Định luật bảo toàn năng lượng cho các quá trình nhiệt

Kvant 1981, số 2 tr. 44, 46, 47 Thẻ UKTJ

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Ở lời giải bài toán, gắn liền với việc xem xét các quá trình nhiệt, vai trò quan trọng nhất của định luật bảo toàn và biến đổi năng lượng, gọi là nhiệt động lực học:

$Q = \Delta U + A.$

Ở đây $Q$ là lượng nhiệt truyền vào hệ, $\Delta U$ là độ biến thiên nội năng của nó và $A$ là công mà hệ thực hiện chống lại ngoại lực. (Trong sách giáo khoa “Vật lý 9”, tác phẩm này được ký hiệu là $A'$ ; để cho ngắn gọn chúng ta sẽ lược bỏ “số nguyên tố”.)

Năng lượng bên trong $U$ là hàm của các thông số nhiệt động lực học (áp suất $p$ , thể tích $V$ và nhiệt độ $T$ ) mô tả trạng thái của hệ thống, nhưng không phụ thuộc vào trạng thái này phát sinh như thế nào. Ví dụ, đối với khí lý tưởng đơn nguyên tử

$U = \frac{m}{\mu} \frac{3}{2} RT,$

trong đó $m$ là khối lượng của chất khí, $\mu$ là khối lượng mol của nó, $R$ là hằng số khí phổ quát bằng 8,31 J/(mol K).

Tất nhiên, công $A$ được thực hiện bởi hệ thống phụ thuộc vào bản chất của quá trình nhiệt. Vì vậy, với một sự thay đổi nhỏ về âm lượng $\Delta V$ (khi áp suất có thể được coi là không đổi)

$A = p\Delta V.$

Các tham số nhiệt động của một hệ không phải là các biến độc lập; chúng liên hệ với nhau bởi một phương trình trạng thái. Trong trường hợp khí lý tưởng, đây là phương trình Mendeleev-Clapeyron

$pV = \frac{m}{\mu} RT.$

Chúng ta hãy xem xét một số bài toán điển hình về các quy trình nhiệt được cung cấp trong các bài giới thiệu.

Bài toán 1 (MPEI, 1978). Quá trình nhiệt trong Hình 1 được thực hiện trên một mol khí lý tưởng. Nhiệt độ của khí ở các phần 1-2, 2-3, 3-1 thay đổi như thế nào? Nó nhận khí ở vùng nào và tỏa nhiệt ở vùng nào?

Đối với phần 1-2, sự phụ thuộc của áp suất vào thể tích là tuyến tính: $p = \alpha V$ (α là một hệ số không đổi nào đó). Từ phương trình Mendeleev-Clapeyron trong trường hợp này chúng ta có

$\alpha V^2 = RT.$

Điều này có nghĩa là nhiệt độ của khí trở về thể tích và nội năng của nó tăng: $\Delta U > 0$ . Ngoài ra, chất khí còn thực hiện công giãn nở dương: $A > 0$ . Từ định luật nhiệt động thứ nhất, suy ra rằng lượng nhiệt

$Q_{1-2} = \Delta U + A > 0$

ở phần 1-2 khí nhận nhiệt.

Ở phần 2-3 $V_2 = V_3 = const$ , tức là khí không thực hiện công: $A = 0$ . Áp suất khí giảm: $p_3 < p_2$ ; nghĩa là $T_3 < T_2$ và $\Delta U < 0$ . Do đó, ở phần 2-3 khí tỏa nhiệt: $Q_{2-3} < 0$ .

Ở đoạn 3—1 $p_1 = p_3 = const$ , thể tích khí giảm từ $V_3$ xuống

điều kiện khắc nghiệt, được chuyển sang trạng thái có thể tích và áp suất gấp đôi. Quá trình dịch thuật diễn ra theo hai phần - isobars và isochores. Lượng nhiệt lượng đã cung cấp cho khí là bao nhiêu? Thể tích khí $C_V = 21$ J/(mol K).

