Электромагнитная индукция

36

Л. Асламазов

Электromagнитная индукция

ЭДС индукции в движущихся проводниках

При движении проводника в магнитном поле в нем возникает электродвижущая сила индукции

$$\mathcal{E}_i = |\vec{B}|l|\vec{v}| \sin \alpha,$$

(1)

где $\vec{B}$ — индукция магнитного поля, $l$ — длина проводника, $\vec{v}$ — его скорость, $\alpha$ — угол между направлением движения проводника и магнитного поля*). В случае разомкнутого проводника на его концах появляется разность потенциальов, равная ЭДС индукции. При замыкнии проводника на внешнюю цепь возникнет индукционный ток.

Задание 1. Металлический стержень скольцит с постоянной скоростью $\vec{v}$ по проводящим рельсам в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, перпендикулярной плоскости рельсов (рис. 1). Концы рельсов замкнуты на проводник сопротивлением $R$ и конденсатор емкости $C$. Считая сопротивление рельсов и стержня пренебрежимо малим, найти ток в проводнике и заряд на конденсатор. Расстояние между рельсами $l$.

Так как движущая стержень, проводник и конденсатор соединены параллельно, величана ЭДС индукция

$$\mathcal{E}_i = |\vec{B}| \Delta r |\vec{v}_r| = |\vec{B}| \Delta r \omega r.$$

Полная ЭДС индукции, наводимая в стержне,

$$\mathcal{E}_i = \int_0^l |\vec{B}| \omega r \, dr = \frac{|\vec{B}| \omega l^2}{2}.$$

Так как сопротивление колба можно не учитывать, электрическая

37

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

схема рассматриваемой задачи сво-дится к двум источникам с электродвижущими силами $\mathcal{E}_1 = |\vec{B}| \omega_1 l^2/2$ и $\mathcal{E}_2 = |\vec{B}| \omega_2 l^2/2$ и одинаковыми внутренними сопротивлениями $R$. Источники соединены параллельно в случае вращения стержней в одну сторону (рис. 4, а) и последовательно — при вращении в разные стороны (рис. 4, б). Следовательно, в первом случае ток в стержнях равен

$$I_a = \frac{\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2}{2R} = \frac{|\vec{B}| l^2}{4R} (\omega_1 - \omega_2),$$

а во втором —

$$I_6 = \frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{2R} = \frac{|\vec{B}| l^2}{4R} (\omega_1 + \omega_2).$$

Разности потенциальов на концах обихх стержней одинаковы. Для первого стержня, например, разность потенциальов на его концах равна разности ЭДС индукции и падания напряжения на сопротивлении $R$:

$$U_a = \mathcal{E}_1 - I_a R = |\vec{B}| l^2 (\omega_1 + \omega_2)/4,$$

$$U_6 = \mathcal{E}_1 - I_6 R = |\vec{B}| l^2 (\omega_1 - \omega_2)/4.$$

Заметим, что при вращении стержней с одинаковыми угловыми скоростями в одну сторону ток в стержнях равен нулю (как при параллельном соединении одинаковых источников), а при вращении в разные стороны равна нулю разность потенциаль на концах стержней (как при последовательном соединении одинаковых источников).

Изменение магнитного потока и ЭДС индукции

ЭДС индукции возникает не только при движении проводника в магнитном поле, но и при изменении величины магнитного потока через поверхность, ограниченную проводящим контуром. В таком случае, согласно закону Фарадя, в контуре наводится ЭДС индукции

$$\mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt}.$$

Здесь $\Phi = |\vec{B}| S \cos \alpha$ — магнитный поток ($\vec{B}$ — индукция магнитного поля, $S$ — площадь поверхности, охватываемой контуром, $\alpha$ — угол между индукцией и нормалью к поверхности), $\frac{d\Phi}{dt}$ — скорость изменения магнитного потока. Зак «минус» указывает, что возникающий в контуре индукционный ток превращает изменению магнитного потока.

Физические причины возникновения ЭДС индукции при движении проводника и при изменении магнитного потока различны. Однако формулой (2) можно пользоваться и для нахождения ЭДС, возникшей в контуре вследствие движения проводника в магнитном поле. (В этом можно убедиться, например, вернутьсь к задаче 1. Сделайте это самостояльно.)

Задача 3. Проволочная катушка нахождения в магнитном поле, параллельном оси катушки. При включении магнитного поля за время $\Delta t_1$ в катушка возникает ЭДС индук-

38

циц $\mathcal{E}_1$. Какая ЭДС индукции наведется в катушке при повороте ее оси на угол $\alpha$ за время $\Delta t_2$?

