Тепловое расширение твёрдых тел

10

В. Можаев

Тепловое расширение твердых тел

Хорошо известно, что практические все твердые тела при нагревании расширяются. Это — универсальное свойство твердых тел. Относительно удлинение большинства твердых тел при нагревании на 1°C составляет ~10⁻⁵. Чтобы понять природу этого, на первый взгляд, очевидного явления, необходимо разобраться в характеристике взаимодействия между atoms в твердом теле.

Любое твердое тело состоит из устойчивой системы части — атомов, ионов или молекул, — взаимодействующих друг с другом. Мы не будем подробно остановываться на природа этих взаимодействий, а смотрим их общий характер.

Для устойчивости ансамбля части, образующих твердое тело, необходимо наличие двух типов сил: сил прияжения, которые не дают расстояния такой системе, и сил ottалкивания, не позволяющих частицам. И силы прияжения, и силы ottалкивания тем больше, чем меньше это расстояние. Однако по мере уменьшения расстояния абсолотная величины силы ottалкивания возратает гораздо быстрее, чем абсолотная величины силы прияжения.

На рисунке 1 приведен общий вид зависимости силы прияжения (a) и силы ottалкивания (b) от расстояния между частицами твердого тела. Кривая c — это результатушая этих сил, которая и описывает характер силы взаимодействия. На расстоянии r = r₀ силы ottалкивания уравновешивают силы прияжения, и результатушая сила взаимодействия обращается в нуль. Расстояние r₀ между частицами соответствует устойчивому состояние равновесия. Действительно, смешение части из положения равновесия приводит к появлению результатушей силы, которая стремится вернуть их в положение равновесия.

Для описания взаимодействия между частицами объчно использовать понятие энергии взаимодействия. На рисунке 2 приведен график зависимости энергии взаимодействия от расстояния между частицами. Численное значение энергии при расстоянии r между частицами 1 и 2 равно работе, которое необходимо совершить, чтобы переместить частицу 2 из бесконечности, где энергия взаимодействия равна нулю, в точку, на

11

ходящуюся на расстоянии $r$ от частицы 1. При сближении частиц до расстояния $r_0$ работа совершается слиями притяжения — энергия взаимодействия в этой области отрицательна. При сближении от расстояния $r_0$ до расстояния $r < r_0$ необходимо совершать работу против сил отталкивания — в этой области энергия взаимодействия положительная. В положении устойчивого равновесия (при $r = r_0$) полная энергия взаимодействия достигает минимального значения.

Вблизи абсолотного нуля частицы в твердом теле располагаются на расстояниях $r_0$ друг от друга, находясь на дне потенциальной ямы (в энергетическом смысле этого слова). При нагревании твердого тела происходит увеличение полной энергии $E$ частиц. Эта энергия, отсутствиямая от дна потенциальной ямы, включает в себя кинетическая и потенциальную энергия частиц. Единственный доступной формулирования частиц в этом случае является колебательное движение около положенной равновесий. Полная энергия $E$ колебуляющей частицы в твердом теле, так же как и энергия молекул газа, пропорциональная температуре $T$.

Рассмотрим колебания частицы, находящейся в потенциальной яме (на участке, защищованном на рисунке 2) и обладающей полной энергей $E$. Для простоты пустычаща 1 неподвижна, а колебляется частица 2. В момент прохождения положения равновесия (точка $O$ на рисунке 3) частица 2 обладает максимальной kinетической энергей, равной $E$. При движении частицы влево от положения равновесия кинетическая энергия расходуется на предоление сил отталкивания ее от частицы 1 и переходит в потенциальную энергию взаимодействия. Отклонение влево происходит до тех пор, пока все кинетическая энергия частицы не перейдет в потенциальную энергию. Это происходит в точке $A$ на расстоянии $x_1$ от положения равновесия. В этой частица останавливается и начинает двигаться в обратном направлении. При движении вправо от положения равновесия кинетическая энергия частицы 2 расходуется на предоление сил притяжения к частице 1 и также переходит в потенциальную энергию взаимодействия. В точке $B$, находящаяся на расстоянии $x_2$ от положения равновесия, все кинетическая энергия переходит в потенциальную,

12

частица остановливается и начинает двигаться влево.

