Bài toán M626—M630; F638—F642

18

Bài toán

M626—M630; F638—F642

M626. Mỗi cạnh của một tứ giác lồi được chia thành 8 phần bằng nhau. Các điểm phân chia phù hợp ở các cạnh đối diện được kết nối với nhau và các ô kết quả được tô màu theo mẫu bàn cờ. Chứng minh rằng tổng diện tích các ô bằng tổng diện tích các ô trắng.

V. Proizvolov

M627. Mỗi ô của một tờ giấy ca rô vô hạn chứa một số tự nhiên.
a) Cho mỗi số đó xuất hiện đúng một lần. (Cho ví dụ về cách sắp xếp số như vậy!)
Chứng minh rằng với bất kỳ m nào cũng có hai ô lân cận (có chung một cạnh) có hiệu số ít nhất là m.
6) * Giả sử mỗi số n ∈ N xuất hiện đúng n lần (nghĩa là 1 - một lần, 2 - hai lần, v.v.).
Hãy chỉ ra số k lớn nhất sao cho chắc chắn có hai ô lân cận mà hiệu số k không nhỏ hơn k. (Cho một ví dụ về sự sắp xếp trong đó sự khác biệt về số lượng trong bất kỳ cặp ô lân cận nào không quá k+1.)

A. Tolyvo

M628. Một tam giác được dựng trên một hình cầu, một “cạnh” của nó có kích thước 120°. Chứng minh rằng “trung tuyến” giảm về “cạnh” này được chia cho hai “trung tuyến” còn lại thành hai phần bằng nhau. (“Trung vị” và “cạnh” là những vòng tròn lớn khác.)

A. Yaguyants

M629. a) Chứng minh rằng số 2^{2n-1}-9n^2+21n—14 chia hết cho 27 với mọi số tự nhiên n.
b) Chứng minh rằng nếu các số a+b và a^2+b chia hết cho m thì a^n+b cũng chia hết cho m với mọi n (a, b và m là một số số tự nhiên).

T. Malikov