Tổng vô hạn và... một hình chữ nhật

20

M. Apresyan

Tổng liên tục và… một hình chữ nhật

Các nhà nghiên cứu cổ điển Stashe biết rằng với $|q| < 1$ tổng của cấp số nhân vô hạn $1 + q + q^2 + q^3 + \dots$ bằng $\frac{1}{1 - q}$ và họ biết cách chứng minh điều này bằng phương pháp giải tích (xem sổ tay “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9”, đoạn 24).

Đối với $q = \frac{1}{n}$, trong đó $n \in \mathbb{N}$, có một cách hình học đơn giản để tìm tổng này.

Hãy bắt đầu với $n = 2$: hãy tìm tổng
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$$

Chúng ta lấy một hình chữ nhật tùy ý có diện tích 2. Cắt nó thành hai hình chữ nhật có kích thước bằng nhau (cùng diện tích) có diện tích đơn vị như trong Hình 1. Cắt một trong các hình chữ nhật này lại thành hai phần bằng nhau; chúng ta thu được hình chữ nhật có diện tích $\frac{1}{2}$. Làm tương tự với một trong số chúng một lần nữa - chúng ta có hai hình chữ nhật có diện tích

Hình 1.

Hình 2.

21

Hình 3.

$n$ - số tự nhiên) bằng $\frac{n}{m-n}$: đối với điều này, bạn cần giữ nguyên $n$ - $m$ hình chữ nhật đơn vị không thay đổi và mỗi hình chữ nhật $m$ của khu vực 1 lại được cắt thành $n$ phần bằng nhau (Hình 3). Sau đó, giữ nguyên các dải $n$ - $m$, diện tích $\frac{m}{n}$ của mỗi dải và cắt lại từng khu vực $m^2$ hình chữ nhật $\frac{1}{n}$ thành $n$ phần bằng nhau. Bạn đã đồng ý phải làm gì tiếp theo chưa? Đưa việc xây dựng này đến “kết thúc” và biện minh cho nó.

Cuối cùng, chúng ta sử dụng hình chữ nhật có diện tích 2 để tính một tổng vô hạn khác; cụ thể là chúng ta sẽ chứng minh rằng

$$1 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{n+1!} + \dots = 2.$$

Hai bước đầu tiên sẽ giống như trước: cắt hình chữ nhật thành hai hình chữ nhật có diện tích 1; một trong số đó dành cho hai hình chữ nhật có diện tích $\frac{1}{2}$ (Hình 4). Và sau đó chúng ta sẽ cắt một trong những mảnh hình chữ nhật này thành ba phần bằng nhau (diện tích $\frac{1}{6}$ mỗi phần). Chúng tôi cắt một trong các phần của diện tích $\frac{1}{6}$ thành bốn phần bằng nhau; một trong số chúng - thành năm phần, v.v. Tiếp tục quá trình này đến vô tận, chúng ta sẽ thu được kết quả là một hình chữ nhật có diện tích 1, một - diện tích $\frac{1}{2!}$, hai hình chữ nhật có diện tích $\frac{1}{3!}$, ba - diện tích $\frac{1}{4!}$, …, $n$ hình chữ nhật có diện tích $\frac{1}{(n+1)!}$, v.v. Điều này có nghĩa là lượng diện tích cần thiết của hình chữ nhật ban đầu, tức là hai.

Ống kính giả của Robert Wood

(Để bắt đầu, xem trang 18)

Từ đây, theo công thức $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, khoảng cách của các thấu kính giả có thể được tìm theo công thức: $F = 19,5$ cm. Các giả thấu kính có đường kính khoảng 6 mm có khoảng cách khoảng 10 cm.

Nguyên lý hoạt động của thấu kính giả là gì? Chỉ số độ thẳng Glycerol $n_r = 1,47$; và chỉ báo độ thẳng của nước là $n_B = 1,33$. Nước khuếch tán vào một hình trụ đồng nhất bao gồm sắt và glycerin, sẽ đẩy glycerin ra khỏi nó. Trong trường hợp này, hình trụ trở nên không đồng nhất và chỉ số độ thẳng của nó giảm dần từ tâm ra các cạnh. Và hệ thống, như đã đề cập, hoạt động giống như một thấu kính hội tụ.

Lưu ý rằng sau khoảng một ngày, thành phần sẽ trở lại đồng nhất và pseudolinza mất đi các đặc tính tuyệt vời của nó.