Площадь сегмента параболы Нейля

14

И. Быстрый

Площадь сегмента параболы Нейля

В 1657 году двадцатилетний студент Оксфордского университета Уильям Нейль (1637—1670) нашел длину дуги «полукубический параболы» $y = a^3\sqrt{x^2}$. Это открытие позволяет современников, и в память о рано умершем талантливом математике полукубическая парабола называется параболой Нейля.

В нашей время параболу Нейля можно встретить не только вузовском курсе анализа, но и в школьном учебнике*). А недавно на лекции для абитриентов я получил такую запись:

Как найти площадь фигуры, орангиенной кривой $y = 3\sqrt{x^2}$ и касательной к ней в точке $x = -8$?

Вот что я тогда ответил.

Эта задача, несмотря на каждуюся простоту, связана с определением трудностей.

Первая трудность возникла при нахождения касательной к параболе Нейля

$$f_1(x) = 3\sqrt{x^2}$$

в точке $x = -8$. Как известно, уравнение касательной определяется по формуле

$$y - f_1(-8) = f'_1(-8)(x + 8).$$

Здесь

$$f_1(-8) = 12,$$

*) «Алгебра и начала анализа 9», задачи 438, 4746, «Алгебра и начала анализа 10», задача 393a.

$$f'_1(-8) = 3\left(\frac{2}{3}\right)' \mid_{x = -8} = -3 \cdot \frac{2}{3}x^{-1} \mid_{x = -8} = 2 \cdot (-8)^{-1/3}.$$

Значит, производная не существует (поскольку выражение $(-8)^{-1/3}$ не имеет смысла), следовательно, не существует и касательной к кривой (1).

Между тем, из чертежа ясно, что выбор неверен: пряма $(AB)$ — касательная! В чем дело? Как же найти угловой коэффициент касательной? Дело в том, что формула

$$(\sqrt[n]{x^m})' = \left(x^{\frac{m}{n}}\right)' = \frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1},$$

верная при $x \geq 0$, здесь неприменима. Для вычисления производной (при $x < 0$) следует пользоваться формулой

$$(\sqrt[n]{x^m})' = \frac{m}{n}\frac{\sqrt[n]{x^m}}{x},$$

$x \neq 0, n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{Z},$

(kоторая, разумеется, применена и для положительных $x$). В соответствии с ней имеем

$$f'_1(-8) = (3\sqrt{x^2})' \mid_{x = -8} = -3 \cdot \frac{2}{3}\frac{\sqrt[n]{(-8)^2}}{(-8)} = -1.$$

Подставив $f_1(-8) = 12$ и $f'_1(-8) = -1$ в равенство (2), получим искомое уравнение касательной:

$$y = 4 - x.$$

Уражнение 1. Найди точки пересечения линий $f_1(x) = 3\sqrt{x^2}$ и $f_2(x) = 4 - x$.

Теперь, когда известна абсцисса точки $B$, легко найти площадь кривой линейного треугольника AOB. Как