Решения задач М568, М570—М572, М574; Ф579, Ф586, Ф587

20

М568. Дизайн выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Доказите, что
a) если радиус окружности, вписанных в треугольника AOB, BOC, COD и DOA, равны между собой, то ABCD — ромб;
b) если радиус окружности, вписанных в треугольника ABC, BCD, CDA и DAB, равны между собой, то ABCD — прямоугольник.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Пусть $r$ — радиус, $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD; $P, Q, R, S$ — точки касания этих окружностей со стороны AO, BO, CO, DO этих треугольников (рис. 1).

Докажем сначала, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Для этого достаточно установить, что его диагонали AC и BD делятся точкой O пополам.

Предположим, что это не так. Пусть, например, $|AO| > |OC|$. Мы доказем, что из этого неравенства следует неравенства $|BO| < |OD|$ и $|BO| > |OD|$, что невозможно.

Из неравенства $|AO| > |OC|$ следует, что $|AP| > |CR|$, поскольку $|OP| = |OR|$; из $|O_1P| = |O_2R|$ вытекает $O_1AP < O_2CR$, и поэтому $BAO < DCO$. Следовательно, $ABO > CDO$ и $BQ < DS|$, но это значит, что $|BO| < |OD|$.

Повторяя проведенные рассудения для треугольников BOC и AOD (рис. 2; проделяйте это самостояльно), получим, что $DAO < BCO$, откуда $ODA > CBO$, и, следовательно, $|DS_1| < |BQ_1|$, то есть $|BO| > |OD|$.

Полученное противоречение доказывает, что $|AO| = |OC|$. Так же доказывается, что $|BO| = |OD|$. Итак, четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Из равенства площей треугольников AOB и BOC (мы пользовемся известной формулой $S = pr$) получаем

$$\frac{1}{2}r(|AO| + |OB| + |AB|) = \frac{1}{2}r(|OC| + |OB| + |BC|),$$

откуда $|BC| = |AB|$, то есть четырехугольник ABCD — ромб.

6. Первое решение. Пусть (рис. 3) $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$, $C_1$ и $C_2$, $D_1$ и $D_2$ — точки касания окружностей, вписанных в треугольника ABD, ABC, BCD, CDA, со стороны четырехугольника ABCD; $O_1, O_2, O_3, O_4$ — центры этих окружностей; $P, Q, R, S$ — точки касания окружностей с диагонали AC и BD; $r$ — радиус окружностей.

Сначала мы доказем интересный и сам по себе факт: для произвольного выпуклого четырехугольника ABCD длинны отрезков между точками касания, лежащими на противоположных сторонах четырехугольника, равны, то есть $|A_1B_2| = |C_1D_2|$ и $|B_1C_2| = |A_2D_1|$.

Убедимся сначала, что рисунок 3 «правильный», то есть что расположение точек касания на сторонах четырехугольника именно такое, как это показано на рисунке 3.

Рассмотрим, например, треугольники ABD и ACD и докажем, что точка $A_2$ лежит близке к точке $A$, чем точка $D_1$.

Для этого достаточно доказать, что $|AA_2| + |DD_1| < |AD|$.

Легко видеть, что

$$|AA_2| = \frac{|AB| + |AD| - |BD|}{2}$$

$$|DD_1| = \frac{|AD| + |CD| - |AC|}{2}$$

Сложив эти равенства, получим

$$|AA_2| + |DD_1| = |AD| + \frac{|AB| + |CD| - |BD| - |AC|}{2}$$

Но $|AB| + |CD| < |BD| + |AC|$ (доказите это!) и, следовательно,

$$|AA_2| + |DD_1| < |AD|$$

Теперь доказем, что $|A_2D_1| = |B_1C_2|$ и $|D_2C_1| = |A_1B_2|$.

