Московский физико-технический институт

48

Московский физико-технический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$10 \cos^2 x - 16 \sin x = \cos 2x + 15.$$

2. На координатной плоскости дан круг радиуса $\sqrt{7}$ с центром в точке (2; 3). Найти все точки вне этого круга, координаты которых удовлетворяют системе уравнений
   $$\begin{cases} 3x + 3y - \frac{1}{2} = 4, \\ (2x - y)^2 = \frac{9}{4}. \end{cases}$$

3. Длины боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 8 см и 10 см, а длина основания $BC$ равна 2 см. Биссектория угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найти площадь трапеции.

4. Высота правильной четырехугольной парамиды вдвое больше диагонали ее основания, объем парамиды равен $V$. Рассматриваются правильные четырехугольные признамы, выписанные в парамиду так, что их боковые ребра параллельны диагонали основания парамиды, одна боковая грань принадлежит этому основанию, вершины противоположной боковой грани лежат на боковой поверхности парамиды. Найти:

a) объем той признамы, плоскость боковой грани которого делит высоту парамиды в отношении 4:1, считая от вершины;
b) наиболее значение объема расматриемых признам.

5. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} 2x^2y - xy^5z = z^2, \\ xz + 3y^4z^2 = 10x^2y^5, \\ 5y^4z + 3xy^8z^2 = 2x^2. \end{cases}$$

Вариант 2

1. Решить неравенство
   $$\left(\frac{1}{4}\right)^x - 32 \left(\frac{1}{8}\right)^{x^2-1} < 0.$$

2. Решить уравнение
   $$\log_{\cos x} \left( \frac{\sin 2x}{\sqrt{2}} + \cos x - \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x \right) = 2.$$

3. В круге проведены две взаимно перpendикулярные и пересекающие хорды $AB$ и $CD$. Известно, что $|AB| = |BC| = |CD|$. Установить, что больше: площадь круга или площадь квадрата со сторонам $AB$.

4. Найти все значения $a$, при которых система уравнения
   $$\begin{cases} 2^x(y+1)(1-y \cdot 2^x) = a^3, \\ (1+2^x)(1-y \cdot 2^x) = a \end{cases}$$
   a) не имеет решений;
   b) имеет бесконечное множество решений. В случае 6), в ней все решения.

5. Длина стороны основания правильной четырехугольной парамиды равна $a$,лина апофемы парамиды равна $\frac{3}{2}a$. Ортогональной проекцией парамиды на плоскость, перpendикулярную одной из боковых граней, является равноведренная трапеция. Найти площадь этой трапеции.

Вариант 3

1. Решить уравнение
   $$2x - \sqrt{x^3 + 2x^2 - 3x} = 0.$$

2. Решить неравенство
   $$\log_{\frac{x-1}{5x-6}} (\sqrt{6} - 2x) < 0.$$

3. В равноведренную трапецию вписка окружность. Расстояние от центра okружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу как 3 к 5. Найти отношение перimetра трапеции к длине вписка окружности.

4. На координатной плоскости расматривается множество $N$ всех точки, координаты $(a; b)$ которых удовлетворяют условиям $a < b$, $|a| < 3$, $|b| < 3$ и таковые, что уравнение
   $$\left(a^3 - b^3\right)x^4 + (3a + b)x^2 + \frac{1}{a-b} = 0$$
   не имеет корней.

a) Принадлежит ли точка $P(-2; -1)$ множество $N$?

b) Найти площадь многоугольника, внутренней области которого является множество $N$.

5. На ребре $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $F$ так, что $|B_1F| = \frac{1}{3} |BB_1|$, на ребре $C_1D_1$ — точка $E$ так, что $|D_1E| = \frac{1}{3} |C_1D_1|$. Какое наиболее значение может принимать отношение $\frac{|AP|}{|PQ|}$, где точка $P$ лежит на луче $(DE)$, а точка $Q$ — на прямой $A_1F$? Решение задача варианта 1

6. Выразив $\cos^2 x$ и $\cos 2x$ через $y = \sin x$, получим систему
   $$\begin{cases} 4y^2 + 8y + 3 = 0, \\ |y| \leq 1, \end{cases}$$
   откуда $y = -\frac{1}{2}$. Осталось решить уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$.

49

Ответ. $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \ (n \in \mathbb{Z})$.

