Письмо в редакцию

35

Имеем
$$3021_n = 3 \cdot 48 + 0 \cdot 8 + 2 \cdot 2 + 1 = 149_{10},$$
то есть $3021_n$ — это десятичное число 149.

Нетрудно сообщать, что в младшем разряде этой системы придется использовать только цифры 0 и 1, в следующем — цифры 0, 1, 2, 3, в следующем — цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5. Легко понять, как будут выглудеть в этой системе признаки делимости на 2, 8, 48 (числа берутся в десятичной системе): число $a_1 a_2 a_3 a_4$ четно тогда и только тогда, когда $a_4 = 0$; число $a_1 a_2 a_3 a_4$ делится на 8 тогда и только тогда, когда $a_3 = a_4 = 0$ (то есть оканчивается двумя нулями); число $a_1 a_2 a_3 a_4$ делится на 48 тогда и только тогда, когда $a_2 = a_3 = a_4 = 0$ (оканчивается третья нулями).

Научиться считать на «испорченых» счетах совершенно.

Прошло несколько минут, и ребята уверенно складывают и вычитали числа в «испорченой» системе чисс-

ления, решали и другие забавные задачи на «испорченых» счетах.

Предлагаем и вам поprobовать свои силы в решении некоторых задач.

Задачи

1. а) Имеется 23 камешка. При их пересчитывании (по одному) выполняли косточек (по одному) на новых счетах. Как будут выглудеть счеты по окончании пересчитывания всех камешков? Изображите счеты с отмещенным на них результатом пересчитывания и запишите это число в «испорченой» системе.

6. Какое наиболее число можно отложить на «испорченых» счетах? Запишите это число в «испорченой» системе. Какому десятичному числу оно равно?

2. На счетах, изображенных на рисунке, отмещены числа в «испорченой» системе. Каким десятичным числом они соответствуют?

3. Отложите на необъчных счетах десятичные числа 37, 59, 101, 269.

4. Выполните указанные действия (результаты проверте на счетах):
   $$231_n + 120_n; 4021_n + 2521_n; 320_n + 4430_n; 221_n - 30_n; 1001_n - 231_n; 4021_n - 311_n.$$

5. Утройте число 21. Рассказите, как вы выполнили умножение.

6. Выполните умножение $1311_n \times 21_n$.

Письмо в редакцию

Уважаемый товарищ редактор!

Недавно вышла из печати книга В. Гильде и З. Альтрихтера «С микрокалькулятором в руках» (М., «Мир», 1980), рассчи-

танная на массового читателя. Хочу обратить Ваше внимание на опечатки в этой (в целом очень хорошо) книге на с. 38, которые описны прежде всего для юного читателя, поскольку старшее поколевание, возможно, еще помнит правильное значение числа истихи для его запоминания.

Во-первых, приведенное значение числа л неверно в двух последних знаках. Правильное значение составляет 3,1415926536, это округление значения 3,141592653589…

Во-вторых, не подходит извввенный стилок для заполнения числа л. В этом стилке число буков в словах определяет последовательные цифры числа л, но все дело в том, что приведенный в книге текст дает верный результат только в старой орфографии:

Кто и шутя, и скоро
пожелает
Пи узнать число, ужь знаеть!

E. C.

37

в виде дроби не единственно. Так, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \dots$.

Будем искать определение степени $a^r$, где $a > 0$, $r = \frac{m}{n}$, исходя из необходимости сохранения свойства $1^0$. Это значит, что для любых $r_1$ и $r_2$ должны выполняться соответствие $a^{r_1} + a^{r_2} = a^{r_1} \cdot a^{r_2}$.

Предположим, что мы уже знаем, что такое $a^{\frac{m}{n}}$. Пусть $a^{\frac{m}{n}} = k$.

Тогда должно быть $(a^{\frac{m}{n}})^n = k^n = a^{\frac{m}{n}} + \frac{m}{n} + \dots + \frac{m}{n} = a^m$. Окончательно получаем $k = \sqrt[n]{a^m}$.