21

Пользовать свойством отрезков касательных (рис. 3), получаем

$$|BD| = |BP| + |PD| = |BA_1| + |DA_2| = = |BB_2| + |A_1B_2| + |DD_1| + |A_2D_1|.$$ (1)

С другой стороны,

$$|BD| = |BR| + |RD| = |BB_1| + |B_1C_2| + |DD_2| + |D_2C_1| = = |BB_2| + |B_1C_2| + |DD_1| + |D_2C_1|.$$ (2)

Приравнивая выражения (1) и (2), получаем

$$|A_1B_2| + |A_2D_1| = |B_1C_2| + |D_2C_1|.$$ (3)

Проведя точное также вычисления для диагонали AC, получим

$$|A_2D_1| + |D_2C_1| = |A_1B_2| + |B_1C_2|.$$ (4)

Сложив теперь равенства (3) и (4), получим

$$|A_2D_1| = |B_1C_2|.$$

Следовательно, и $|D_2C_1| = |A_1B_2|$.

Do such пор мы не пользовались равенством радиусов вписанных окружностей, так что полученный нами результат справедлив для произвольного выпуклого четырехугольника.

Теперь завершим решение задачи.

Так как центры окружностей одинаково удалены от соответствующих сторон, получаем $(O_1O_2) \parallel (AB)$ и $(O_3O_4) \parallel (CD)$; а так как $|O_1O_2| = |A_1B_2|$ и $|O_3O_4| = |C_1D_2|$, получаем $|O_1O_2| = |O_3O_4|$.

Аналогично, $|O_2O_3| = |O_1O_4|$ и, значит, четырехугольник $O_1O_2O_3O_4$ — параллелограмм, а так как стороны четырехугольника ABCD параллель站起来 на параллелограмма, четырехугольник ABCD — тоже параллелограмм.

Приравняв выражения для площей треугольников ABD и ABC, получим

$$\frac{1}{2} r (|AB| + |BD| + |AD|) = \frac{1}{2} r (|CD| + |AD| + |AC|),$$

откуда $|BD| = |AC|$.

Таким образом, диагонали параллелограмма ABCD равны по длине, а это и значит, что ABCD — прямогольник.

Второе решение. Как и в первом решения, мы докажем сначала, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Для этого проведем через точки B и D прямые, параллельные стороне AC (рис. 4), и отложим на них по одному сторону от прямой BD отрезки BB’ и DD’ длины $|AC|$.

Четырехугольник BB’DD’, очевидно, — параллелограмм. Легко видеть, что треугольники BCB’, B’CD’, CD’D конгруэнтны треугольником ABC, ABD и ACD соответственно, так что радиус окружностей, вписанных во все четырехугольника, на которые параллелограмм разбит отрезками CB, CB’, CD и CD’, равны.

Докажем, что точка C совпадает с точкой E пересечения диагонали параллелограмма BB’D’D'.

В самом деле, если это не так, то точка C принадлежит одному из треугольников, на которые параллелограмм разбиается своим diagonалям (на рисунке 4 это треугольник DED’). В этом случае радиус окружности, вписанной в треугольник DED’, будет больше r, а радиус окружности, вписанной в треугольник BEB’, — меньше r, что противоречит конгруэнтности треугольников DED’ и BEB'.

Таким образом, точка C совпадает с точкой E пересечения диагонали параллелограмма BB’D’D’ и следовательно, $[DC] \parallel [AB]$ и $[AD] \parallel [BC]$, то есть четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Для завершения этого решения достаточно проверить рассужждение, уже проведенные в конце первого решения.

A. Егоров

23

М571. Убывающий последовательность $(x_n)$ положительных чисел такова, что при любом натуральном $n$
$$\frac{x_1}{1} + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} + \dots + \frac{x_n}{n} < 3.$$

Мы доказем более сильное утверждение: для нашей последовательности при любом натуральном $n$
$$\frac{x_1}{1} + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} + \dots + \frac{x_n}{n} < 2.$$
Действительно, поскольку $x_i > 0$,
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{x_k}{k} \leq \sum_{k=1}^{(n+1)^2-1} \frac{x_k}{k} = \sum_{k=1}^{n} \sum_{m=k^2}^{(k+1)^2-1} \frac{x_m}{m}.$$
Поскольку последовательность $(x_n)$ – убивающая,
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{x_k}{k} \leq \sum_{k=1}^{n} x_k^2 \left( \sum_{m=k^2}^{k^2+k-1} \frac{1}{m} + \sum_{m=k^2+k}^{k^2+2k} \frac{1}{m} \right) \leq$$
$$\leq \sum_{k=1}^{n} x_k^2 \left( \frac{k}{k^2} + \frac{k+1}{k^2+k} \right) = 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k^2}{k} \leq 2,$$
что и требовалось.

