Вычисления без вычислений

10

изучают природу, пользовать только бумагой и карандашом, то есть выводные соотношения между наблюдаемыми величиными, опираясь на найденные ранее экспериментальное и теоретически законы природу. Причина разделения этих двух процесси не только в том, что каждая из них требует своих специальных знаний: знания методов измерения — в одном случае и владения математической аппаратам мышления и различным формам интуции. Интуция, то есть способность подознать находить правильный путь, играет важнейшую роль, особенно на первых стадиях работы. К сожалению, дар интуции возникает не сразу, а в результате упорной работы, как награда за решение многих научных задач.

Поскольку теоретическая физика имеет дело с более отвлеченными понятиями, чем физика экспериментальная, физика-теоретическу требует более абстрактная форма интуции, близкая иногда к интуции математика. В прошлом вке, когда физика еще не была так специализирована, многое физики совмещали обе процессии. Так, Максвелл, который получил теоретически уравнения, описывающие все электромагнитные явления, занимался и экспериментами. Герц, который обнаружил экспериментально электромагнитные волны, был одновременно и хорошо теоретическим. И все-tаки в каждом случае можно указать, какая из процессии главная: для Максвелла это — теоретическая физика, а для Герца — физика экспериментальная.

В XX веке одним из самых замечательных примеров «универсального» физика — и теоретика, и экспериментатора — был Энрико Ферми. Наряду со многими другими работами Ферми создал теорию радиоактивного распада и вместе с физками своей группы открыл экспериментальное искусственное радиоактивное элементов, возникающего приombардировке нейтронами.

Еще одним примером выдающегося теоретика, тесно связанного с экспериментом, был академик Г. И. Буд-

кер, у которого теоретическая физика совмещалась с заменательными инженерными идеями. Он руководил теоретической разработкой и практическим осуществлениемускорителей на встречных пучках заряженных частиц в Новосибирском Академгородке.

Однако это — редкие исключения, и молодой человек, интересующийся физикой, должен решить для себя, какую из двух процессии он выбирает.

В дальнейшем речь по работе физиков-теоретиков.

Физика и математика

Итак, задача физика-теоретика — получать соотношения между наблюдаемыми величиными с помощью математических выкладок. Не означает ли это, что теоретическая физика представляет собой нечто прикладной математики? Такая точка зрения совершенного неверна. И по характеру задач, и по методам подхода к задачам математика и теоретическая физика категорически отличаются.

В математике важнейшую роль играют математические стороны, то есть логическая безпречность всех выводов, вытекающих из принятых аксиом, и исследование всех логических возможных соотношений. Задача физики — восходить по возможностям точно картину мира без строих «правил игры», использую все известные экспериментальные и теоретические факты, используя основные на интуции договора, которые в дальнейшем будут проверены на опите. Так, математик исследует все логические возможные типы геометрии, физик же выясняет, какие геометрические соотношения осуществляются в нашем мире.

Matematик, даже если он занимается прикладными задачами, то есть задачи, пришедшие не из математики, берется за решение только тех задач, которые не требуют дополнительных недоказанных предложений. Физик же, как правило, имеет дело с задачими, в которых имеются исходных данных недоста-

11

точно для решения, и искусство состоит в том, чтобы угадать, какие недостающие соотношения реализации в природа. Именно для этих договора требуется не математическая, а физическая интуция.

Убедитесьность в физике достигается получением одного и того же результатата из разных исходных предложок. При этом приходится выделить лишние, логические не необходимые аксимоны, каждая из которых сама по себе не абсолютою достоверна. Единственное условие состоит в том, чтобы уменьшить степень убедительности того или иного предложения и ясно понимать, какие предложения требуют дальнейшей проверки.

Если какая-либо области физики достигает такого развития, что все ее результаты можно будет вывести из нескольких строгого установленных экспериментального аксиом, то эта область перестанет быть частью развивающейся физической науки и передет в раздел прикладной математики или техники. Так произшло с классической механикой.