Это соответствие подсказывает следующие определение:

О пределене 4. Если $a > 0$, то $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Заметим, что для отрицательных $a$ понятие степени с рациональным не целым показателем не определяется. Также заметим, что в учебнике изучению степени с рациональным показателем предшествует тема «Корень $n$-й степени и его свойства» («Алгебра 8», §9), в котором выводятся основные свойства корня $n$-й степени, позволяющие доказать, что приятое нами определение $a^r$ корректно. Под корректностью определения в данном случае понятие независящность числа $a^r$ от записи числа $r$ в виде дроби, то есть, в конечном случае, справедливо равенства $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^{km}}$, где $k \in \mathbb{N}$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$.

Упражнение 3. Повторите свойства корня $n$-й степени и выведите из них свойства $1^0 - 6^0$ степени с рациональным показателем.

Степень с действительным показателем.

В учебнике «Алгебра и начала анализ 10» вводится показательная функция с любым действительным показателем (п. 108). Фактически и здесь ставится задача найти

*) «Алгебра 8», § 10.

«хорошее» определение степени с действительным показателем, причем в самом определении показательной функции перечисляется те ее свойства, которые могут быть выведены из этого «хорошого» определения. Каково же «хорошее» определение степени с любым действительным показателем?

Пусть для определности $a > 1$. Если $x$ — рациональное число, то $a^x$ нами уже определено, причем функция $y = a^x$ в силу свойства $5^0$ возвращает на множество $Q$ всех рациональных чисел (при $0 < a < 1$ функция $y = a^x$ убивает (свойство $6^0$) на множество $Q$).

Для того чтобы продолжить функцию $y = a^x$ на множество $R$ всех действительных чисел, мы сначала потребуем лишь сохранения многоотности этой функции.

Пусть $a$ — irrationalное число, а $r_1$ и $r_2$ — irrationalные числа, для которых $r_1 < a < r_2$. Предположим, что нам уже известно, что такое $a^a$. В силу нашей требования, должны быть справедливны неравенства

$$a^{r_1} < a^{a^a} < a^{r_2}.$$

Таким образом, число $a^a$ должно быть заключено между любыми двумя числами $a^{r_1}$ и $a^{r_2}$, где $r_1 < a < r_2$.

В курсах математического анализа доказывается, что существует единственное число $b$, для которого справедливо все неравенства $a^{r_1} < b < a^{r_2}$, где $r_1$ и $r_2$ — произвольные рациональные числа, для которых $r_1 < a < r_2$.

Это дает возможность следующей определение:

О пределене 5. Пусть $a$ irrationalно и $a > 0$. Тогда $a^a$ — это действительное число, заключенное между любыми двумя числами $a^{r_1}$ и $a^{r_2}$, где $r_1$ и $r_2$ irrationalны и $r_1 < a < r_2$.

Рамки школьного курса не позволяют доказать существование числа $a^a$, и мы примем его на веру. Ограничимся доказательством единственности.

Для доказательства нам понадобится важное и само по себе неравенство Бернулли $(1 + h)^n \geqslant 1 + nh$, где $n \in \mathbb{N}$ и $h \geqslant -1$.

38

Докажем его методом математической индукции.

При $n = 1$ это неравенство верно $(1 + h) \geqslant 1 + h)$. Предположим, что $(1 + h)^k \geqslant 1 + kh$, и докажем, что $(1 + h)^{k+1} \geqslant 1 + (k+1)h$. Имеем $(1 + h)^{k+1} = (1 + h)(1 + h)^k \geqslant (1 + h)(1 + h)^k = 1 + hk + h^2k = 1 + h(k+1) + h^2k \geqslant 1 + h(k+1)$, что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$ при $a > 0$.

Пусть дано $\varepsilon > 0$ и $a > 1^*$, тогда $\sqrt[n]{a} = 1 + \varepsilon_n$, где $\varepsilon_n > 0$. Отсюда, при меняя неравенство Бернулли, получаем $a = (1 + \varepsilon_n)^n \geqslant 1 + n\varepsilon_n$. Поэтому $0 < \varepsilon_n \leqslant \frac{a-1}{n}$. Легко видеть, что $\frac{a-1}{n} < \varepsilon$ при $n > N = \left[ \frac{a-1}{\varepsilon} \right] + 1$.