Оценка 2 уже неулучшаема: мы предлагаем читателям доказать самостояльно, что для любого $c < 2$ можно найти убивающую последовательность из положительных чисел такую, что при любом натуральном $n$
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{x_k^2}{k} \leq 1 \text{ и } \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k}{k} > c.$$

3. Чантурия

24

М572. Кенгуру прыгает по уеллу $x \geq 0$, $y \geq 0$ координатной плоскости Оxy следующего obrazом: из точки $(x; y)$ кенгуру может прыгануть в точку $(x+1; y-1)$ или в точку $(x-5; y+7)$, причем прыгается. Из каких начальных точек $(x; y)$ кенгуру не может прыгать в точку, находящуюся на расстоянии большие 1000 от начала координат? Нарисуйте множество всех таких точек $(x; y)$ и найдите его площадь.

Graph

М574. Конечная последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n$ из чисел 0 и 1 должна удовлетворять следующему условию: для любого целого $k$ от 0 до $n-1$ сумма $a_1 a_{k+1} + a_2 a_{k+2} + \dots + a_n - k a_n$ является нечетным числом. а) Придумайте последовательность для $n=25$. б) Докажите, что такая последовательность существует для некоторого $n>1000$.

Еще одна формулировка задачи М574:
Найдите последовательность $e_1 < e_2 < \dots < e_i$ натуральных чисел такую, что каждое число от 1 до $e_i - e_1$ представляет в виде разности $e_j - e_i$ некоторых из этих чисел нечетным числом способов.

Ответом является «ступенчатый треугольник» $T$ (см. рис.): он содержит два граничных полуткрытых промежутка $[0; A], [0; B]$ (где $A$ и $B$ — точки с координатами (5; 0) и (0; 5) соответственно), но не содержит никаких других граничных точек (точек десяти отрезков, ограничивающих «ступенчики»). Площадь его, очевидно, равна 15.

Достаточно доказать, во-первых, что из «треугольника» $T$ кенгуру выйти не может, и, во-вторых, что из остальных точек угла $x \geq 0, y \geq 0$ может удалиться сколь годно далеко от начала координат. Первое очевидное: нахождение $T$, кенгуру может совершать только прыжки типа (1; -1), и поэтому неизбежен оказаться на оси $Ox$. Для доказательства второго утверждения заметим, что комбинация прыжков (1; -1) и одного прыжка (-5; 7) дает «прыжок» (0; 2); поэтому кенгуру, нахождение в области $M_1 = \{(x; y) | x \geq 0, y \geq 5\}$, легко убежит вертикально вверх, многократно повторяя эту комбинацию из шести прыжков. Если кенгуру нахождение в области $M_2 = \{(x; y) | x \geq 1, 5 > y \geq 4\}$, то следует четырёх прыжка (1; -1) и один прыжок (-5; 7), кенгуру попадет в области $M_1$, откуда он уже имеет убегать. Аналогично нахождение еще четырёх прыжок «области убегания» $M_3, M_4, M_5, M_6$

$$M_6 = \{(x; y) | x \geq 5 - k, k + 1 > y \geq k\}, k = 3, 2, 1, 0.$$

А. Сосинский

Первое решение. Легко придумать такую последовательность из четырех чисел: $A_1 = 1101$. Чтобы построить нужную последовательность из двацати пятей чисел, мы трижды использовать $A_1$, причем разделяем $A_1$ нулями так:
$$A_2 = 1101 000 1101 00000000 1101.$$

Такое построение можно продолжить и далее: если последовательность $A = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ удовлетворяет условиям, то и последовательность

$$B = \begin{bmatrix} A & 00...0 & A & 00...0 & A \\ n & n-1 & n & 3n-2 & n \end{bmatrix},$$

состоящая из трех наборов $A$ и двух наборов нулями, также ему удовлетворяет.

