Không gian di chuyển

2

A. Sosinsky

Không gian di chuyển

Trong bài viết này tôi muốn cho bạn biết chuyển động của không gian là như thế nào. Đầu tiên người ta viết: sự dịch chuyển của không gian là ánh xạ $f$ của không gian lên chính nó, bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Điều này có nghĩa là với mọi điểm $A, B$

$$|AB| = |A'B'|,$$

(1)

ở đâu $A' = f(A), B' = f(B)$.

Tất nhiên, bạn biết các ví dụ - đây là các đối xứng (trung tâm, osvaya, so với mặt phẳng) và dịch song song $\vec{a}$; thật dễ dàng để nói rằng phong trào cũng sẽ

cổng $R_l^\phi$ xung quanh đường thẳng $l$ ở một góc φ cho trước (Hình 1). bài toán của chúng tôi là liệt kê tất cả các chuyển vị của không gian, giống như đã được thực hiện đối với mặt phẳng trong bài viết của V. Boltyansky “Sự dịch chuyển của mặt phẳng” («Kvant», 1980, số 3).

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra rằng chuyển vị làm biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng, đường tròn thành đường tròn đồng tâm, góc thành góc đồng tâm, v.v.

Phong trào và định hướng

Trên mặt phẳng, hướng được xác định bằng cách chỉ định một trong hai hướng quay có thể có - “theo chiều kim đồng hồ” hoặc “ngược chiều kim đồng hồ”. Rõ ràng hướng “ngược chiều kim đồng hồ” được gọi là dương, “theo chiều kim đồng hồ” được gọi là âm.

Ngoài ra còn có hai hướng trong không gian: một hướng được đặt bởi gimlet bên trái (chẳng hạn như một cái mở nút chai thông thường), hướng kia được đặt bởi hướng bên trái (Hình 2).

Các nhà toán học không thực sự thích nói về gimlet - họ thích xác định hướng của không gian bằng cách chỉ ra bộ ba vectơ không phẳng $(\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})$.

Hình 1.

3

Thực tế là tất cả các bộ ba như vậy được chia một cách tự nhiên thành hai lớp - thành các bộ ba trong đó thời gian ngắn nhất từ ​​vectơ thứ nhất đến vectơ thứ hai đối với vectơ được quan sát, nằm ở cuối vectơ thứ ba, là dương (xem Hình 3; hãy gọi các bộ ba như vậy là dương) và thành các bộ ba trong đó nó âm (bộ ba âm).

Hãy tự kiểm tra: bạn có định làm điều đó không?
a) các bộ ba ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) và ($\vec{c}; \vec{a}; \vec{b}$) có cùng dấu không?
b) bộ ba ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) và ($\vec{a}; \vec{c}; \vec{b}$) có dấu khác nhau không?
b) bộ ba ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) và ($\vec{a}; \vec{b}; -\vec{c}$) có dấu khác nhau không?

Các nhà vật lý thích dùng tay hơn bộ ba vectơ: tay phải đặt hướng dương, tay trái - hướng âm (Hình 4); hãy nhớ quy tắc bàn tay trái trong thuyết điện tử.

Vì vậy, việc xác định bộ ba vectơ không phẳng sẽ xác định một trong hai hướng có thể có của không gian.

Nếu phép dịch $f$ biến đổi một bộ ba vectơ đã chọn thành bộ ba cùng dấu (có thể chứng minh rằng khi đó nó bảo toàn dấu của một trong hai bộ ba!), thì chúng ta sẽ nói rằng nó bảo toàn hướng; nếu không chúng ta sẽ tự nhiên

Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.

Hình 5.

4

Hình 6.

nói rằng việc di chuyển $f$ sẽ thay đổi hướng.

Ví dụ, sự tịnh tiến và quay song song xung quanh một đường thẳng (đặc biệt là đối xứng trục) bảo toàn hướng, trong khi đối xứng trung tâm và đối xứng so với mặt phẳng sẽ thay đổi hướng đó (Hình 5).