Общий характер поведения частицы 2 мы описали. Тепер рассмотрим его более детально.

Обратимся снова к рисунку 1. В окрестности точки $r_0$ зависит часть $F(r)$ можно приближенно, с определенной степенью точности, считать линейной. В этом случае сила $F(x)$, возникшая при отклонении частицы от положения равновесия на расстояние $x$, пропорциональная этому отклонению и направлена к положению равновесия. (Мы полагаем, что такие силы возникают при упругих деформациях твердых тел. Именно из этого предложения и следует закон Гука.) В таком приближении изменение потенциальной энергии частицы в окрестности точки $r_0$ описывается зависимостью

$$U(x) = \frac{Kx^2}{2},$$

(1)

где $K$ — неокторный постоянный коэффициент, и частица совершает гармоничческие колебания с частотой $\omega = \sqrt{K/m}$. Позному также приближение называют гармоничским.

Можно ли, оставившись на гармоничском приближении, объяснить тепловое расширение тела? Нет. И вот почему. Потенциальная кривая $U(x)$ в гармоничском приближении — это парабола, симметричная относительно вертикали $x = 0$ (см. рисунок 3). Значит, с повышением температуры, то есть с увеличением полной энергии частицы, может произойти только увеличение амплитуды колебаний частицы 2, а среднее расстояние между частицами 1 и 2 остается неизменным. Значит, и размер тела остается при нагревании неизменным.

Итак, нам нужно более точно, чем гармоничским приближением описать характер изменения потенциальной энергии частицы 2 в окрестности точки $O$.

В действительности потенциальная кривая несимметрина — ее левая ветвь «растет» значительное быстрее, чем права. Для учета симметрины потенциальной кривой в окрестности точки $O$ представим потенциальную энергию частицы в таком виде:

$$U(x) = K \frac{x^2}{2} - \beta \frac{x^3}{3},$$

(2)

где $x$, по-прежнему, — отклонение от положения равновесия. Добавляем $\beta x^3/3$, мы приближаем нашу модельную потенциальную кривой к реальной кривой. (В первом приближении мы заменили действительную кривой потенциальной энергии взаимодействия параболой (1), теперь мы делаем следующее приближение.)

Несимметричный характер потенциальной кривой (2) приводит к тому, что максимальные отклонения частицы 2 вправа $(x_2)$ и влево $(x_1)$ оказываются неодинаковыми:

$$|x_2| > |x_1|.$$

Поэтому среднее положение частицы уже не совпадает с положением равновесия — оно смешается вправо от точки $O$ на расстояние $\bar{x} = \frac{|x_2| - |x_1|}{2}$. Иными словами, среднее расстояние между частицами 1 и 2 увеличивается на $\bar{x}$, а это означает, что нагревание тела, то есть увеличение энергии его частиц, приводит к увеличению линейных размеров тела.

Проведем теперь оценку линейного коэффициента теплового расширения $\alpha$. Пусть тело нагрето до неокторной температуры $T$, при которой средняя тепловая энергия егоatomов равна $E$. Тогда для левого крайнего положения частицы 2 (точка $A$ на рисунке 3) можно записать:

$$E = \frac{Kx_1^2}{2} + \beta \frac{|x_1|^3}{3}.$$

(3)

(Mы приравняли полную энергию частицы ее потенциальной энергии в левом крайнем положении.) Аналогично для правого крайнего положения (точка $B$)

$$E = \frac{Kx_1^2}{2} - \beta \frac{|x_1|^3}{3}.$$

(4)

Пусть температура тела увеличилась на величины $\Delta T$. Взяв приращения от обенх частей уравнения (3) и (4), получим

$$\Delta E = K|x_1| \cdot \Delta |x_1| + \beta x_1^2 \cdot \Delta |x_1|,$$

(5)

$$\Delta E = K|x_2| \cdot \Delta |x_2| - \beta x_2^2 \cdot \Delta |x_2|.$$

(6)

Из уравнений (5) и (6) найдем из-