Докажем более общий факт: вместе с последовательностями $A = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ и $C = (c_1, c_2, \dots, c_m)$ удовлетворяет условиям задания и последовательности $B$ длины $(2n-1)(m-1)+n$ из $m$ «блоков»:

$$B = \begin{bmatrix} a_1 c_1, & a_2 c_1, & \dots, & a_n c_1, & 0, 0, \dots, 0, \\ a_1 c_2, & a_2 c_2, & \dots, & a_n c_2, & 0, 0, \dots, 0, \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_1 c_m-1, & a_2 c_m-1, & \dots, & a_n c_m-1, & 0, 0, \dots, 0, \\ a_1 c_m, & a_2 c_m, & \dots, & a_n c_m \end{bmatrix};$$

здеся $j$-й блок повторяет последовательность $A$, если $c_j = 1$, и нульой, если $c_j = 0$.

Пусть целое $k = (2n-1) q+r$, где $q=0; r=0, 1, \dots, n-1$ или $-n < r < n, 0 < q < m$ (q и r — целые). Тогда при сdwите последовательности $B$ на $k$ мест $j$-й блок $(a_1 c_j, a_2 c_j, \dots, a_n c_j)$ будет пересекаться только с $(j+q)-m$ блоком исходной последовательности, причем со сdwетом на $r$ единиц в индек-

26

М574 получится, если располагается последовательность из 0 и 1 на окружности и требовать, чтобы при любом k сумма попарных произведений целевов, отстоящих на k, была нечетной. Если Вам удается получить результат по этой задаче, напишите нам об этом.

Ф579. В схеме, показанной на рисунке, $R_1 = 10$ Ом, $R_2 = 20$ Ом, $R_3 = 15$ Ом, например в сети переменного тока $U = 10$ В. Определить мощность, которая выделяется на резисторх с сопротивлением $R_2$ и $R_3$.

Circuit diagram

Пользовну перiode $T$ переменного тока диод закрыт, и через резистор $R_2$ чётёт переменный ток $I = \frac{U}{R_1 + R_2}$. За время $T/2$ на резисторе $R_2$ выделяется энергия

$$W' = I^2 R_2 \frac{T}{2} = \frac{U^2 R_2 T}{2(R_1 + R_2)^2}.$$

Вторую пользовну перiode диод открыт. Общее сопротивление резисторов $R_2$ и $R_3$, соединенных параллельно, равно $R_0 = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$. Например на этих резисторах равно $U_0 = \frac{U}{R_1 + R_0} R_0$.

За эту пользовну перiode на резисторх $R_2$ и $R_3$ выделяются соответствующее энергии

$$W'' = U_0^2 R_2 \frac{T}{2} = \frac{U^2 R_0 T}{2(R_1 + R_0)^2},$$

$$W_3 = U_0^2 R_3 \frac{T}{2} = \frac{U^2 R_0 T}{2(R_1 + R_0)^2}.$$

Средние мощности, выделяются на резисторх $R_2$ и $R_3$ за полный перiod, равны соответствующим

$$N_2 = \frac{W' + W''}{T} = \frac{U^2 R_2}{2(R_1 + R_2)^2} + \frac{U^2 R_0}{2R_2(R_1 + R_0)^2},$$

$$N_3 = \frac{W_3}{T} = \frac{U^2 R_0}{2R_3(R_1 + R_0)^2}.$$

Подставив численные значения величины $U, R_1, R_2, R_3$, найдем

$$N_2 \approx 1,6 \text{ Вт}, \quad N_3 \approx 0,7 \text{ Вт}.$$

Г. Коткин

Ф586. Теллоизолированный сосуд откаан до глубокого вакуума. Окружающий сосуд одноатомный идеальный газ имеет температур $T_0$. В некоторые момент открывают краан, и просходит заполнение сосуда газом. Какую температуру $T$ будет иметь газ в сосуде сразу после заполнения?

Чтобы понять, как при заполнении сосуда газом изменяется температура, нужно рассмотреть проискоды при этом энергетические превращения. При открывании крана какая-то порция газа заталкивается в сосуд слиams давления окружающего газа. Благодаря работе этих сил вывашияется в сосуд газ прибретает кинетической энергии направленного максимического движения — он входит в сосуд стружей. При встрече со стенками сосуда и с уже попавшим в сосуд газом стружей направленное, ослабевает и в конце концов рассеивается. При этом кинетическая энергия упорядоченного движения газа в струже превращается во внутреннюю энергию, то есть энергия хаотического теплового движения его молекул.

