Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

45

4. В параллелограмме $ABCD$ известны координаты вершин $A$ (3; 1; 2), $B$ (0; —1; —1), $C$ (—1; —1; 0). Найти длину диагонали $BD$.

5. В правильной четырехугольной парамиде $SABCD$ длина стороны основания равна $a$, длина высоты равна $h$, $M$ — точка пересечения медиан грани $BSC$. Найти угол наклона прямой $AM$ к плоскости основания парамиды.

6. Наозем матрицей таблицу вида $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$, где $a, b, c, d$ — действительные числа. Если $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} l & m \\ n & p \end{pmatrix}$, то $A = B$ означает, что $a = l$, $b = m$, $c = n$, $d = p$. Произведением $A \cdot B$ матрицей $A$ и $B$ назовем матрицу
   $$\begin{pmatrix} a+bn & am+bp \\ cl+dn & cm+dp \end{pmatrix}.$$
   a) Найти произведение матрицы $(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix})$ и $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})$.

6. “Иайти матрицу $X$ такую, что $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) \times X = (\begin{matrix} 4 & 7 \\ 7 & 11 \end{matrix})$.

Вариант 2
(физическая факультет)

1. Прибретено некоторое число билетов в театр и некоторое число билетов в кино. За билеты в театр запалатили 24 руб., за билеты в кино — 14 руб. Каждый билет в кино на 1 руб. делевле, чем билет в театр. Сколько куплено билетов в театр, если их на 2 меньше, чем билетов в кино?

2. Построить график функции
   $$y = \frac{x^4}{4} - 2x^2.$$

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x$, $y = -x^2 + 4x$.

4. Сторона основания правильной четырехугольной парамиды равна $a$. Поскольку угол при вершине равен $a$, Найти объем парамиды и площадь ее боковой поверхности.

5. Решить уравнение
   $$\sin x = 1 + \cos x.$$

Физика

Задачи устного экзамена
(физический факультет)

1. В последнюю секунду своего свободного падения тело прошло половину всего пути. С какой высоты и сколько времени падало тело?

2. Человек находится на краю круглой горизонтальной платформы радиусом $R = 4$ м, которая врашает вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. С какой угловой скоростью должна враться платформа, чтобы человек не смог удержаться на ней? Козффициент треня $\mu = 0,2$.

3. Поезд массой $m = 1000$ т при торможении с укреплением $|\vec{a}| = 0,2$ м/$c^2$ остановился $t = 100$ с. Какое количество теллоты выделилось при торможении?

4. В теплозилированном состоянии смесь воды массой $m_1 = 200$ г и льда массой $m_2 = 40$ г при температуре $t_1 = t_2 = 0^\circ C$. В сосуд вводится воданой пар массой $m_3 = 10$ г при температуре $t_3 = 100^\circ C$. Определить температуру после установки теплого равновесия. Удельная температура воды $r = 2,3 \cdot 10^6$ Дж/кг, удельная температура льда $\lambda = 3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг, удельная температура воды $c = 4200$ Дж/(кг·К).

5. При выстреле вертикального вверх свинцовая пуля ударилась о неупругое тело и расплавилась. На какой высоте произойдет это столкновение, если начальная скорость пуля $|\vec{v}_0| = 400$ м/с? Считать, что 50% выделившегося количество теплоты пошло на плавление. Удельная температура свинца $\lambda = 2,5 \cdot 10^4$ Дж/кг.

6. До какой температуры следует избарчески нагреть газ, чтобы его плотность уменьшилась вдвое по сравнению с плотностью при начальной температуре $t_0 = 0^\circ C$?

7. Два точных заряда $q_1 = 6,6 \cdot 10^{-9}$ Кл и $q_2 = 1,32 \cdot 10^{-8}$ Кл находятся на расстоянии $r = 40$ см друг от друга. Какую надо совершить работу, чтобы слизить их до расстояния $r_1 = 25$ см?

8. Некоторые цепь, имеющая сопротивление $R = 200$ Ом, питания от источника постоянного напряжения. Для изменения силы тока в цель включили амperметр с внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом. Какова была сила тока в цели до включения амperметра, если амperметр показал ток $I = 5$ А?

9. В себе направлением $U = 220$ В включены три одинаковых лампочки: две параллельно, а третья последовательно. Начертить схему и определить напряжение на каждой из ламп. В какой из них выделяется наиболее мощная мощность?

10. Какой силы ток течет в цепи электрического кипятления, если $V = 10$ л воды нагревается от $t_1 = 20^\circ C$ до $t_2 = 100^\circ C$ в течение $t = 30$ мин? КПД кипятления $\eta = 75\%$, напряжение в сети $U = 220$ В. Удельная теплоемкость воды $c = 4200$ Дж/(кг·К).

