13
(например, от внешнего воздействия, и добавить всего 10 калорий электрозергини. Поскольку от внешнего холодного воздействия или водного резервуара легко доступно, возникнет заманчивая возможность, затрачивая всего 10 калорий электрозергини, сообщить более теплому помещению 100 калорий теплла.
К сожалению, действительный процесс в термозлектрической батарее не ограничивается выделением и поглощением теплла на спаях. Вдоль ветвей самой термобатараен возникает поток теплла от теплого спая к холодному, который протоведёт переносу теплла в обратном направлении, сопровождающего прохождение тока. Кроме того, часть электрозергиной энергии тока превращается в теплло в обенх ветях термозлемента.
В результате наличия этих двух процессов использование электрозергини резко снижается: приходит добавлять не 10% электрозергини, а около 60%. Но и такой результат представляет значительный интерес: затрата электрозергини составляет только около половины теплоты, поступающей в помещение, остальная половина доставляется более холодным наружным воздухом или проточной водой. Чем меньше разность по сравнению с , тем вышее окажется термозлектрическая батарея по сравнению с электрозеркой печью сопротивления.
Термозлектрическая батарея обладает и другим важным преимуществом. Если изменить направление тока на противоположное, то наружных спаях начинает выделяться теплота , а нагревашие помещение спая будет оптимать теплоту , охлаждая помещение. В жаркое время года та же термобатара может охлаждать воздуха. Регулируя силу и направление тока в батарее, можно поддерживать в помещении одну и ту же температуру при любых температурах внешнего воздуха.
Охлаждение, вызываемое термозлектрической батареей, можно, как мы уже упоминали, использовать для осуществления холодильника. Тепленные спая отделяют получаемую ими теплоту в окружающей воздуха или в водопроводную воду, холодные спая, находящиеся внутри холодильного шкафа, отличают теплоту, поддерживая в нем желательную низкую температуру.
В современной технически изменяющие типы холодильных машин. Чем меньше в них необходимых процессов, тем также машины выгоднее, тем более их коэффициент полезного действия к термодинамическому. Существуют сложные холодильные машины с большим коэффициентом полезного действия, чем термозлектрические, но последние обладают преимуществам простоты и отсутствия движушихся механизмов.
В коллекцию фильтров
В нашей стране недократно выпускались почтовые марки, посвязываемые выдощимся советским физикам и математикам —резиденту Академии наук СССР академику С. И. Вавилову, академик И. В. Курчатову, Л. А. Аршимович, М. Д. Миллионшкову, И. Г. Петровскому, А. Н. Крылову. В конце 1980 года эта коллекция пополнилась маркой с изображением выдощения советского физика академика А. Ф. Иоффе. Она выпущена в связи с юбилеем —столетием со дня его рождения.
В. Рудов
15
Так, группоны (Z; +), (R; •) коммутативны, но (R₀; :), конечное же, нет: например, 8:4 ≠ 4:8 !
Свойство А. Группонд (M;*) называется ассоциативным, если для любых a, b, c ∈ M
(ab)c = a(bc).
По-видимому, все известные вам операции этим свойством обладают; примеры не ассоциативных группондов появятся ниже (см. задачу 2).
Свойство Е. Элемент e ∈ M называется нейтральным (говорят еще.edиницым, а для операции сложения — нульевым) в группонде (M; *), если для любого a ∈ M
ae = ea = a.
Мы будем говорить, что группонд (M; ) обладает «свойством Е». если в нем есть нейтральный элемент. Выкладка e = ee’ = e’ показывает, что нейтральный элемент всегда единственный.
Для сложения чисел нейтральным элементом служит число 0, для умножения — число 1. А есть ли нейтральный элемент в группонде всех перемещений плоскости (относительно операции композиции перемещений)? Конечно же, есть — тоже действенное преобразование.
Свойство И. Пусть (M; *) — группонд с нейтральным элементом e. Тогда (M; *) обладает свойством инверсности (говорят еще обратимости), если для любого a ∈ M можно указать обратный элемент, то есть такой элемент a̅ ∈ M, что
aa̅ = aa = e.
Для умножения чисел, например, операным для элемента a ≠ 0 служит элемент 1/a, а при сложении — элемент (-a). А вот для группонд (N; +) сложения натуральных чисел неет свойства инверсности (почему?)
Свойство С. