Бесконечные суммы и... прямоугольник

20

М. Апресян

Бескочечные суммы и… прямугольник

Сташеклассики знают, что при $|q| < 1$ сумма бесконечной геометрической прогрессии $1 + q + q^2 + q^3 + \dots$ равна $\frac{1}{1 - q}$, и умеют это доказать анализчески (см. пособие «Алгебра и начала анализа 9», п. 24).

Для $q = \frac{1}{n}$, где $n \in \mathbb{N}$, существует простой геометрический способ нахождения этой суммы.

Начем с $n = 2$: найдем сумму
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$$

Возьем произвольный прямугольник площади 2. Разрежем его на два равновеликих (одинаковой площади) прямугольника единичной площади так, как показано на рисунке 1. Один из этих прямугольников снова разрежем на две равновеликые части; получим прямугольники площади $\frac{1}{2}$. С одним из них снова поступит так же — получим два прямугольника площади

Рис. 1.

Рис. 2.

21

Рис. 3.

$n$ — натуральные числа) равна $\frac{n}{m-n}$: для этого нужно оставить без изменения $n$ — $m$ единчных прямогольничков, а каждой из $m$ прямогольничков площади 1 снова разрезать на $n$ равновеликих частей (рис. 3). Затем оставить без изменения $n$ — $m$ полос, площади $\frac{m}{n}$ каждой, а каждой из $m^2$ прямогольничков площади $\frac{1}{n}$ снова разрезать на $n$ равновеликих частей. Вы уже договорались, что нужно делать дальше? Доведите это построение до «конца» и обоснуйте его.

В заключение мы с помощью прямогольника площади 2 вычислим еще одну бесконечную сумму; именно, мы докажем, что

$$1 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{n+1!} + \dots = 2.$$

Первые два шага будут также же, как раньше: разрежем прямо-угольник на два прямогольника площади 1; один из них — на два прямогольника площади $\frac{1}{2}$ (рис. 4). А затем один из этих прямогольничков разрежем уже на три равновеликие частies (плошади $\frac{1}{6}$ каждой). Одну из частей плошади $\frac{1}{6}$ разрежем на четыре равновеликие частies; одну из них — на пятЬ частей и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим в результате один прямогольничок площади 1, один — плошади $\frac{1}{2!}$, два прямогольничка площади $\frac{1}{3!}$, три — плошади $\frac{1}{4!}$, …, $n$ прямогольничков площади $\frac{1}{(n+1)!}$ и т. д. Значит, искомая сумма плошади исходного прямогольника, то есть двум.

Псевдолинза Роберта Вуда

(Начало см. на с. 18)

Отсюда, согласно формуле $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, можно найти формуле расстояние псевдолинзы: $F = 19,5$ см. Псевдолинзы диаметром около 6 мм имеют формуле расстояние порядка 10 см.

Каков прицип действия псевдолинзы? Показатель прямолиня глицерина $n_r = 1,47$; а показатель прямолиня воды $n_B = 1,33$. Вода, диффундируя в однородный цилиндрик, состоящий из железна и глицерина, вытесят из него глицерин. Цилиндрик при этом становится неоднородным, причем его показатель прямолиня постепенно уменьшается от центра к краям. А также система, как уже говорилось, ведет себя как собирающая линза.

Заметим, что примерно через сутки состав вновь становится однородным, и псевдolinза теряет свои удивительные свойства.