Chúng ta hãy mô tả quá trình đang được xem xét theo tọa độ $p, V$ (Hình 3). Trong phần 1–2, áp suất không đổi và thể tích tăng gấp đôi ( $V_2 = 2V_1$ ). Theo định luật Gay-Lussac, nhiệt độ tại điểm 2 sẽ là $T_2 = 2T_1$ . Ở đoạn 2-3, thể tích khí không đổi nhưng áp suất tăng gấp đôi. Theo định luật Charles, nhiệt độ tại điểm 3 sẽ bằng $T_3 = 2T_2 = 4T_1$ .

Biết nhiệt độ của khí tại các điểm 1, 2, 3 (theo điều kiện tại điểm 1, khí ở điều kiện bình thường, tức là $T_1 = 273$ K), không khó tìm được lượng nhiệt cung cấp cho khí:

trong quá trình đẳng áp 1-2, khí nhận được một lượng nhiệt

$Q_1 = C_p(T_2 - T_1) = (C_V + R)T_1;$

trong quá trình đẳng tích 2-3 lượng nhiệt được truyền cho khí

$Q_2 = C_V(T_3 - T_2) = 2C_VT_1;$

tổng lượng nhiệt cung cấp cho khí bằng

$Q = Q_1 + Q_2 = (3C_V + R)T_1 \approx 20 \text{ кДж.}$

Bài toán 4 (MPEI, 1977). Một mol khí nở ra sao cho thể tích của nó trong quá trình đó tỉ lệ với áp suất: $V = \alpha p$ . Áp suất khí tăng từ $p_1$ lên $p_2$ . Tìm hệ số $\alpha$ nếu nhiệt dung của một mol khí ở thể tích không đổi là $C_V$ và trong thời gian

quá trình này, khí được cung cấp lượng nhiệt $Q$ .

Sử dụng định luật nhiệt động thứ nhất, chúng ta viết

$Q = \Delta U + A.$

Sự thay đổi nội năng của khí

$\Delta U = C_V \Delta T,$

trong đó $\Delta T$ là sự thay đổi nhiệt độ. Trong trường hợp quá trình trong đó $V = \alpha p$ , phương trình trạng thái khí có dạng $a^2 = RT$ . Sau đó

$\Delta T = T_2 - T_1 = \frac{\alpha}{R} (p_2^2 - p_1^2)$

Và

$\Delta U = \frac{C_V \alpha}{R} (p_2^2 - p_1^2).$

Để tìm công $A$ do khí thực hiện, thuận tiện sử dụng phương pháp đồ thị (Hình 4): công bằng diện tích của vùng được bảo vệ, tức là

$A = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1) = \alpha \frac{p_2^2 - p_1^2}{2}.$

Như vậy,

$Q = \Delta U + A = \left( \frac{C_V}{R} + \frac{1}{2} \right) \alpha (p_2^2 - p_1^2).$

Giải phương trình này cho $\alpha$ , ta thu được

$\alpha = \frac{Q}{(C_V/R + 1/2) (p_2^2 - p_1^2)}.$

Bài toán 5 (MIPT, 1980). Với cùng một sự thay đổi nhiệt độ của tập thể, nhiệt cung cấp cho cùng một phần khí lý tưởng, một lần ở áp suất không đổi, và một lần khác ở thể tích không đổi, chênh lệch $\Delta Q = 7$ J. Xác định sự thay đổi nội năng của khí trong các quá trình này. Hệ số tỷ lệ $C_V$ giữa nhiệt độ-

nội năng của 1 mol khí này bằng 20,75 J/(mol·K), hằng số khí R=8,31 J/(mol·K).

Nội năng của một phần nhất định của khí lý tưởng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của nó, do đó độ biến thiên của nó trong cả hai quá trình sẽ bằng nhau và bằng ΔU=vC_VΔT, trong đó v là số mol khí, ΔT là độ biến thiên nhiệt độ của nó.

Lượng nhiệt cung cấp cho khí trong quá trình đẳng tích bằng

$Q_1 = vC_VΔT,$

và lượng nhiệt cung cấp trong quá trình đẳng áp bằng

$Q_2 = vC_pΔT = v(C_V + R)ΔT.$

Có nghĩa,

$\Delta Q = Q_2 - Q_1 = vRΔT,$

chúng ta tìm thấy nó từ đâu?

