О диофантовом анализе

16

О диофантовом анализе

Область теории чисел, в котором исследуются целочисленные решения уравнений вида $P(x, y, ..., z) = 0$, где $P(x, y, ..., z)$ — многочлен от нескольких переменных с целыми коэффициентами, называется диофантовым анализом, а сами эти уравнения — диофантовыми. О некоторых диофантовых уравнений и способах их решения мы уже писали*).

Напомним, что решение диофантово уравнения — это значить следующие:

1. имеет ли оно хотя бы одно целочисленное решение;
2. конечно или бесконечно число его целочисленных решения;
3. найти все его целочисленные решения.

Например, для уравнения $x^3 + y^3 + z^3 = 30$ показано ни одного целочисленного решения. Однако, возможно, решение будет найдено позднее. А может быть, будет доказано, что их не существует.

А вот для уравнения $x^3 + y^3 + z^3 = 3$ известны четые решения: (1; 1; 1), (4; 4; —5), (4; —5; 4), (—5; 4; 4). Но пока остается открытым вопрос: а есть ли другие решения?

Другой пример. Доказано, что уравнение $x^3 + y^3 + z^3 = 2$ имеет бесконечное множество решений в целых числах $(x; y; z) = (1 + 6\alpha^3; 1 - 6\alpha^3; -6\alpha^2)$, где $\alpha$ — целое число. Но до

*) См. «Квант», 1971, № 3, c. 15; 1978, № 1, c. 25; № 12, c. 2.

сих пор не выясено, все ли его решение задаются этим формулами.

Мощным средством доказательства бесконечности множества целых решений диофантовых уравнений является метод параметризации. Суть этого метода состоит в представлении переменных $x, y, ..., z$ в виде функции, зависимости от целочисленных параметров $\alpha, \beta, ..., \gamma$: $x = A(\alpha, \beta, ..., \gamma), y = B(\alpha, \beta, ..., \gamma), ..., z = C(\alpha, \beta, ..., \gamma)$, где $A, B, ..., C$ — многочлены с целыми коэффициентами. Методы параметризации, порой весма искусственные, но исключительно оригинальные, требуют, как правило, большой изобретательности, а потому способствует приобретению и развитию навыков самостояльной творческой деятельности в математике.

Вернемся к уравнению $x^3 + y^3 + z^3 + z^3 = 2$ и попытаем его параметризовать. Для этого положим $x = a + b, y = a - b$, где $a$ и $b$ — целые числа; получим $2a^3 + 6ab^2 + z^3 = 2$. Пусть $a = 1$, тогда $6b^2 = -z^3$, откуда $z = 6c$ ($c$ — целое), то есть $b^2 = -36c^3$. В таком случае $c = -\alpha^2$ ($\alpha$ — целое), но тогда $b = 6\alpha^3$. Окончательное имеем $(1 + 6\alpha^3)^3 + (1 - 6\alpha^3)^3 + (-6\alpha^2)^3 = 2$.

To есть $x = A(\alpha) = 1 + 6\alpha^3, y = B(\alpha) = 1 - 6\alpha^3, z = C(\alpha) = -6\alpha^2$. Подставляя вместо $\alpha$ целые числа, получим различные решения.

Задача 1. Параметризовав уравнение $x^3 + y^3 + z^3 = 2t^3$, доказите бесконечность множества его целочисленных решений.

Matematиков, занимающих теории чисел, вот уже много лет привлекает нерешенная до сих пор задача: разрешимо ли в целых числах уравнение $x^4 + y^4 + z^4 = t^4$?

В 1914 году А. Веребрюсов предложил доказательство его неразрешимости. Однако, как выяснили позже, его доказательство этого уравнения в целых числах высказал еще Эйлер. В 1945 году было доказано, что уравнение $x^4 + y^4 + z^4 = t^4$ не имеет решений в целых числах для $|t| < 10^8$. Но, разумеется, это — еще не полное решение.

