Sự giãn nở nhiệt của chất rắn

10

V. Mozhaev

Sự giãn nở nhiệt của chất rắn

Người ta biết rằng hầu hết các chất rắn đều nở ra khi bị nung nóng. Đây là một tính chất phổ quát của chất rắn. Độ giãn dài tương đối của hầu hết các chất rắn khi đun nóng ở 1°C là ~10⁻⁵. Để hiểu bản chất của điều này, thoạt nhìn, một hiện tượng hiển nhiên, cần phải hiểu đặc điểm của sự tương tác giữa các nguyên tử trong một vật thể rắn.

Bất kỳ vật thể rắn nào cũng bao gồm một hệ thống ổn định gồm các bộ phận - nguyên tử, ion hoặc phân tử - tương tác với nhau. Chúng ta sẽ không đi sâu vào chi tiết về bản chất của những tương tác này mà nhìn vào bản chất chung của chúng.

Để ổn định tập hợp các bộ phận tạo thành một vật thể rắn, cần có sự hiện diện của hai loại lực: lực hấp dẫn không tạo khoảng cách cho hệ thống đó và lực đẩy không cho phép các hạt chuyển động. Khoảng cách càng nhỏ thì lực hút và lực đẩy càng lớn. Tuy nhiên, khi khoảng cách giảm đi, giá trị tuyệt đối của lực đẩy quay trở lại nhanh hơn nhiều so với giá trị tuyệt đối của lực hút.

Hình 1 cho thấy một cái nhìn tổng quát về sự phụ thuộc của lực hấp dẫn (a) và lực đẩy (b) vào khoảng cách giữa các hạt của vật rắn. Đường cong c là kết quả của các lực này, nó mô tả bản chất của lực tương tác. Ở khoảng cách r = r₀, lực đẩy cân bằng với lực hút và lực tương tác tạo thành bằng không. Khoảng cách r₀ giữa các hạt tương ứng với trạng thái cân bằng ổn định. Thật vậy, sự dịch chuyển của một bộ phận khỏi vị trí cân bằng dẫn đến xuất hiện một lực có xu hướng đưa chúng về vị trí cân bằng.

Để mô tả sự tương tác giữa các hạt người ta thường sử dụng khái niệm năng lượng tương tác. Hình 2 biểu diễn đồ thị năng lượng tương tác theo khoảng cách giữa các hạt. Trị số của năng lượng ở khoảng cách r giữa các hạt 1 và 2 bằng công phải thực hiện để di chuyển hạt 2 từ vô cực, nơi năng lượng tương tác bằng 0, đến một điểm tại

11

đi ở khoảng cách $r$ so với hạt 1. Khi các hạt tiến đến khoảng cách $r_0$, công được thực hiện bằng sự hợp nhất của lực hút - năng lượng tương tác trong vùng này là âm. Khi tiến gần từ khoảng cách $r_0$ đến khoảng cách $r < r_0$, cần thực hiện công chống lại lực đẩy - trong vùng này năng lượng tương tác là dương. Ở vị trí cân bằng ổn định (tại $r = r_0$), tổng năng lượng tương tác đạt giá trị tối thiểu.

Gần độ không tuyệt đối, các hạt trong chất rắn nằm ở khoảng cách $r_0$ với nhau, ở đáy giếng thế năng (theo nghĩa năng lượng của từ này). Khi một vật rắn được làm nóng, tổng năng lượng $E$ của các hạt tăng lên. Năng lượng này, không có ở đáy giếng thế năng, bao gồm động năng và thế năng của các hạt. Công thức duy nhất có sẵn của các hạt trong trường hợp này là chuyển động dao động xung quanh vị trí cân bằng. Tổng năng lượng $E$ của một hạt dao động trong chất rắn, cũng như năng lượng của các phân tử khí, tỷ lệ thuận với nhiệt độ $T$.

Chúng ta hãy xem xét các dao động của một hạt nằm trong giếng thế năng (trong khu vực được bảo vệ trong Hình 2) và có tổng năng lượng $E$. Để đơn giản, hạt rỗng 1 đứng yên và hạt 2 dao động. Tại thời điểm đi qua vị trí cân bằng (điểm $O$ trên Hình 3), hạt 2 có động năng cực đại bằng $E$. Khi một hạt chuyển động sang trái so với vị trí cân bằng, động năng được dùng để thắng lực đẩy của hạt 1 và chuyển thành thế năng tương tác. Sự lệch về bên trái xảy ra cho đến khi toàn bộ động năng của hạt chuyển hóa thành thế năng. Điều này xảy ra tại điểm $A$ cách vị trí cân bằng một khoảng $x_1$. Lúc này hạt dừng lại và bắt đầu chuyển động theo hướng ngược lại. Khi di chuyển sang phải từ vị trí cân bằng, động năng của hạt 2 được dùng để thắng lực hấp dẫn về phía hạt 1 và cũng chuyển hóa thành thế năng tương tác. Tại điểm $B$ cách vị trí cân bằng một khoảng $x_2$ thì toàn bộ động năng chuyển thành thế năng,

12

hạt dừng lại và bắt đầu chuyển động sang trái.

