36
Окружность
девяты точек
(см. 4 с. обложки)
Построим произвольный треугольник ABC и проведем в нем высоты и медианы. На рисунке 1 основны динны L, M, N отрезков, соединяющих ortоцентр (точку пересечения высот) треугольника с его вершинами. Поэтому иногда ее называют окружность девяты точки.
Чтобы все это доказать, рассмотрим произвольный четырехугольник с перпендикулярными диагоналими. На рисунке 2 вы видите в выкулы четырехугольник ABCD, но, вообще говоря, он может быть невыпуклым и даже самопересекающимся. Рассмотрим середины
Рис. 1.
Вания высот (точки D, E, F) и основания медиан (точки K, P, G) выделены красным цветом. Оказывается, все эти точки лежат на одной окружности. Позному ее часто называют окружностью Эйлера. Кроме указанных шести точек на этой же окружности лежат середина сторона X, Y, Z, U. Легко видеть, что они являются вершинами прямогоугольника (доказьте это). Следовательно, они лежат на одной окружности, а XZ и YU — ее диаметры. Опустим из этих точки perpendикуляры XV, YW, ZT и US на противоположные стороны четырехугольника или их продолжения. Ясно, что точки V, T, W и S лежат на той же окружности: действительное, например, углы XVZ и XTZ — прямые.
Тепер мы можем доказать, что на рисунке 1 точки D, E, F, K, P и G лежат на одной окружности. На нем, при присталном рассмотрении, можно обнаружить три невыпukлых четырехугольника AHBC, ABHC, с perпендикулярными диагоналими. Например, в четырехугольнике AHBC такими диагоналими служат отрезки HC и AB. Покажем с помощью этого четырехугольника, что точки E, P, D и G действительно принадлежат одной окружности. Точка P — середина стороны BC, а точка E — основание perпендикура, проведенного из нее к противоположной стороне AH. Аналогично, точка D — основание perпендикура, проведенного из точки G, середины стороны AC, к противоположной стороне BH того же четырехугольника. Точно так же, рассматривая четырехугольник ABCH, убеждаемся, что и точка F лежит на той же окружности, и т. д.
Легко сообщить, что радиус окружности Эйлера равен половине радиуса окружности, описанной около треугольника ABC. Попробуйте доказать, что центр окружности Эйлера делит пополам отрезок, соединяющий центр описанной окружности и ortоцентр H.
В. Березин
Рис. 2.
вания высот (точки D, E, F) и основания медиан (точки K, P, G) выделены красным цветом. Оказывается, все эти точки лежат на одной окружности. Позному ее часто называют окружностью Эйлера. Кроме указанных шести точек на этой же окружности лежат середина сторона X, Y, Z, U. Легко видеть, что они являются вершинами прямогоугольника (доказьте это). Следовательно, они лежат на одной окружности, а XZ и YU — ее диаметры. Опустим из этих точки perpendикulares XV, YW, ZT и US на противоположные стороны четырехугольника или их