Разумеется, очень полезно анализировать структуру физической теории, то есть выяснять, из каких исходных предложок получаются те или иные результаты. Однако, центр тяжести в таком аксиоматическом подходе — не в общности и математической структуре выводов, а в правильном выборе исходных предложений и в оценке того, какие из них наиболее достоверно подтверждены опитом. А для этого требуется интуция физика. В тех случаях, когда эту работу проделывает математик, он обязательно, хотя бы на время, делается физиком-теоретиком. Иначе он рискует оказаться, по выражению пользового catрика Леца, в положении экsimoca, который вырабатывает для життелей Конго правила поведения во время жары.

Итак, математика и физика — науки с развитием задачами и с развитием методами подхода к задачам.

В математике достигается логическоеstrukturio и анализом всех логических возможных решений. В физике рассматриваются только те решения, которые могут осуществляться в природае, и достоверность достигается многоократной проверкой сделанных предложений. Математическая строость в физике представляет собой невозможную и неужную российскую. Добиваться в физике математической структуре так же не нужно, как требования от бригадиров лесоповала, чтобы они на работе разговаривали стихами. Но вместе с тем физико-теоретическим словом владеть математическим аппаратом, то есть знать и уметь использовать все те математические методы, которые могут оказаться полезными при решении физических задач.

II. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ

Попробуем показать на простых примерах, как работаот физики-теоретики на первой, самой важной стадии работы, когда делается качественный анализ поставленной задачи. Как мы увидим, на этой стадии работы почти без всяких вычислений получаются грубые соотношения между входящими в задачу величиными. Следующая стадия работы — получение точных количественных соотношений с помощью математического аппарата теории — целиком опирается на первый стадию, во время которой проясняется физическая картина явления и возникнет проект ожидаемого решения. Не имея такого предложительного проекта, нельзя приступать к поискам точного решения. Действительно, доказать удаетя только те утверждения, которые были заранее угаданы. Из этого правила почти не было исключающей.

Одним из главных элементов качестваенного анализа является решение задачи на прощенных моделях, в которых отброшено все несущенные. Усложняя решению задачу несовравенно проще, чем заново решать сложную.

В некоторых простых случаях многое проясняет простой размерный анализ в задачу величины и возможности соотношения между ними.

12

Размерные оценки

Для инллюстрации докажем теорему Пифагора, пользовясь сообщениями размерности. Из размерности следует, что площадь $S$ прямоугольного треугольника можно записать как произведение квадрата гипотенузы на неокторную функцию одного из острых углов: $S=c^2f(\alpha)$. Аналогичным образом можно представить площади двух подобных прямоугольных треугольников, которые получаются, если опустить высоту из прямого угла. Для этих треугольников роль гипотенузы играют катеманную треугольника. Позтому

$$c^2f(\alpha)=a^2f(\alpha)+b^2f(\alpha).$$

Сократив на $f(\alpha)$, получим теорему Пифагора.

В качестве другого примера рассмотрим задачу о нахождения перiodа колбаний грузика наружные. Прежде всего выясним, какие величины могут входить в выражение для периода. Поскольку силы, действующие на грузик, — это сила тяжестки и сила упругостики, естественно предположить, что период колбаний зависит от укорения свободного падения $g$ и массы $m$ грузика и от жесткости пружины $k$. Разумеется, такие величины, как температура и вязкость воздуха, не войдут в задачу, если мы пребрегаем затуханием колбаний. (Что бы упростить задачу, надо знать, чем можно пребречь!) Из величины $g$, $m$ и $k$ можно составить только одну комбинацию, имеющую размерность времени, — $V/m/k$. Следовательно, период $T$ равен

$$T=C\sqrt{m/k}.$$

Diagram of triangle with sides $S_1 = S_2 + S_3$, $S_1 = c^2f(\alpha)$, $S_2 = a^2f(\alpha)$, $S_3 = b^2f(\alpha)$

Ускорение $g$ не вошло в ответ. Безразмерная константа $C$ не может быть найдена из размерных сообщений; можно только сказать, что она не очень велика и не очень мала, — она порядка единицы. Действительно, значение $C$ должно быть найдено из решения ненаписанного нами уравнения движения грузика. А безразмерные коэффициенты, возникшие уравнением, встречающих в физике, как правило, оказываются порядка единицы *). Точно вычисление дает для $C$ значение 2π.