Эта задача очень проста, однако неокторные абитриенты не сумели правильно ее решить. Основная ошибка состоит в том, что они не отбрасывают второй корень $y = -\frac{3}{2}$ квадратного уравнения и рассматривали выражение arcsin $\left(-\frac{3}{2}\right)$. Положение знание обратных тригонометрических функций было также заметно и на устном экзамене.

2. Из второго уравнения сразу получаем, что либо $y = 2x - \frac{3}{2}$, либо $y = 2x + \frac{3}{2}$.

В первом случае получаем уравнение $3^x + 3^{2x-2} = 4$, которое заменой $z = 3^{x-1}$ приводится к квадратному уравнению $z^2 + 3z - 4 = 0$ с корнями $z_1 = -4, z_2 = 1$.

Так как $z > 0$, получаем $3^{x-1} = 1$, откуда $x = 1, y = \frac{1}{2}$.

Во втором случае, как и в первом, приходим к уравнению $3z^2 + z - 4 = 0$, где $z = 3^x$; решая его, находим $x = 0, y = \frac{3}{2}$.

Найdenные решения могут быть изобраны на координатной плоскости точками $M\left(1; \frac{1}{2}\right)$ и $N\left(0; \frac{3}{2}\right)$. Расстояние от точки $M$ до центра $O(2; 3)$ данной круга равно $\sqrt{(1-2)^2 + \left(\frac{1}{2} - 3\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{29} > \sqrt{7}$.

Точно так же $|ON| = \sqrt{(0-2)^2 + \left(\frac{3}{2} - 3\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} < \sqrt{7}$.

Таким образом, вне круг лежит точка $M$.

Ответ. $\{(1; \frac{1}{2})\}$.

При решении этой задачи неокторные абитриенты не смогли правильно записать условие того, что точка $(x; y)$ лежит вне заданного круга.

3. Пусть $E$ — середина отрезка $AB$. Проведем среднюю линию $EF$ трапеции $ABCD$. Поскольку $ADE = DEF$, $(EF) \parallel (AD)$ и $ADE = EDF$ (по условию), получаем $DEF = EDF$, то есть треугольник $EFD$ — равноведренный. Значит, $|EF| = |FD| = \frac{1}{2} |CD| = 5$. Позному $|AD| = 2 |EF| - |BC| = 8$. Проведем отрезок $BG$, параллельный стороне $CD$ (рис. 1). Имеем $|BG| = 10; |AG| = |AD| - |DG| = |AD| - |BC| = 6$ ($BCDG$ — параллелограмм). Значит длины сторон треугольника $ABG$, можно вычислить угол $BAG$. По теореме косинусов

$$\cos(\widehat{BAG}) = \frac{|BG|^2 - |AB|^2 - |AG|^2}{2|AB||AG|} = \frac{100 - 64 - 36}{2 \cdot 8 \cdot 6} = 0,$$

то есть $\widehat{BAG} = 90^\circ$. Значит, $AB$ — высота трапеции $ABCD$, а площадь трапеции равна $8 \cdot 5 = 40$.

Ответ. 40 см².

К сожалению, лишь немного из абитриентов нашли приведенное здесь простое геометрическое решение. Некоторые пытались решить задачу с помощью векторов, другие видили большее количество новых параметров (например, углы трапеции) и многократно применяли теорему косинусов, третьи пользовались теорему об отношении, в котором делит сторону треугольника основание биссектрицы.

4. Обозначим точки пересечения плоскости «верхней» боковой грани признамы с боковыми ребрами пирамиды $SABCD$ через $A_1, B_1, C_1, D_1$ (рис. 2), а точку пересечения высоты $SO$ пирамиды с этой плоскостью — через $O_1$. Обозначим длину ребра $EH$ через $b$, длину стороны $EE_1$ основания признамы через $a$, высоту пирамиды $SABCD$ через $H$. Пусть точка $O_1$ делит высоту в отношении $\lambda : \frac{|O_1O|}{|SO|} = \lambda$ (ясно, что $\lambda \in [0; 1]$).