$\Delta U = \frac{\Delta Q C_V}{R} \approx 17 \text{ Дж.}$

Các quá trình nhiệt tuần hoàn làm nền tảng cho hoạt động của động cơ nhiệt, một đặc tính quan trọng của nó là hệ số hiệu suất (hiệu suất). Hãy xem xét bài toán để tính giá trị này.

Bài toán 6 (Khoa Vật lý, Đại học Tổng hợp Matxcơva, 1976). Máy báo hiệu có hiệu suất η=40%. Hiệu suất của máy sẽ là bao nhiêu nếu lượng nhiệt tiêu thụ trong mỗi chu kỳ tăng 20% và lượng nhiệt cung cấp cho tủ lạnh giảm 10%?

Theo định nghĩa, hệ số hiệu suất bằng tỷ số giữa công A do động cơ nhiệt thực hiện trong mỗi chu kỳ với lượng nhiệt Q_n mà nó nhận được. Từ định luật bảo toàn năng lượng, ta suy ra rằng công thực hiện bằng giá trị của lượng nhiệt nhận được và lượng nhiệt Q_từ động cơ nhiệt truyền vào tủ lạnh. Như vậy,

$\eta = \frac{A}{Q_n} = \frac{Q_π - Q_{от}}{Q_n} = 1 - \frac{Q_{от}}{Q_n}.$

Từ đây không khó nhận thấy rằng lúc đầu, khi hiệu suất của máy là 40% thì tỉ số Q_{from}/Q_n bằng 0,6. Khi đó, theo điều kiện bài toán, hệ số hiệu suất bằng 20%, nghĩa là nó trở thành Q’_n=1,2Q_n, và lượng nhiệt truyền vào tủ lạnh giảm 10%, tức là nó trở thành Q’from=0,9Q{from}. Điều này có nghĩa là giá trị hiệu quả mới

$\eta' = 1 - \frac{Q'_{от}}{Q'_n} = 1 - \frac{0,9Q_{от}}{1,2Q_n} = 0,55.$

Do đó, chúng tôi nhận thấy hiệu suất của động cơ nhiệt tăng lên và đạt mức 55%.

Ở bên phải

Trong một bình hình trụ đặt dưới một piston không trọng lượng có một lượng khí ở nhiệt độ t=20°C. Khí chiếm thể tích V=1 lít. Khi nhiệt độ khí tăng Δt=10°C thì piston đi lên. Tìm công A do khí thực hiện. Áp suất khí quyển p_0=10^5 Pa, giữa piston và thành bình không có ma sát.
Lượng nhiệt phải được cung cấp cho một mol khí lý tưởng khi nó được nung nóng thêm 1°C trong một quá trình nhiệt trong đó áp suất p và thể tích V có liên hệ bởi hệ thức p=αV, trong đó α là một hằng số nhất định. Nhiệt lượng mol của khí ở thể tích không đổi C_V lấy bằng 5/2R.
Một khối lượng khí có áp suất p_0, thể tích V_0 và nhiệt độ T_0. Sau đó, khí ở một thể tích không đổi được nung nóng đến nhiệt độ T_1=2T_0, sau đó khí nở ra ở áp suất không đổi đến thể tích V_2=4V_0. Từ trạng thái thu được của khí, nó được đưa trở lại trạng thái ban đầu (p_0, V_0, T_0) và theo cách mà trong quá trình này pV^n = const. Xác định n.
Hình 5 biểu diễn đồ thị của quá trình nhiệt tuần hoàn ở tọa độ p, V. Các phần 2-3 và 4-1 tương ứng với các quá trình đẳng nhiệt. Xác định nhiệt độ của khí lý tưởng thay đổi như thế nào. Khí tỏa ra ở khu vực nào và hấp thụ nhiệt ở khu vực nào?
Nhiệt độ của một khối lượng m nhất định của một loại khí lý tưởng có khối lượng mol μ thay đổi theo định luật T=αV^2, trong đó α là một giá trị không đổi. Tìm đồ thị công mà khí thực hiện khi thể tích tăng từ V_1 lên V_2. Nhiệt lượng được hấp thụ hay tỏa ra?