При выключении магнитного поля изменение магнитного потока через каждый виток катушки, взятое с обратным знаком, равно

$$-\Delta \Phi_1 = |\vec{B}| S,$$

где $|\vec{B}|$ — абсолотная величина начальной индукции магнитного поля, а $S$ — площадь поперечного сечения катушки (конечное значение индукции равно нулю). В соответствии с законом Фарадея (2) в катушке возникнет ЭДС индукции

$$\mathcal{E}_1 = n \frac{|\vec{B}| S}{\Delta t_1},$$

где $n$ — число витков в катушке. Отсюда

$$n |\vec{B}| S = \mathcal{E}_1 \Delta t_1.$$

При повороте катушки магнитный поток меняется вследствие изменения угла между нормалью к плоскостям витков, направленной по оси катушки, и вектором индукции магнитного поля (рис. 5). Начальный поток $\Phi_{\text{нач}} = |\vec{B}| S$, а после поворота на угол $\alpha$ $\Phi_{\text{кон}} = |\vec{B}| S \cos \alpha$. Поэтому

$$-\Delta \Phi_2 = |\vec{B}| S (1 - \cos \alpha)$$

и возникающая в катушке ЭДС индукции равна

$$\mathcal{E}_2 = n |\vec{B}| S (1 - \cos \alpha).$$

Подставляя в последнюю формулу значение величины $n |\vec{B}| S$, получаем

$$\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_1 \frac{\Delta t_1}{\Delta t_2} (1 - \cos \alpha).$$

Задача 4. Плоская проводочная рамка находится в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, перпендикулярной ее плоскости. Рамка представляет собой квадрат со стороны $a$. Затем ее: а) избыют в прямуюольник с отношением сторон 1:2; б) вытеляют в одну линию; в) избыют в два квадрата с отношением площадей 1:4 (рис. 6). Найти загрудь, протекающие по рамке при каждом изменении ее формы. Сопротивление рамки $R$.

39

и по раме протекает заряд
$$Q_a = \frac{|\vec{B}| |\Delta S_a|}{R} = \frac{|\vec{B}| a^2}{9 R}.$$

В случае б) конечная площадь равна нулю, поэтому
$$\Delta S_6 = -a^2$$

и
$$Q_6 = \frac{|\vec{B}| |\Delta S_6|}{R} = \frac{|\vec{B}| a^2}{R}.$$

В случае в) рамы перегибают так, что направление нормали у одного из квадратов оказывается противоположным начальному направлению. Следовательно, полный поток магнитной индукции в этом случае равен разности магнитных потоков через отдельные квадраты:
$$\Phi_{\text{КОН}} = |\vec{B}| (S_1 - S_2),$$
где $S_1 = (2/3a)^2 = 4/9a^2$ и $S_2 = S_1/4 = a^2/9$ — площади большого и меньшего квадратов. Тогда
$$\Delta S_B = \left( \frac{4}{9} a^2 - \frac{a^2}{9} \right) - a^2 = -\frac{2}{3} a^2$$

и по раме протекает заряд
$$Q_B = \frac{|\vec{B}| |\Delta S_B|}{R} = \frac{2 |\vec{B}| a^2}{3 R}.$$

Вихревое электрическое поле и его работа

Причиной появления индукционного тока в контуре, помещенном в переменное магнитное поле, является вихревое электрическое поле, которое возникает в пространстве при изменении магнитного поля. Это поле и приводит в движение электроны в проводящем контуре. В отличие от электростатического поля работы при перемещении заряда по замкнутому контуру здесь не равна нулю: она равна $\beta_i$, умноженной на величины перемещаемого заряда.

Задание 5. В камере ускорителя по окружности постоянного радиуса $R$ движется тонкий пучок из электронов, равномерно распределенных по орбите. Магнитный поток через плоскость охватываемого пучком, линейно растет со временем: $\Phi = \alpha t$. В некоторых момент времени величина тока в камере ускоряется равна $I_0$. Каким станет ток $I$ после того, как частцы сделают один оборот?