Таким образом, мы без вычислений, пользовясь только размерным анализом, нашли примернуюеличину перiodа колбаний грузика наружные.

Пример обобщения — осцилляртор

Во всех областях физики встречаются задачи, связанные с колбанями систем околоположения. Для понимания многохявлений, а следовательно, для качественного анализа этих явлений нужно знать общие свойства таких систем. Системы, совершающее колбаня околоположения равновесия, неависимо от их устройства называют осциллярами. Простейшие примеры осцилляртов—грузик наружные, математический матник. Более сложный пример — натянутая страна; у нее может быть много типов колбаний: колбаня с пучностью посередине (основной тон), с одним узлом, двумя узлами и т. д. (обертоны). Таким образом, страна — это набор осцилляров разных частот. Аналогичный пример — столб воздуха в организу труда; его можно заставить колбаться с наиболее частотой (основной тон) или с более высокой частотой, когда в некоторых точках воздуха будут неподвижны (аналог узлов в колбанях струны).

Общее свойство всех осцилляров состоит в следующем: неависимо от конкретного устройства осциллярную

*) Это утверждение нельзя доказать в общем виде, но оно практически всегда справедливо, и этим фактом широко пользуется при всех оценках.

13

шей (то есть колблющейся около положения равновесия) системы, энергия системы в любой момент времени может быть записана в виде

$$E = \gamma q^2 / 2 + \beta \dot{q}^2 / 2,$$

(*)

где $q$ — величины, характеризующая отклонение от положения равновесия, а $\dot{q}$ — скорость изменения величины $q$ во времени (то есть $\dot{q} = \Delta q / \Delta t$, где $\Delta t$ — малый промежуток времени). Слагаемое $\Pi = \gamma q^2 / 2$ — это потенциальная энергия осиллятора; коэффициент $\beta$ называют массой осиллятора. Слагаемое $K = \beta \dot{q}^2 / 2$ — это кинетическая энергия осиллятора; коэффициент $\beta$ называют массой осиллятора. (Вспомните, как записьается энергия простейшего осиллятора — грузика наружне, и вам станет понятно, почему $\gamma$ называют жесткостью, а $\beta$ — массой осиллятора.)

Как бы ни был конкретно устройен осиллятор, его угловая часть колбанный $\omega = 2\pi/T$ выражается следующим образом через жесткость $\gamma$ и массу $\beta$:

$$\omega = \sqrt{\gamma / \beta}.$$

Введение «обобщенного» осиллятора, координата которого — не обязательно расстояние от положения равновесия, а может иметь любой смысл, лишь бы энергия имела также структуру, как $E$ в выражении (*), позволяет делать выводы о поведении колблющейся системы без расстояния физической природы проискодиях в ней процессов.

Для посянения приведем еще один пример осиллятора, не пожожий на все приведенные выше примеры. Допустим, имеется катушка индуктивности $L$ из хорошо проводящей проводки, концы которой присоединют к конденсатору emкость $C$, имеющей заряд $Q_0$. В цепи возникают электромагнитные колбания. Если катушка сделана из сверхпроводника (для этого нужна низкая температура), колбания практически не будет затухать.

Энергия такой системы состоит из двух слагаемых: энергии магнитного поля в катушке и энергии электрического поля в конденсаторе. Энергия электрического поля конденсатора пропорциональна квадрату заряда $Q$, который в данной момент находится на обкладке конденсатора: $\Pi = \frac{1}{C} Q^2 / 2$.