Мы доказали, таким образом, что $\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$, но это и значит, что $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} (1 + \varepsilon_n) = 1$.

Теперь перейдем к доказательству единственности.

Пусть существует 2 числа $\beta$ и $\gamma$, для которых справедливый неравенства $a^1 < \beta < a^2$ и $a^1 < \gamma < a^2$ при любых рациональных $r_1$ и $r_2$, для которых $r_1 < a < r_2$. Пусть для определения $\beta > \gamma$.

Тогда $0 < \beta - \gamma < a^2 - a^1 = a^1(a^2 - r_1 - 1)$. Ясно, что $a^1 < a^{[a]+1} = c$. Существуют для любого $n \in \mathbb{N}$ такие $r_1^{(n)}$ и $r_2^{(n)}$, что $r_1^{(n)} < a < r_2^{(n)}$ и $r_2^{(n)} - r_1^{(n)} < \frac{1}{n}$.

Для этих $r_2^{(n)}$ и $r_2^{(n)}$ (по свойству $5^0$ для рационального показателя) $0 < \beta - \gamma < c\left(\frac{1}{n} - 1\right)$.

По доказанному ранее, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $N$, что при всех $n > N$ справедливо неравенство $a^{\frac{1}{n}} - 1 < \frac{\varepsilon}{c}$. Поэтому при любом $\varepsilon > 0$ справедливо неравенство $0 < \beta - \gamma < \varepsilon$, что невозможно.

Исходя из определения 5, можно доказать, что для степени с действительным показателем сохраняется все свойства $1^0 - 6^0$, установленные нами для натуральных показателей. Эти и завершаются построение функций $y = a^x$.

*) Слушай $0 < a < 1$ разберите самостояльно.

Следует заметить, что при определении степени с irrationalным показателем мы отошли от приняной ранее схемы: строить определения, лишь исходя из необходимости сохранения свойства $1^0$ можно бесконечным количеством способов.

Точнее, существует бесконечного многофункций $y = f(x)$ таких, что $f(x) = a^x$ при $x \in \mathbb{Q}$, для которых $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$.

Из всех этих функций монotonной (и непрерывной) будет лишь одна построенная нами функция $y = a^x$. Все остальные функции этого семейства устроены достаточно «дико». Например, любая из них не ограничена ни на каком промежутке числовой оси.

Как вычислить $2\sqrt{2}$?

Рассмотрим несколько десятичных приближений $\sqrt{2}$ по недостатку и по избытку. Эти приближения удовлетворяют неравенствам $1 < \sqrt{2} < 2; 1,4 < \sqrt{2} < 1,5; 1,41 < \sqrt{2} < 1,42$. Тогда, по нашему определению 5, число $2\sqrt{2}$ должно удовлетворять неравенствам $2^1 < 2\sqrt{2} < 2^2; 2^{1,4} < 2\sqrt{2} < 2^{1,5}; 2^{1,41} < 2\sqrt{2} < 2^{1,42}$, или $2 < 2\sqrt{2} < 4; 2,6 < 2\sqrt{2} < 2,9; 2,65 < 2\sqrt{2} < 2,68$.

Второе из этих неравенств позволяет найти $2\sqrt{2}$ с точностью до целых, третье — с точностью до десятих. Понятоно, что можно получить значение $2\sqrt{2}$ с любой заданной точностью, взяв соответствующие приближения $\sqrt{2}$.

Ураженяя

4. Чем больше $2\sqrt{3}$ или $3\sqrt{2}$?

5. Докажите свойства $4^0$ и $5^0$ для степени с любым действительным показателем.

6. Докажите свойство $1^0$ для степени с любым действительным показателем.

7. Докажите непрерывность функций $y = a^x$ при $x = 0; 6)$ при $x = x_0$, где $x_0 \in \mathbb{R}$.

8. Пусть $a$ и $\beta$ — irrationalные числа. Можно ли число $a^\beta$ быть рациональным?

9. Докажите, что $y = a^x$ и $y = \exp_a x$ — одна и та же функция.