Все это происходит hastолько быстро, что теплобменом входшего в сосуд газа с окружашим газом и стенками можно пренебреть. Поэтому для всего рассматриваемого процесса

27

первый закон термодинамики имеет вид: работа $A$ сил давления окружащего сосуда над водешим в сосуд газом равна изменению внутренней энергии $\Delta U$ вошедшего газа:
$$A = \Delta U.$$

При заполнения небольшего откачанного сосуда давление и температура в атмосфере окружащего газа остаются неизменными. Поэтому для нахождения работы $A$ представляет себе, что наш откаченный сосуд находится внутри большого цилиндра с подвижным поршнем (см. рис.). Цилиндр заполнен газом, температура которого $T_0$; давление газа в цилиндре $p_0$. Процессу заполнения сосуда соответствует перемещение поршня вправо при постоянном давлении $p_0$. Действующая слева на поршень слая совершает работу $p_0V_0$, где $V_0$ — объем, «вытесяемый» при перемещении поршня. Эта работа и будет равна интерсуцией нас работе внешних сил над загалкиваемых в сосуд газом, так как энергия не вошедшего в сосуд газа внутренняя остается неизменной. Обратим внимание на то, что объем $V_0$ не совпадает с внутренним объемом заполняемого сосуда, так как температура $T$ газа в сосуд отличается от $T_0$.

С помощью уравнения состояния идеального газа работы $A$ можно выразить через температуре $T_0$ и количество газа $v$, вошедшего в сосуд:

$$A = p_0V_0 = vRT_0.$$

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ газа, вошедшего в сосуд, равна

$$\Delta U = v \times \frac{3}{2}R(T - T_0).$$

Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение первого закона термодинамики (1), получаем

$$T = \frac{5}{3}T_0.$$

Таким образом, температура заполняющего откачанный сосуд газа оказывается выше температуры окружащего сосуд газа. Отметим, что полученный результат не зависит ни от объема сосуда, ни от давления $p_0$. Temperature газа в сосуд не зависит также и от того, будет ли заполнение сосуда произходить до конца, пока давление в нем не сравняется с давлением газа в окружающей среде, или кран будет перекрыт равше.

Е. Бутиков, А. Быков, А. Кондратев

Ф587. Проводник массы $M$ и длины $l$ подвешен к диэлектрику за концы с помощью двух одинаковых проводящих неисъемных пружин с общим коэффициентом жесткости $k$. К верхним концам пружин подсоединен конденсатор емкости $C$. Вся конструкция высит в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перендикулярной плоскости конструкции.

Проводик смещают в вертикальной плоскости из положения равновесия и отпускают. Определить дальнейшее движение проводника в вертикальной плоскости. Сопротивлением, собственной индуктивностью и емкостью проводников претенбрец.

Направим координатную ось $X$ вертикально вниз; за начало отсчета координат примем положение равновесия стержня (см. рис.ок).

Пусть $x_0$ — удлинитель каждой пружины в этом положении. Согласно П закону Ньютона

$$Mg - kx_0 = 0.$$

При смешении стержня из положения равновесия силаяжестеются неизменной, а сила упругости меняется. Следовательно, после того как стержень отпускают, он начинает движаться сускорением по направлению к положению равновесия. Так как это движение произходит в магнитном поле, в стержне возникает ЭДС индукции $\mathcal{E} = Bvl$, где $v = \dot{x}$ меняющаяся сQ, временем скорость стержня. В цепи появляется ток, и конденсатор заряжается. Поскольку сопротивление проводящих пружин равно нулю, направление на конденсатор равно $\mathcal{E}$ и заряд $q$ конденсатора равен $\mathcal{C}\mathcal{E} = CBvl$. Следовательно, ток в цепи в любой момент времени равен

$$i = \dot{q} = C\dot{\mathcal{E}} = CB\dot{v}l = CB\ddot{x}l.$$

На стержень с током в магнитном поле действует сила $F$