Энергия магнитного поля катушки пропорциональна квадрату силы тока $I$, текущего в данной момент по катушке: $K = L I^2 / 2$. Но сила тока равна скорости изменения заряда конденсатора со временем: $I = \dot{Q}$. Таким образом, энергия магнитного поля катушки $K = L \dot{Q}^2 / 2$.

Следовательно, энергия системы в любой момент времени равна

$$E = \frac{1}{C} Q^2 / 2 + L \dot{Q}^2 / 2.$$

Наша система — осиллятор; роль координаты осиллятора играет заряд $Q$, потенциальная энергия осиллятора — энергия конденсатора, кинетическая — энергия магнитного поля катушки. Из записи энергии видно, что жесткость этого осиллятора — величины $1/C$, а роль массы индуктивности $L$. Сразу можно записать часть колбаний: $\omega = \sqrt{1/LC}$.

14

Такой осциллятор называется электрическим колебательным контуром.

Как угадать решение?

Приведем пример того, как просяния некоторых черты решения, прежде чем будет построен аппарат для точного решения задачи, до того как найдены уравнения, на основе которых задача будет решаться. Это задно и пример более сложного анализа размерностей, чем в случае осциллятора.

Одна из труднейших и неразрешенных задач теоретической физики—связь гравиатционной и электриматинных явлений.

Если такая связь существует, то в результате решения каких-то еще не найденных уравнений будет получено безразмерное число *), дающее соответствие между гравиатционной построенной γ и величины, характеризующими электромагнитные явления, таким как скорость света c, заряд электрона e и его масса m.

Если существует квантовые явления, то в задачу может войти еще построенная Планка h. Зная размерности величины γ, c, e, m, h, нетрудно убедиться, что из этих величины составить только две независимые безразмерные комбинации:

$$\alpha = e^2/\hbar c; \quad \xi = \hbar c/\gamma m^2$$

(напомним, что $\hbar = h/2\pi$).

Первая из этих комбинаций характеризует взаимодействие электриона с электромагнитным полем (безразмерный «заряд» электрона) и называется построенной тонкой структуры. Подстановка численных значений дает $\alpha = 1/137$, $\xi = 5 \cdot 10^{44}$. Можно ли такое большое число как ξ возникнуть в результате решения каких-либо разумных уравнений? Безразмерные числа, возникшие в результате решения физических задач, как мы уже говорили, имеют порядок нескольких единиц или долей единиц.

*) Для того чтобы соответствие между различными физическими величиными не зависело от выбора единиц, оно должно быть записано в виде безразмерной комбинации.

Поэтому мы вправе ожидать, что величина ξ войдет в задачу в такой форме, чтобы в результате получилось число порядка 1. Пока мы применяли здравый смысл. Тепер должен быть сделан небольшой интупитный логический скачок. Правоподобно, что в теорию войдет комбинация

$$\alpha \ln \xi \sim 1.$$

Ясно, что знание такого соответствия облегчает поиск решения. Именно в такой форме входит величина ξ в существующие сейчас теоретические попытки решения задачи о связи электринами с гравиатцией.

III. ПРЕДЕЛЬНОЕ УПРОЩЕНИЕ

Основная идея квантовой механики

Попробуем показать на другом примере, как, предельно упрощая задачу, можно определить главные черты явления. Этот пример посящит, что такое качественный подход к задаче.

Согласно квантовой механике энергия электрона в.atome может принять только дискретные значения.

Возможные значения энергия электрона в.atome водорода даются выражением

$$E_n = - \frac{me^4}{\hbar^2} \frac{1}{2n^2}.$$

(**)

Разности значений $E_n$ для двух разных $n$ (n=1,2,3,…) определяют с большой точностью частоты наблюдаемых на опите спектральных линий.