Chúng ta đã mô tả hành trạng chung của hạt 2. Bây giờ chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn.

Chúng ta hãy quay lại Hình 1. Trong vùng lân cận của điểm $r_0$ phần phụ thuộc $F(r)$ có thể xấp xỉ, với một mức độ chính xác nhất định, được coi là tuyến tính. Trong trường hợp này, lực $F(x)$, xuất hiện khi hạt lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng $x$, tỷ lệ thuận với độ lệch này và hướng về vị trí cân bằng. (Chúng tôi tin rằng những lực như vậy phát sinh trong quá trình biến dạng đàn hồi của vật rắn. Định luật Hooke tuân theo đề xuất này.) Trong phép tính gần đúng này, sự thay đổi thế năng của một hạt trong vùng lân cận điểm $r_0$ được mô tả bởi sự phụ thuộc

$$U(x) = \frac{Kx^2}{2},$$

(1)

trong đó $K$ là hệ số không đổi không phải tác nhân và hạt thực hiện dao động điều hòa với tần số $\omega = \sqrt{K/m}$. Phép tính gần đúng có thể đặt được còn được gọi là điều hòa.

Liệu có thể, dựa trên phép tính gần đúng điều hòa, để giải thích sự giãn nở nhiệt của một vật thể hay không? Không. Và đây là lý do tại sao. Đường cong thế năng $U(x)$ trong phép tính gần đúng điều hòa là một parabol, đối xứng theo phương thẳng đứng $x = 0$ (xem Hình 3). Điều này có nghĩa là khi nhiệt độ tăng, tức là khi tổng năng lượng của hạt tăng, chỉ có thể xảy ra sự tăng biên độ dao động của hạt 2 và khoảng cách trung bình giữa hạt 1 và 2 không thay đổi. Điều này có nghĩa là kích thước của vật không thay đổi khi bị nung nóng.

Vì vậy, chúng ta cần mô tả chính xác hơn phép tính gần đúng điều hòa bản chất của sự thay đổi thế năng của hạt 2 trong vùng lân cận điểm $O$.

Trên thực tế, đường cong bất đối xứng tiềm năng—nhánh trái của nó “phát triển” nhanh hơn nhiều so với nhánh phải. Để tính đến tính đối xứng của đường cong thế năng trong vùng lân cận điểm $O$, chúng ta biểu diễn thế năng của hạt dưới dạng:

$$U(x) = K \frac{x^2}{2} - \beta \frac{x^3}{3},$$

(2)

trong đó $x$, như trước, là độ lệch so với vị trí cân bằng. Bằng cách thêm $\beta x^3/3$, chúng tôi đưa đường cong tiềm năng trong mô hình của mình đến gần hơn với đường cong thực. (Trong phép tính gần đúng đầu tiên, chúng tôi đã thay thế đường cong năng lượng tương tác thực tế bằng một parabol (1); bây giờ chúng tôi thực hiện phép tính gần đúng tiếp theo.)

Bản chất không đối xứng của đường cong thế năng (2) dẫn đến độ lệch tối đa của hạt 2 sang phải $(x_2)$ và sang trái $(x_1)$ hóa ra không bằng nhau:

$$|x_2| > |x_1|.$$

Do đó, vị trí trung bình của hạt không còn trùng với vị trí cân bằng - nó sẽ di chuyển về bên phải điểm $O$ một khoảng $\bar{x} = \frac{|x_2| - |x_1|}{2}$. Nói cách khác, khoảng cách trung bình giữa các hạt 1 và 2 tăng $\bar{x}$, có nghĩa là làm nóng cơ thể, tức là tăng năng lượng của các hạt, dẫn đến tăng kích thước tuyến tính của cơ thể.

Bây giờ chúng ta hãy ước tính hệ số giãn nở nhiệt tuyến tính $\alpha$. Làm nóng cơ thể đến nhiệt độ neoctor $T$, tại đó nhiệt năng trung bình của các nguyên tử của nó là $E$. Khi đó đối với vị trí cực trị bên trái của hạt 2 (điểm $A$ trong Hình 3), chúng ta có thể viết:

$$E = \frac{Kx_1^2}{2} + \beta \frac{|x_1|^3}{3}.$$

(3)

(Chúng ta đã đánh đồng tổng năng lượng của hạt với thế năng của nó ở vị trí cực bên trái.) Tương tự như vậy đối với vị trí cực trị bên phải (điểm $B$)

$$E = \frac{Kx_1^2}{2} - \beta \frac{|x_1|^3}{3}.$$

(4)

Để nhiệt độ cơ thể tăng theo giá trị $\Delta T$. Lấy số gia từ cả hai phần của phương trình (3) và (4), chúng ta thu được

$$\Delta E = K|x_1| \cdot \Delta |x_1| + \beta x_1^2 \cdot \Delta |x_1|,$$

(5)

$$\Delta E = K|x_2| \cdot \Delta |x_2| - \beta x_2^2 \cdot \Delta |x_2|.$$

(6)

Từ phương trình (5) và (6) chúng ta thấy rằng