Величина тока $I$ в камере определяется зарядом, проходящим через поперечное сечение за единицу времени. Если линейная скорость электронов $v$, то за время $t = 2\pi R/v$ через выделенное сечение проходят все $n$ электронов. Поэтому ток
$$I = \frac{ne}{t} = \frac{nev}{2\pi R}.$$

Начальное значение тока позволяет найти начальное скорость электронов:
$$v_0 = \frac{2\pi R I_0}{ne}.$$

Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, которое иускоряет электроны. За время одного оборота электрона электрическое поле совершает работу
$$A = e |\beta_i| = e \left| \frac{d\Phi}{dt} \right| = e\alpha.$$
Эта работа идет на изменение кинетической энергии электрона:
$$\frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = e\alpha.$$
Отсюда находим конечную скорость электронов:
$$v = \sqrt{\frac{2e\alpha}{m} + v_0^2} = \sqrt{\frac{2e\alpha}{m} + \frac{4\pi^2 R^2 I_0^2}{n^2 e^2}}$$

ЭДС самонидукини

Изменение магнитного потока через плоскость, охватываемого контуром, может произойти вследствие изменения тока в самом контуре. В таком случае в контуре также охватывает электродвижущая сила, которая называют ЭДС самонидукини, а само явление называют самонидукией. Связь магнитного потока $\Phi$ с величиной тока $I$ определяется формулой
$$\Phi = LI,$$
где $L$ — индуктивность контура. Тогда

40

да, в соответствии с законом Фарадея (2), ЭДС самоиндукции равна

$$\mathcal{E}_{is} = -L \frac{dI}{dt}.$$

Задача 6. Стержень скользит с постоянной скоростью $\vec{v}$ по рельсам, находящимся в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, перепедикулярной плоскости рельсов (рис. 7). Концы рельсов замкнуты на соленод с индуктивностью $L$. Какой ток течет через соленод? Сопротивление соленода, рельсов и стержня пренебрежимо мало. Расстояние между рельсами $l$.

Поскольку на соленоде, рельсах и стержне padения напряжения нет, сумма ЭДС индукции, наводимой в движущемся стержне, и ЭДС самоиндукции, возникающей в соленоде вследствие изменения тока в нем, равна нулю:

$$\mathcal{E}_i + \mathcal{E}_{is} = 0.$$

Здесь $\mathcal{E}_i = |\vec{B}|l|\vec{v}|$ и $\mathcal{E}_{is} = -L \frac{dI}{dt}$.

Так как ЭДС индукции не зависит от времени (стержень движется равномерно), должна быть постоянной и ЭДС самоиндукции. Следовательно, скорость изменения тока в соленоде постоянна и равна

$$\frac{dI}{dt} = \frac{|\vec{B}|l|\vec{v}|}{L},$$

а ток в соленоде меняется со временем по линейному закону

$$I = \frac{|\vec{B}|l|\vec{v}|}{L} t.$$

Задача 7. Соленод с индуктивностью $L$ подсоединяется через ключи $K$ к источнику с постоянной ЭДС ($\text{рис. 8}$). Какую мощность потребляет соленод от источника при частоте переключиния ключа $v$?

Сопротивлением соленода, источника и подводящих проводов пренебрежить. Считать, что ключ отключают на очень короткое время.

При замыкании ключа в соленоде возникает ток, который линейно растет со временем: $I = \mathcal{E}_t/t/L$ (см. решение предыдущего задачи). За время $T = 1/v$ ток увеличивается до $I_{\max} = \mathcal{E}_T/L$. При размыкании ключа ток уменьшается до нуля за очень короткое время (много меньше $T$). График зависимости тока от времени имеет вид, показанный на рисунке 9.

При увеличении тока $I$ за время $\Delta t$ по цепи проходит заряд $\Delta Q = I \Delta t$, а за период $T$ переместится заряд

$$Q = \int_0^T I dt = \int_0^T \frac{\mathcal{E}_t}{L} dt = \frac{\mathcal{E}_T^2}{2L} = \frac{\mathcal{E}_2}{2Lv^2}$$

(этот заряд численно равен плошади фигурры, защищрованной на рисунке 9). При этом источник совершает работу