А. Березман, К. Дунциев, О. Овчинников

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена Математика

Писменный экзамен
(mатематический факультет)
Вариант 1

1. Найти значение выражения
   $$\left( \frac{(x^2 + a^2)^{-1/2} + (x^2 - a^2)^{-1/2}}{(x^2 - a^2)^{-1/2}} \right)^{-2}$$

46

при $x = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} \right)^{1/2}, a > 0, m > 0, n > 0, m > n$.

2. Решить уравнение
   $$\log_6 \sqrt{x-2} + \frac{1}{2} \log_6 (x-11) = 1.$$

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
   $$y = 2^x; y = 2; x = -1.$$

4. Найти экстремумы функций
   $$y = x + \sin 2x.$$

5. Основанием параметры служит равновесный треугольник с углом $\alpha$ при вершине, все боковые грани параметры наклоны к основанию под углом $\phi$. Объем шара, вписанного в параметру, равен $V$. Найти объем параметры.

Вариант 2

1. Упростить
   $$\cos 0 + \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}.$$

2. Решить систему
   $$\begin{cases} 2(\log_y x + \log_x y) = 5, \\ xy = 8. \end{cases}$$

3. Решить уравнение
   $$2^{2x-3} = 4^{x^2-3x-1}$$

4. Написать уравнение горизонтальной касательной к графику функций $y = e^x + e^{-x}$.

5. Основание прямого параллелепипеда — ромб, у которого меньше диагональ равна $d$ и острый угол равен $\alpha$. Площадь боковой поверхности равна $S$. Найти объем параллелепипеда.

Физика
Задание устного экзамена
(физический факультет)

1. Расстояние между двумя станциями, равное $s = 18$ км, поезд проходит со средней скоростью $v_{cp} = 54$ km/ч, причем на разгон он траит $t_1 = 2$ мин, затем идет с постоянной скоростью и на замедление до полной остановки траит $t_2 = 1$ мин. Определить наибольшую скорость движения поезда.

2. Волны распростраются вдоль резинового шнура со скоростью $v = 3$ м/с при частоте $v = 2$ Гц. Какова разность между точками, отстоящими друг от друга на $l = 75$ см?

3. Определите, для каждой массы водорада при температуре $t = 0^\circ C$ начерчен график, изобравенный на рисунке.

4. Над поверхностью $S = 5$ km² слой воздуха толщиной $h = 1000$ м имеет температуру $t_1 = 20^\circ C$ при относительной влажности $r = 73\%$. Воздух охладился до $t_2 = 10^\circ C$. Найти массу выпавшего дждая. Плотность насыщенного водяного пара при температуре $t_1$ и $t_2$ равна $q_{h1} = 17,3$ г/м³ и $q_{h2} = 9,4$ г/м³ соответственно.

5. Пылинка массой $m = 10^{-8}$ г находится в однородном электрическом поле между пластинками с разностью потенциальов $U = 6000$ В. Расстояние между пластинками $d = 5$ см. Каким загрязном обладает пылинка, если силаяжет, действующая на нее, уравновешивается электрической силой?

6. Батарея из $n = 50$ последовательно соединенных элементов с ЭДС $\delta = 1,4$ В и внутренним сопротивлением $r = 0,4$ Ом у каждой элемента питания телефонфилья аппарат с сопротивлением $R = 90$ Ом. Ток подводится по железному проводу сечением $S = 3$ mm² и длиной $l = 20$ км. Найти силу тока в цепи и направление наажимах аппарата. Удельное сопротивление железа $\rho = 0,98 \cdot 10^{-7}$ Ом·м.

7. Лифт массой $m = 1,2$ т поднимается на $h = 15$ м за $t = 0,5$ мин. Наряжение на зажимах мотора $U = 220$ В, его КПД $\eta = 90\%$. Найти силу тока в моторе:

8. Деталь машины надо покрыть слоем меди толщиной $d = 0,5$ мм. Сколько времени потребуется для этого, если электризм производится током, плотность которого $j = 1,5$ А/дм²? Электроимпенческий эквивалент меди $k = 0,33$ мг/Kл; плотность меди $\rho = 8,9$ г/cm³.

9. Дуга Петрова питается переменным током ($\delta_{\max} = 110$ В, $T = 0,02$ с). Сопротивление горячего дуги $R = 1,5$ Ом. Какой индикативностью должна обладает катушка, включая в цепь последовательно с дугой, если $I_{\max} = 30$ А?

10. Оптическая сила собственной линия $D = 5$ дитр. Светящаяся точка находится на расстоянии $d = 30$ см от линзы на ее оптической оси. Где и каким будет изобравнение этой точки? Построить изобравнение.

М. Калинина, О. Онорренко