Задачи М626—М630; Ф638—Ф642

18

Задачи

М626—М630; Ф638—Ф642

М626. Каждая сторона выпуклого четырехугольника разделена на 8 равных частей. Соответствие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей клеток равна сумме площадей белых клеток.

В. Произвольов

М627. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число.
a) Пусть каждое из этих чисел встречаетсяровно один раз. (Приведите примеры такой расстановки чисел!)
Докажите, что для любого заданного m найдется две соседние (имеющие общую сторону) клетки, разность чисел в которых не меньше m.
6) * Пусть каждое число n ∈ N встречаетсяровно n раз (то есть 1 — один раз, 2 — два раза и т. д.).
Укажите наиболее число k такое, что обязательно найдется две соседние клетки, разность чисел в которых не меньше k. (Приведите пример такой расстановки, в котором разность чисел в любой паре соседних клеток не больше k+1.)

А. Толыво

М628. На сфере построен треугольник, одна «сторона» которого имеет величины 120°. Докажите, что «медиана», опущенная на эту «сторону» делится каждой из двух других «медиан» на две равные части. («Медианы» и «стороны» — другие больших окружностей.)

А. Ягуьянц

М629. a) Докажите, что число 2^{2n-1}-9n^2+21n—14 делится на 27 при любом натуральном n.
b) Докажите, что если числа a+b и a^2+b делятся на m, то a^n+b делятся на m при любом n (a, b и m — неокоторые натуральные числа).
b) * Докажите, что если f(n)=a^n+b_0+b_1n+…+b_kn^k делится на m при n=1, n=2, …, n=k+1, n=k+2, то f(n) делится на m при любом n (a, b_0, b_1, …, b_k, m — неокоторые натуральные числа).

Т. Маликов