_0| = |M_aB_0|, |M_cA_0| = |M_aC_0|;$

b) $|M_aB_0| + |M_bC_0| + |M_cA_0| = d,$

где $d$ — длина отрезка, соединяющего основания высоты остроугольника $ABC$ на две другие его стороны.

У. Алла (г. Выру)