“Biết” nghĩa là gì?

35

Hàm $x = a_3$ $f$ có tính gián đoạn. Với $x$ hướng tới $a_4$, hàm $f$ cũng có giới hạn: $\lim_{x \to a_4} f(x) = b_4$ và $b_4 = f(a_4)$. Tại điểm $a_4$ hàm số $f$ được gọi là liên tục. Có giới hạn của hàm $f$ và với $x$ có xu hướng $a_5$: $\lim_{x \to a_5} f(x) = b_5$, mặc dù hàm $f$ chưa được xác định tại thời điểm này, $a_5 \notin D(f)$.

Đây là đại khái mọi điều bạn cần biết về việc xác định giới hạn của một hàm số.

Bây giờ chúng ta có thể trả lời câu hỏi - việc biết định nghĩa có ý nghĩa gì. Biết một định nghĩa không chỉ có nghĩa là có thể xây dựng nó một cách chính xác mà còn có thể minh họa nó bằng hình vẽ hoặc ví dụ, thể hiện nó trong công việc và áp dụng nó vào thực tế. Chính với “thước đo” này mà giám khảo trong các kỳ thi tuyển sinh tiếp cận được kiến ​​thức về định nghĩa.

Việc biết định lý có ý nghĩa gì? Trước hết, bạn cần phải xây dựng nó một cách chính xác. Tiếp theo: bạn cần biết ý nghĩa của tất cả các thuật ngữ có trong công thức định lý, có thể làm rõ và định nghĩa chúng. Rốt cuộc, trước khi bạn chứng minh một định lý về các tính chất của một đối tượng toán học nào đó, tất nhiên bạn phải hiểu rằng đó là một đối tượng. Ví dụ, không thể chứng minh một định lý về tổng tùy ý của hai hàm số nếu không biết định nghĩa của hàm số tùy ý.

Nó cũng rất hữu ích khi có thể đưa ra một ví dụ chứng minh một phát biểu rút ra từ định lý từ

Hình 4.

bằng cách vứt bỏ bất kỳ điều kiện nào của nó.

Bài tập 1. Bác bỏ định lý:
a) nếu dãy đơn điệu thì nó có giới hạn;
b) nếu chuỗi bị chặn thì nó có giới hạn*).

Các định lý chứa các điều kiện cần và đủ phải có thể được chia thành hai: một thể hiện sự cần thiết của điều kiện và một thể hiện sự đủ của nó.

Bài tập 2. Thực hiện thao tác này với định lý sau**): một hàm khả nghịch khi và chỉ nếu nó chỉ nhận mỗi giá trị của nó một lần.

*) Xem định lý Weierstrass (“Đại số và nguyên tắc phân tích” 9), đoạn 31).
**) “Đại số và sự khởi đầu của phân tích” 10,” trang 170.

Về phân tích Diophantine

(Để bắt đầu, xem trang 16)

Dễ dàng nói rằng trong phương trình $x^2 - 2y^2 = 1$ số $x$ là số lẻ, $x \ge 3$. Đặt $x = 2n + 1$ ($n \ge 1$). Khi đó $2n(n + 1) = y^2$, có nghĩa là $y$ là số chẵn. Hãy đặt $y = 2m$ ($m \ge 1$ vì $y \ge 2$). Chúng ta hãy đặt $n(n + 1) = 2m^2$, tức là một phương trình có dạng $T_n = K_m$. Điều này có nghĩa là phương trình $T_n = K_m$ có ​​một tập vô hạn lời giải, vì mỗi phương trình lời giải $(x; y)$ $x^2 - 2y^2 = 1$ (và tập vô hạn của chúng) tạo ra các phương trình lời giải $T_n = K_m$, chúng ta thu được từ các công thức $n = \frac{x - 1}{2}$, $m = \frac{y}{2}$.

Bài toán 5. Chứng minh rằng phương trình lời giải (bằng số tự nhiên) $T_n = K_m$ có ​​thể được mô tả theo hai cách sau:

a) $n_{k+1} = 3n_k + 4m_k + 1$,
$m_{k+1} = 2n_k + 3m_k + 1$,
$n_1 = 1$, $m_1 = 1$;
b) $n_{k+2} = 6n_{k+1} - n_k$,
$m_{k+2} = 6m_{k+1} - m_k$,
$n_1 = 1$, $n_2 = 8$, $m_1 = 1$, $m_2 = 6$.