Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина

44

содержит только одну точку. Найти эту точку.

13. Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, прямой $y = 2$ и ось ординат. В какой точке графика данной функции необходимо проверить к ней касательную, чтобы она отсекала от указанной фигуры треугольник наиболее площади?

14. Гочка $(x; y; z)$ лежит на плоскости $x + y + z = 6$. Доказать, что $x^2 + y^2 + z^2 \geq 12$.

15. Доказать, что для произвольного натурального числа $n$ выполняется равенство

$$\left(1 - \frac{4}{1}\right)\left(1 - \frac{4}{9}\right)\left(1 - \frac{4}{25}\right) \dots$$

$$\dots \left(1 - \frac{4}{(2n-1)^2}\right) = \frac{1+2n}{1-2n}.$$

16. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $CM$. Примяя $l$, параллельная $(CM)$, пересекает $(BC)$, $(CA)$ и $(AB)$ соответственно в точках $A_1, B_1$ и $C_1$. Доказать, что $A_1C_1 + B_1C_1 = CA + CB$.

17. Окружность $K_1$ касается внутриним образом окружности $K_2$ в точке $A$, $[BC]$ — хорда окружности $K_2$, касающаяся окружности $K_1$ в точке $D$. Доказать, что $BAD = DAC$.

18. В прямогольном треугольнике $ABC$ [BD] — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $AC$. Доказать, что

$$\frac{1}{|BD|^2} = \frac{1}{|AB|^2} + \frac{1}{|BC|^2}.$$

19. Доказать, что в произвольном треугольнике

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c},$$

где $h_a, h_b, h_c$ — длины высот треугольника, $r$ — радиус выписанной окружности.

Н. Пересток, М. Ядренко

Ростовский государственный университет

(mеханико-mатематический факультет)

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

(отделение математики)

1. Найти высоту цилиндра наиболее объема, вписанного в данной конус с высотой $H$ и радиусом основания $R$.

2. Решить уравнение

$$\log \frac{1}{3}\left(2\left(\frac{1}{2}\right)^x-1\right) = \log \frac{1}{3}\left(\left(\frac{1}{4}\right)^x-4\right).$$

3. Решить уравнение

$$\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = \frac{3}{2}.$$

Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

(mатематический факультет)

Решите любые пять из следующих задач:

1. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями $y = -x^2 + 6x - 2$ и $y = x^2 - 2x + 4$.

2. Решить уравнение

$$\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x} = 0.$$

3. Решить уравнение

$$\log_{0,1}\left(x^2+x-2\right) > \log_{0,1}(x+3).$$