Основная идея квантовой механики состоит в том, что каждая частица (в данном случае — электрон) характеризуется неимом волновым процессом с длиной волны

$$\lambda = \frac{2\pi \hbar}{mv},$$

где $m$ — масса частицы, $v$ — ее скорость. Дискретные значения энергии электрона получаются из того условия, что на длине орбиты, по которой движется электрон, должно уклады-

*) физики, как правило, не пользоваться системой СИ. (Примечание автора.)

15

ватся целое число волн. Если радиус орбиты $r$, то $n$-ному состоянию электрона соответствует условие $2\pi r = \lambda n$ ($n=1, 2, \dots$), или $mv_n = \hbar n/r$. Отсюда нетрудно найти кинетическая энергия в $n$-ном состоянии:

$$W_n = m v_n^2 / 2 = \hbar^2 n^2 / 2 m r^2.$$

Полная энергия электрона складывает из кинетической энергии и потенциальной энергии в поле ядра, которая отрицательна и равна $U = -Z e^2 / r$. Полная энергия электрона в atomе водорода равна

$$E_n(r) = \hbar^2 n^2 / 2 m r^2 - e^2 / r.$$

В нашем вывода мы предполагаем, что радиус орбиты $r$ имеет фиксированное значение. Согласно квантовой механике радиуса орбит «разбросаны» в окрестности классических источников орбиты. В качестве оценки радиуса можно взять значение $r$, которое соответствует минимуму энергии $E(r)$.

Чтобы найти минимум $E(r)$, поступим следующим образом. Перепишем выражение для $E(r)$ в таком виде:

$$E = A x^2 - B x.$$

Мы выели такие обозначения: $x = 1 / r$, $A = \hbar^2 n^2 / 2 m$, $B = e^2$. Видно, что при $x_1 = 0$ и $x_2 = B / A$ значение $E$ равно нулю. Внутри интеграла $]x_1, x_2[$ Е отрицательно. Где-то внутри этого интеграла лежит минимум $E$. Будем для оценки считать, что $E_{\min}$ соответствует значению $x$ в середине интеграла, то есть $x = B / 2 A$. Соответственно, $r = 1 / x = 2 A / B$, то есть

$$r_n = \frac{\hbar^2 n^2}{m e^2}.$$

(Отметим, что при $n = 1$ это выражение

$$E_n = - \frac{m e^4}{\hbar^2} \frac{1}{2 n^2},$$

то есть выражение, совпадающее с (**)!

В действительности электрон может с разной вероятностью находиться на любом расстоянии от ядра. Наше упрощение состояния в пределложении, что это расстояние определяное, равное $r$, и находится из условия минимального энергии. Разумеется, мы действовали грубо. Поэтому нельзя доверять числовому множителю впереди этой формулы, хотя он случайно получился правильно. Но всему остальном можно доверять! И множество $me^4 / \hbar^2$, и, что особенно важно, зависитности от «квантового числа» $n$.

Точное решение потребовало бы значения основного уравнения квантовой механики (уравнение Шредингера) и очень сложной (по школьным понятиям) математики. То, что мы получили, и есть качественное решение, когда результат получается с точностью до неизвестного числового множителя, но характер зависитности от параметров задачи передается точно. Качественные решения чрезвычайно облегчает получение точного решения, поскольку выясняются главные черты явления. Более того, если есть качественные решения, а точного не удается получить аналитические, можно без особых потерь в позиции задачи ней его с помощью вычислительных машин.

Еще одно обобщение — квантовые осцилляторы

Не сложнее решается задача о квантовании осциллятора. При этом нам не существует, как реализован осциллятор — представляется ли он груз, колеблющейся наружнее, или электрический колебательный контур.

