Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

42

Варианты вступительных экзаменов вузы в 1979 году

Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(mатематiko-mеханический факультет)

1. Сколько корней имеет уравнение
   $$f(x) - af'(x) = 0,$$
   если $f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$, $a$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ — действительные числа ($x_1 < x_2 < x_3 < x_4$)?
2. Решить уравнение (при $a \in \mathbb{R}$)
   $$\log_a(1-8a^{-x}) \geq 2(1-x).$$
3. Решить уравнение (при $a \in \mathbb{R}$)
   $$a \cdot \sin x + \mathrm{tg} x + 1 = \frac{1}{\cos x}.$$
4. В равноведренную грапецию $ABCD$ вписана окружность радиуса $R$; $K$ — точка пересечения диагональной грапеции, $[AB]$ — ее большое основание, $KBA = a$. Найти радиус окружности, касающейся данной окружности и отрезков $[KB]$, $[KC]$ диагональной.
5. Точки $M, N, P, Q$ расположены в пространстве так, что $(MN) \perp (PQ)$, $(MP) \perp (NQ)$. Доказать, что и $(MQ) \perp (NP)$.

Вариант 2
(факультет прикладной математики — процессов управления)

1. Для каких $a (a \in [0; 1])$ площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и прямыми $x = 0, x = 1, y = f(a)$, имеет наиболее и наиболее значения, если $f(x) = x^a + 3x^\beta$, $a, \beta$ — действительные числа, причем $a > 1$, $\beta > 1$?
2. При каких $a (a \in \mathbb{R})$ любое решение уравнения
   $$\log_3(x^2 - 3x + 7) / \log_3(3x + 2) < 1$$
   будет также решением неравенства $x^2 + (5-2a)x \leq 10a$?
3. Решить уравнение (при $a \in \mathbb{R}$)
   $$(8a^2 + 1) \sin^3 x - (4a^2 + 1) \sin x + 2a \cdot \cos^3 x = 0.$$
4. Длины катетов прямого треугольника равны $a$ и $b$, длина биссеррисы прямого угла равна $l$. Верно ли, что $l \leq \sqrt{\frac{ab}{2}}$?
5. Сфера проходит через центр шара, вписанного в правильный треугольник, и касается трех ребер треугольника, исходящих из одной вершины. Найти радиус сферы, если длина ребра треугольника равна $a$.

Вариант 3
(физический факультет)

1. Ширина реки равна $a$ м, скорость ее течение — $w$ м/сек, скорость пловца в стоячей воде — $v$ м/сек ($v < w$), а скорость его движения на суше — $u$ м/сек. За какое наименьшее время пловец может попасть в точку, расположенную на противоположном берегу напротив того места, с которой он начинает переправу? Считать, что в воде пловец не изменяет выбранного им в начале переправы движения и что вектор скорости течение реки параллелен ее берегам, которые предполагаются прямолинейными.
2. При каких $a (a \in \mathbb{R})$ точка $(a; a^2)$ расположена внутри треугольника, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и прямыми $x = 0, x = 1, y = f(a)$, имеет наиболее и наиболее значения, если $f(x) = x^a + 3x^\beta$, $a, \beta$ — действительные числа, причем $a > 1$, $\beta > 1$?
3. Решить уравнение
   $$\sin^6 x + \cos^6 x = 1 + \sin 4x.$$
4. Найти $\lim_{n \to \infty} x_n$, если
   $$x_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$$
5. Три большие окружности одинакового радиуса $R$ касаются попарно друг друга. Три маленькие окружности имеют одинаковый радиус и касаются попарно друг друга. Найти радиус маленькой окружности, если каждая из маленьких окружностей касается также двух больших.

A. Пономаренко