Поскольку $|O_1O| = |E_1E| = a$, имеем $a = \lambda H$. Расстояние заданной следует, что отрезки $F_1G, E_1H_1$ и $A_1C_1$ попарно параллельны. Найдем длину диагонали $A_1C_1$. Из подобия треугольников $ASC$ и $A_1SC_1$ имеем $\frac{|A_1C_1|}{|AC|} = \frac{|SO_1|}{|SO|}$, откуда

$$|A_1C_1| = \frac{H}{2} \cdot \frac{H - \lambda H}{H} = (1 - \lambda) \frac{H}{2}.$$

Найдем длину $b$ бокового ребра $E_1H_1$ признамы: $b = |A_1C_1| - 2 |KE_1| = |A_1C_1| - |E_1F_1| = (1 - \lambda) \frac{H}{2} - \lambda H = (1 - 3\lambda) \frac{H}{2}$.

50

Объем $V_{np}$ призмы $EFGHE_1F_1G_1H_1$ равен $V_{np} = a^2b = \lambda^2(1 - 3\lambda)\frac{H^3}{2}$. Поскольку $\frac{1}{24}H^3 = V$, окончательное получаем

$$V_{np} = 12\lambda^2(1 - 3\lambda)V,$$

где $\lambda \in ]0; 1[$.

Тепер можно ответить на вопрос a). Значение $\lambda$ в этом случае равно $\frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$, и поэтому $V_{np} = \frac{24}{125}V$.

Для того чтобы ответить на вопрос 6), найдем максимум функции $V_{np}(\lambda)$ на интервале $]0; 1[$. Приравняем нулю производную $V'_{np}(\lambda) = 2\lambda - 9\lambda^2 = 0$, откуда $\lambda = \frac{2}{9}$. Так как при $\lambda < \frac{2}{9}V'_{np}(\lambda) > 0$, а при $\lambda > \frac{2}{9}V'_{np}(\lambda) < 0$ функции $V_{np}(\lambda)$ имеет при $\lambda = \frac{2}{9}$ наиболее значение на интервале $]0; 1[$, равное $V_{np}\left(\frac{2}{9}\right) = \frac{16}{81}V$.

Ответ. a) $\frac{24}{125}V; 6)\frac{16}{81}V$.

Многие из абитриентов не сумели правильно выбрать тот параметр, через который выражается объем призмы, хотя в условиях a) имеется на этот счет явная подсказка. При исследовании функции $V_{np}(\lambda)$ на экстремум лишь немного абитриентны доказали, что при $\lambda = \frac{2}{9}$ имеет место именно максимум.

5. Умножив первое уравнение на $5y^4$ и сложив с вторым, получим

$$2y^4z^2 = -5xy^9z + xz.$$

(1)

Возможны два случая: $z = 0$ и $z \neq 0$. В первом случае из третьго уравнения получим $x = 0$, а значения $y$ могут при этом быть любыми. Получаем бесконечное множество решений: $(0, \alpha; 0), \alpha \in \mathbb{R}$.

Если $y = 0$, то из третього и первого уравнения получаем $x = 0$ и $z = 0$, то есть одно из уже найdenных решений. Если же $x = 0$, то из первого уравнения $z = 0$ и вновь мы приходим к решении $(0, \alpha; 0), \alpha \in \mathbb{R}$.

Пусть теперь $z \neq 0, y \neq 0, x \neq 0$. Из (1) получаем

$$z = \frac{x - 5xy^9}{2y^4}.$$

(2)

Подставив это соответствие в первое уравнение системы, получим после преобразования уравнения

$$15y^{18} - 16y^9 + 1 = 0.$$

Положим $t = y^9$. Решая уравнение $15t^2 - 16t + 1 = 0$, получаем $t_1 = 1, t_2 = \frac{1}{15}$, откуда $y_1 = 1, y_2 = (15)^{-1/9}$.

Из соответствия (2) получаем

$$y_1^4z = x\left(\frac{1 - 5y^9}{2}\right) = -2x$$

в первом случае и

$$y_2^4z = x\left(\frac{1 - 1/3}{2}\right) = \frac{x}{3}$$

во втором.

Разберем первый случай. Подставив $y^4z$ в третье уравнение, получим $12x^2 - 2x - 10 = 0$, откуда $x_1 = -\frac{5}{6}, x_2 = 1$. Воспользовавшись соответствием (2), получим два решения:

$$\left(-\frac{5}{6}; 1; \frac{5}{3}\right), (1; 1; -2).$$

Во втором случае, действует так же, как и в первом, находим еще два решения: $(1; 15^{-1/9}; 5 \cdot 15^{-5/9}), (5; 15^{-1/9}; 25 \cdot 15^{-5/9})$.