Обозначим через $q$ обобщенную координату осциллятора. Запишем энергию осциллятора:

$$E = \gamma q^2 / 2 + \beta q^2 / 2.$$

16

Можно себе представить, что осциллярор — это некая «частица» с массой β, колблющаяся наружное сжесткость γ. Для того чтобы формулировать для этого объекта основную идею квантовой механики, ведем длину волны λ волнового процесса, связанного с нашей «частицей»:

$$\lambda = 2\pi \hbar / \beta q.$$

В знаменатель стопт произведение «массы» на ее скорость. Так как скорость изменяется при движении частицы, то и длина волны тоже меняется — она минимальная величина положения равновесия и растет в тех области, где скорость «частицы» мала.

Пусть «частица» движется в области от — $q_0$ до $q_0$. (Подчеркием, что $2q_0$ — не размах колблющей осциллятора, а та область, в которой «дрожит» его координата.) Для того чтобы образовать стоячая волна, на «длина» $2q_0$ должны укладывать цельное число полувольns: $2q_0 = (n+1)\lambda/2$ ($n=0, 1, 2, \dots$). В качестве оценки скорости возьмем значение скорости при $q=q_0$, то есть $(q)_0 = 2\pi \hbar / \beta \lambda = \pi \hbar (n+1)/2\beta q_0$. Подставляя это значение в выражение для кинетической энергии, находим:

$$W_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{8\beta} \frac{(n+1)^2}{q_0^2}.$$

Для полной энергии получаем:

$$E_n(q_0) = \frac{(\pi \hbar)^2}{8\beta} \frac{(n+1)^2}{q_0^2} + \frac{\gamma q_0^2}{2}.$$

При малых значениях $q_0$ энергия велика из-за первого слагаемого, а при больших $q_0$ — из-за второго. Примерное значение $q_0$, даше неименьшую энергию, получится, если приравнять оба слагаемых. Из этого условия находим:

$$q_0^2 = \frac{\pi \hbar (n+1)}{2\sqrt{\beta \gamma}}.$$

Подставляя в выражение для энергии, получаем:

$$E_n = \frac{\pi}{2} \hbar \sqrt{\gamma/\beta} (n+1) = \frac{\pi}{2} \hbar \omega (n+1) \quad (n=0, 1, 2, \dots).$$

Величина $\omega = \sqrt{\gamma/\beta}$ представляется собой частоту колблющей классического осциллятора.

При точном расчете для энергии получается:

$$E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right).$$

Таким образом, мы ошиблись в числовом множителе ($\pi/2$ вместо 1), а также в численном значении энергии в самом низшем состоянии, то есть при $n=0$ ($\frac{\pi}{2} \hbar \omega$ вместо $\frac{1}{2} \hbar \omega$). Но все остальное получилось точно! Теперь, когда результат получен, следует задуматься над тем, что мы использували для его получения и что вытекает из полученных нами выражений для энергии осциллятора и для величины $q_0^2$.

Прежде всего, мы применили к нашему осцилляту, не интересясь тем, как он устроен, принципы квантовой механики, установленные первоально применительно к электронам. Конечно, естественно ожидать, что общее принципы должны быть таким же и для других частиц, массы которых отличются от массы электрона. Действительно, такое обобщение с большой точностью подтвердилось опитом. Но почему эти принципы можно применять и к таким образом, как колбательный контур, где роль «координаты» играет заряд на обкладках конденсатора? Здесь мы подошли к важному предположению, которое шириоко использовано и используется в теоретической физике XX века. Если две системы имеют энергию, одинаково зависит от координат и скоростей, то такие системы обладают одинаковыми свойствами, несмотря на то, что «координаты» и «скорости» могут иметь совершенное разный смысл в этих системах.

Не было ни одного примера, где бы это предположение противоречило опиту. Поэтому мы вправе считать, что решили задачу о применении квантовой механики сразу для всех возможных осцилляторов.

Теперь подумаем, что ознакомит полученные нами результаты. Как они переходят в формулы классического механики? Прежде всего, мы