17

Попытаемся решить задачу более простую, хотя и «более сложную» с виду: докажем бесконечность множества целочисленных решений уравнения $x^4 + y^6 + z^{12} = t^4$.

Пусть $x = a - b$, $t = a + b$, где $a$ и $b$ — целые числа. Тогда $y^6 + z^{12} = 8a^3b + 8ab^3$. Положим $y^6 = 8a^3b$, $z^{12} = 8ab^3$; тогда $a = c^3$, $b = d^3$ (с и $d$ — целые числа) и $y^2 = 2c^3d$, $z^4 = 2cd^3$.

Отсюда следует, что $2cd$ — квадрат целого числа. Полягая $c = a^4$, $d = 2\beta^4$ ($\alpha, \beta$ — целые числа), получаем тоже действующее

$$\left( \alpha^{12} - 8\beta^{12} \right)^4 + \left( 2\alpha^6\beta^2 \right)^6 + \left( 2\alpha\beta^3 \right)^{12} = \left( \alpha^{12} + 8\beta^{12} \right)^4,$$

доказывающее требуемое.

Задача 2. Найдите еще одно тожество, описывающее решение уравнения $x^4 + y^6 + z^{12} = t^4$.

А вот для доказательства неразрешимости неокоторого диофантова уравнения очень полезно было заметить рассмотреть это уравнение «по неокоторому modulo»*). Поясним, что мы имеем в виду.

Два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по modulo $k$, если разность $a - b$ делится на $k$. Легко видеть, что два числа $a$ и $b$ сравнимы по modulo $k$ тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые остатки при делении на $k$. То, что $a$ и $b$ сравнимы по modulo $k$, записывают так:

$$a \equiv b \pmod{k}.$$

Пусть нам надо решить диофантово уравнение

$$x^3 + 117y^3 = 5.$$

Рассмотрим это уравнение «по modulo 9», то есть с точностью до слагаемых, кратных девяты. Нетрудно показать, что любое число в кубе или делится на 9, или дает при делении на 9 в остатке 1 или 8, то есть $x^3 \equiv 0 \pmod{9}$ или $x^3 \equiv 8 \pmod{9}$.

Поскольку 117 делится на 9, $117y^3 \equiv 0 \pmod{9}$. Таким образом,

$$x^3 + 117y^3 \equiv 0 \pmod{9}.$$

или

$$x^3 + 117y^3 \equiv 1 \pmod{9}.$$

или

$$x^3 + 117y^3 \equiv 8 \pmod{9}.$$

Поэтому уравнение $x^3 + 117y^3 = 5$ не имеет целочисленных решений.

Задача 3. Докажите, что уравнения a) $x^3 + y^3 = 9t \pm 4$; b) $x^3 + y^3 = 9t \pm 3$; b) $x^3 + y^3 + z^3 = 9t \pm 4$ не имеет целочисленных решений.

Треугольные и квадратные числа*) связаны соответственно с правильным треугольником и квадратом (см. рисунки 1, 2).

Обозначим $n$-е треугольное число через $T_n$, $n$-е квадратное число через $K_n$.

Задача 4. Докажите следующие формулы: $T_n = \frac{1}{2}n(n+1)$; $K_n = n^2$.

Задача найти все треугольные числа, являющиеся квадратными, связаться к решению уравнения $T_n = K_n$, то есть уравнение $n(n+1) = 2m^2$.

Решить это уравнение нам по может уравнение $x^2 - 2y^2 = 1$. Оно имеет бесконечное множество решений (в натуральных числах), задаваемых рекуррентно: $x_{k+1} = 3x_k + 4y_k$ и $y_{k+1} = 2x_k + 3y_k$, $x_1 = 3$, $y_1 = 2$ (докажите это самостояльно или посмотрите доказательство в «Кванте», 1978, № 1, с. 26).

(Окончание см. на c. 35)

*) См. статьи М. Башмакова («Кванте», 1971, № 3) и А. Геронимуса («Кванте», 1978, № 12).

2 «Кванте» № 6