Ответ. {(0; $\alpha; 0$), $\alpha \in \mathbb{R}$; $\left(-\frac{5}{6}; 1; \frac{5}{3}\right)$; $(1; 1; -2)$; $(1; 15^{-1/9}; 5 \cdot 15^{-5/9})$}.

Решение этой задачи требовало некоторой изобретательности, и лишь немного справились с ней полностью. Однако и те, кто проводил лягается объем призмы, часто теряли решения $(0; \alpha; 0)$, $\alpha \in \mathbb{R}$, указавая лишь $(0, 0, 0)$. Многие абитриенты не сумели увидеть полученного им квадратного уравнения относительно $y^9$ и не знали, что с ним дальше делать.

Физика

Писъемный экзамен

Вариант 1

1. На неподвижный груз массой $m = 10$ кг, лежащий на горизонтальном столе и прикрепленный к стене пружиной жесткостью $k = 4 \cdot 10^3$ Н/m, на некоторое время т прикладывается постоянная сила $\vec{F}$ (рис. 4). При каких значениях $t$ после прекрашения действия силы $\vec{F}$ будет снова неподвижным? Треннем пребегчь.

2. Цилиндрическую гирю, подвешенную к диамометру, опускают в воду (рис. 5), пока уровень воды в сосуде не изменится на $\Delta h = 8$ см. Показание диамометра при этом изменилось на $|\Delta F| = 0,5$ Н. Определите сечение сосуда.

3. На две плоскопаральные сетки, между которых приложена разность потенциальов $U_0$, падает паралельный пучок отрицательного заряженных части под углом $\alpha = 60^\circ$ (рис. 6). При каких энергиях частицы могут пройти через сетки, если заряд части равен $q$?

Рис. 4.

Рис. 5.

51

4. На некоторых расстояниях за тонкой отрицательной линии с фокусным расстоянием $F_n = 10$ см находится сферическое вогнутое зеркало. Система линза + зеркало создает пряное изображение предмета в натуральную величины. Затем зеркало отводилули от линии на $l = 2$ см, при этом вновь получилось изображение предмета в натуральную величины. Определите расстояние от предмета до линии.

Вариант 2

1. Ядерная реакция $^14\text{N} + ^4\text{He} \rightarrow {}^{17}\text{O} + p$ может идти, если налетящие на неподвижные ядра азота α-частицы имеют энергию, превышающего порогового энергию $E_n = 1,45$ МэВ. На сколько энергия α-частиц должны быть больше пороговой, чтобы кинетическая энергия образующся в реакции протонов была равна нулю?

2. В горизонтальном расположенном цилиндре сечением $S$ находится массивный поршень (рис. 7). В начальной момент поршень удерживает на расстоянии $l_0$ от дна сосуда, для чего к нему пришлось приложить силу $F$. После прекрашения действия силы $F$ поршень начинает двигаться без трения. На каком расстоянии от дна поршень будет иметь наиболее скорость? Процесс считать изотермическим. Внешнее давление равно $p_0$.

3. Колбательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора, через ключ $K$ подключен к источнику постоянной ЭДС с внутренним сопротивлением $r$ (рис. 8). Первоначально ключ $K$ замкнут. После установки стационарного режима ключ размыкают, и в контуре возникают колбаня с периодом $T$. При этом амплитуда напряжения на конденсаторе в $n$ раз больше ЭДС батареи. Найдите индуктивность катушки и емкость конденсатора. Омическим сопротивлением катушки пренебречь.

4. Предмет и его изображение, создаваемое тонкой положительной линии, находятся по одному сторону от линии. Расстояние между предметом и изображением $a_1 = 4$ см. Точно такое же изображение того же предмета получено с помощью сферического зеркала, имеющего такое же, как у линии, фокусное расстояние. При этом расстояние между предметом и изображением оказалось равным $a_2 = 8$ см. Определите фокусное расстояние линии.

Вариант 3

1. С какой минимальной горизонтальной силой $F$ надо действовать на брусок массив $m = 1$ кг, находящийся на наклонной плоскости с углом наклона $α = 30°$, чтобы брусок покопался (рис. 9)? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость $μ = 0,2$.