Tôi không muốn đánh lừa bạn: mọi thứ ở đây không đơn giản như vậy. Ví dụ: thứ tự phức tạp “ngược chiều kim đồng hồ” và “vòng quay ngắn nhất… đối với người quan sát phát hiện…” (xem ở trên), nói đúng ra, không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào - chúng không thể được định nghĩa trong khuôn khổ các mô hình động học hình học của trường phái (và trong các mô hình động học khác mà tác giả đã biết).

Trên thực tế, có thể định nghĩa chặt chẽ các “vòng tròn có mũi tên” hoặc bộ ba vectơ có hướng bằng nhau và đối lập nhau, nhưng về mặt hình thức, người ta không thể ưu tiên một trong các loại vòng tròn hoặc bộ ba. Hơn nữa, không cần bằng chứng, chúng tôi đưa ra một thực tế không hề tầm thường: một động thái bảo toàn hướng của một bộ ba không thể đặt hướng của bộ ba kia. Một cuộc thảo luận chi tiết về những vấn đề này sẽ đưa chúng ta đi quá xa: hình ảnh rõ ràng là đủ để chúng ta tiến xa hơn.

Thành phần của phong trào

Thành phần của ánh xạ $f$, $g$ (đặc biệt là chuyển vị) được gọi là ánh xạ $h = g \circ f$, có được bằng cách thực hiện tuần tự $f$ trước rồi đến $g$; điều này có nghĩa là với bất kỳ điểm nào $A$

$$h(A) = g(f(A)).$$

Lưu ý thứ tự trong mục $g \circ f$: $f$ được thực thi trước, sau đó là $g$. Việc nhập này là hoàn toàn tự nhiên, vì theo công thức (2)

$$(g \circ f)(A) = g(f(A)).$$

Dễ dàng nhận thấy thành phần của chuyển vị là chuyển vị (điều này có được ngay lập tức nếu bạn áp dụng (1) hai lần). Chúng ta hãy xem những chuyển vị nào thu được nếu chúng ta lấy thành phần của các chuyển vị mà chúng ta đã biết. Tôi sẽ bắt đầu với những ví dụ rất đơn giản mà bạn có thể dễ dàng hiểu được bằng cách nhìn vào các hình vẽ tương ứng. Nhưng có rất ít hiểu biết trực quan ở đây - bạn cần kiểm tra bằng chứng (tuy nhiên, có rất nhiều quy trình).

1°. Thành phần của hai mặt phẳng đối xứng tương đối song song là sự truyền song song (Hình 6 a).

2°. Thành phần của hai mặt phẳng đối xứng giao nhau là một phép quay quanh các đường tròn của đường giao nhau của chúng (Hình 6 b).

3°. Bố cục của ba đối xứng so với ba mặt phẳng vuông góc lẫn nhau là đối xứng so với điểm chung của chúng (Hình 6 c).

4°. Thành phần của sự đối xứng so với một mặt phẳng và sự truyền sang một vectơ vuông góc với nó là sự đối xứng so với mặt phẳng (khác).

5

Hình 7.

Trong những ví dụ này, bố cục dẫn đến sự dịch chuyển mà chúng ta đã biết trước đây. Nhưng tất nhiên điều này không phải lúc nào cũng đúng - ví dụ như việc di chuyển

$$W_{l,\vec{a}}^{\varphi} = \vec{a} \circ R_{l,\varphi},$$

trong đó vectơ $\vec{a}$ song song với đường thẳng $l$, chúng ta chưa gặp; $W_{l,\vec{a}}^{\varphi}$ được gọi là chuyển động xoắn ốc (với trục $l$, góc $\varphi$ và vector $\vec{a}$); nó sẽ đóng một vai trò quan trọng trong câu chuyện tiếp theo ZE (Hình 7).