$$A = Q \mathcal{E} = \frac{\mathcal{E}_2}{2Lv^2}.$$

Следовательно, потребляемая мощность

41

ноctь равна
$$P = \frac{A}{T} = Av = \frac{\varepsilon^2}{2Lv}.$$
Упражнения

1. Металлический стержень движется с постоянной скоростью $\vec{v}$ по рельсам, концы которых замкнуты на проводники сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ (рис. 10). Рельсы находятся в магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярной плоскости рельсов. Расстояние между рельсами $l$. Какой ток течение стержень, если его сопротивление и сопротивление рельсов пребрежимо малы? Какую мощность необходимо развивать, чтобы перемещать стержень с постоянной скоростью?
2. Как изменится ток в металлической рамке, врашающейся в постоянном магнитном поле с индукцией, направленной перпендикулярно оси вращения, при увеличении частоты вращения вдвое?
3. Проволочный квадрат со стороны $a$ ввигает со скоростью $\vec{v}$ в поле постоянного магнитта с индукцией $B$, перпендикулярной плоскости квадрата (рис. 11). Какой ток течение по проводке, если сопротивление квадрата $R$? По какому закону будет меняться ток со временем, если ввигать квадрат с постояннымускорением? Индуктивность проводного квадрата пребрежчь.
4. Кольцо из сверхпроводника, по которой течет ток, изгибается в виде восьмерки, а затем перегибается вдвое. Как изменится при этом ток в колце?
5. В коротkozамкнутую катушку ввигают постоянный магнит: один раз быстро, а другой — медленно. Одинаковый ли заряд прочитет по катушке в обонх случая? Будут ли одинаковы количество теплоты, выделяющейся в катушке?
6. Покажите, что индуктивность однослойной катушки пропорционально времени. Каков характер зависимости тока от времени в другой катушке, индуктивную связанной с первой и замкнутой на постоянное сопротивление?
7. С какой минимальной частотой можно переключать ключ в задаче 7 в статье, если известно, что соленoid выдерживает максимальный ток $I_0$?

(Начало см. на с. 28)

82; Б. Гольдфарб (Москва) 74; В. Горбунов (Коммунарск) 79, 80, 82—84, 86, 87; С. Городько (Днепропетровск) 74, 76, 78, 79; А. Гризореко (Макеева Донецкой обл.) 79, 80, 82—84, 87; И. Грузбере (Пермь) 74, 76, 78—80, 84; И. Губин (Ереван) 75, 76, 80, 82; А. Гуллев (Москва) 78, 80, 82, 84; М. Гундилович (Городея) 82; Л. Гуральник (Житомир) 76, 82; А. Давоян (Ленинakan) 78, 82; М. Данилин (Новоаннинский) 75, 76, 78; И. Даниловский (Горький) 78—80, 82, 84; В. Дворцовой (Липецк) 84; И. Деребас (Магнитогорск) 74; С. Довбыш (Москва) 74, 76; А. Долинин (Владимир) 76; А. Дремин (п. Черноголовка Московской обл.) 78, 80, 82; Ю. Елисеев (Великие Луки) 80, 82; И. Елишевич (Чернигов) 75, 76, 79, 80, 82; Е. Желцовская (Москва) 74—76, 83, 84, 87; И. Житенев (п. Черноголовка Московской обл.) 74, 76, 78—80, 82—84; В. Жордичкин (Орск) 80, 82, 84; А. Заневский (Ленин-град) 78—80, 82; А. Захарьян (Чернигов) 75, 76; М. Зейфман (Вологда) 74, 76, 78—80, 82—84; И. Зильбербере (Алма-Ата) 80, 82—84; С. Зиневский (с. Хорошее Очериговской обл.) 84; А. Золотых (Курск) 82; В. Зубко (Ивано-Франковск) 79, 80, 82; И. Иванов (Саратов) 75, 76, 78—80, 82—84, 87; В. Ивахененко (Киев) 83; В. Изеренин (Новосибирск) 78, 84; В. Израилит (Днепропетровск) 75, 80, 82, 84; А. Изралиц (Тбилиси) 75; О. Исупова (Оренбург) 76; А. Канель (Москва) 74—76; В. Катин (Житомир) 75, 76, 78, 79, 82—84, 86, 87; Э. Кафаров (Баку) 80; А. Клинк (Ковров) 76, 82; Е. Козан (Днепропетровск) 75, 76, 78—80, 82—84, 86; А. Кожевников (Днепропетровск) 76, 78—80, 82; Г. Кожоридзе (Тельви) 82—84, 86; В. Козловский (Новолукомль) 75, 76, 78—80, 82, 84, 86, 87; А. Колдоркин (Куйбыев) 74—76; Г. Коломоцез (Сумгант) 74—76, 78—80, 82—84, 87; В. Комов (Алексаандров) 74—76, 78—80, 82—84, 87; В. Коньшин (Ростов-на-Дону) 84; В. Коробов (Кировоград) 74, 76, 80, 83, 84; Г. Коротков

(Окончание см. на с. 56)