2. Из баллона объемом $V_1 = 200$ л, содержащого гелий при температуре $T_1 = 273$ К под давлением $p_1 = 2 \cdot 10^6$ Н/м², израсходовали часть газа, занявшего при нормальных условиях объем $V_2 = 1000$ л. При повторном измеренении давления в баллоне получено значение $p_2 = 1,4 \cdot 10^6$ Н/м². При какой температуре проведено это измеренение?

52

Рис. 13.

3. Цепь, состоящая из двух конденсаторов emкостью $C_1$ и $C_2$ и катушки с индуктивностью $L$, первоначально разомкнута (рис. 10). Конденсатор emкостью $C_1$ заряжают до разности потенциальов $U$, а конденсатор emкостью $C_2$ остается незаряженным. Определите максимальную величины силы тока в цепи после замыкания ключа $K$. Активным сопротивлением катушки претенбрець.

4. С помощью сферического зеркала получено изобравнение $A'B'$ предмета $AB$ (рис. 11). Построением определяте местоположение зеркала и его фокус.

Вариант 4

1. На дно сферы радиусом $R$ насыпали горсть песка (рис. 12). Определите, где будет находиться песчинки после того, как сферу привели во врашение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$. Треннем песчнок о сферу претенбрець.

2. Плотность растора соли с глубиной $h$ меняется по закону $\rho = \rho_0 + Ah$, где $\rho_0 = 1 \text{ г/cm}^3$, $A = 0,01 \text{ г/cm}^4$. В растор опущены два шарика, связанные нитью длиной $l = 5$ см. Объем каждого шарика $V = 1 \text{ см}^3$, а массы $m_1 = 1,2 \text{ г}$, $m_2 = 1,4 \text{ г}$. На какой глубине каждого шарик будет находиться в врашовении, если известно, что нить натянута?

3. При исследовании вакуумного фотоэлемента оказалось, что при задерживающей разности потенциальов $U_3 = 1,5$ В между катомом $K$ и аномом $A$ (рис. 13) фороток с поверхности катода, освещаемого светом с длиной волны $\lambda_0$, прекращается. Определите $\lambda_0$, если работа выхода материалов катода и анома $A = 4$ эВ. Постоянная Планка $\hbar = 1,05 \times 10^{-34}$ Дж·с, заряд электрона $e = 1,6 \times 10^{-19}$ Кл.

4. За тонкой положительной линзой с фокусным расстоянием $F_1 = 15$ см расположено выпуклое зеркало с фокусным расстоянием $F_2 = 5$ см. Эта система создает прямое изображение предмета в натуральную величины независимо от его удаления от линзы. Определите расстояние между линзой и зеркалом. (Зеркало находится между линзой и ее фокусом.)

Решение задачарианта 1

1. Во время действия силы $\vec{F}$ груз совершает гармоничное колбания с периодом $T = 2\pi \sqrt{m/k} \approx 0,3$ с около нового положения равновесия, определяемого условием $kx_0 = |\vec{F}|$, где $x_0$ — смешение нового положения равновесия относительно стараго. При этом амплитуда колбаний тоже равна $x_0 = |\vec{F}|/k$, а правое крайное положение груза совпадает с его первоначальным положением. Очевидно, что скорость груза и егоускорение в этот момент равны нулю. Поэтому, если действие силы прекращается именно в этом положении, груз будет оставаться неодвижным. Итак, время $t$ действия силы должно быть равно $\tau = nT$, где $n = 1, 2, 3, \dots$.

Характерной ошибкой при решении этой задачи было неправильное понимание вопроса задачи. После прекращения силы груз будет оставаться неодвижным, если и скорость, иускорение груза равны нулю. Это будет только в крайнем правом положении. (В крайнем левом положении скорость груза действительно равна нулю, ноускорение его отлично от нуля. В тот момент, когда силы уравновешены иускорение груза равно нулю, отлична от нуля его скорость.)

2. Изменение показания диамометра связано с действием на гидро выталкивающей силы, которая равна весу воды в объеме погруженной части грип:

$$|\Delta F| = \rho g S \Delta h,$$

откуда

$$S = \frac{|\Delta F|}{\rho g \Delta h} \approx 6,25 \text{ cm}^2.$$

Эта простая задача оказалась с «подводным камнем», который подавляющее большим истинно абитурентов не заметили и совершенно формировало направление решения. При устном обсуждении задачи многое не могло ответить на вопрос, почему они запи-