Rõ ràng là với $\vec{a} \parallel l$

$$\vec{a} \circ R_{l,\varphi} = R_{l,\varphi} \circ a.$$ (3)

Rõ ràng là thành phần của chuyển động vít và chuyển vị trên vectơ song song với trục quay sẽ lại là chuyển động vít có cùng trục quay, nhưng có vectơ chuyển vị khác (bằng tổng của chuyển vị cũ và chuyển động mới). Nhưng sự thật sau đây chẳng thú vị chút nào:

$$5^\circ. \text{Композиция поворота } R_{l,\varphi} \text{ и произвольного перемещения } c \text{ является винтовым перемещением } c \text{ осью } l' \parallel l \text{ на угол } \varphi.$$

Chúng tôi sẽ sớm cần tuyên bố này; Hãy chứng minh điều đó Với mục đích này, chúng tôi phân tách vectơ $c$ thành tổng $\vec{c} = \vec{c}_1 + \vec{c}_2$, trong đó vectơ $\vec{c}_1$ hướng dọc theo trục $l$ và $\vec{c}_2$ vuông góc với trục này. Thành phần của các bản dịch song song tương ứng với tổng các vectơ, do đó $\vec{c} = \vec{c}_2 \circ \vec{c}_1$, do đó nhờ vào (3)

Hình 8.

$$\vec{c} \circ R_{l,\varphi} = (\vec{c}_2 \circ \vec{c}_1) \circ R_{l,\varphi} = \vec{c}_2 \circ (\vec{c}_1 \circ R_{l,\varphi}) = \vec{c}_2 \circ (R_{l,\varphi} \circ \vec{c}_1) = (\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}) \circ \vec{c}_1.$$ (4)

Sẽ di chuyển $\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}$, ghi nhớ rằng $\vec{c}_2 \perp l$. Chúng ta hãy xem xét một mặt phẳng tùy ý $l$ (Hình 8). Trên mặt phẳng này, độ dịch chuyển $\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}$ là thành phần của chuyển động quay của mặt phẳng $R_{0}^{\varphi}$ (trong đó $O = l \cap \pi$) và sự chuyển dịch của mặt phẳng sang vectơ $\vec{c}_2$ (xét cho cùng, $\vec{c}_2 \perp l \Rightarrow \vec{c}_2 \parallel \pi$). Bố cục như vậy sẽ là («Kvant», 1980, số 3, trang 6) một phép quay có cùng góc $\varphi$ xung quanh một tâm mới $O'$, rất dễ xây dựng (xem Hình 8, trong đó $[OA] \rightarrow [AA']$). Hình ảnh tương tự được quan sát thấy trong tất cả các mặt phẳng vuông góc với $l$, sao cho

$$\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi} = R_{l,\varphi},$$

trong đó $l'$ là đường thẳng đi qua $O'$ song song với $l$. Từ (4), xét đến $\vec{c}_1 \parallel l$, ta thu được

$$\vec{c} \circ R_{l,\varphi} = (\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}) \circ \vec{c}_1 = R_{l,\varphi} \circ \vec{c}_1 = \vec{c}_1 \cdot R_{l,\varphi} = W_{l,\varphi} \cdot \vec{c}_1.$$

Về mặt hình học, tuyên bố như vậy thậm chí còn ít rõ ràng hơn:

$$6^\circ. \text{Композиция винтового перемещения } W_{l,\varphi} \text{ и произвольного перемещения } c \text{ осью, параллельной прямой } l, \text{ на угол } \varphi.$$

Tuy nhiên, thực tế này có thể được chứng minh bằng hai cách:

$$\vec{c} \circ W_{l,\varphi} = \vec{c} \circ (\vec{a} \circ R_{l,\varphi}) = (\vec{c} \circ \vec{a}) \circ R_{l,\varphi} = W_{l,\varphi} \cdot \vec{c}_1,$$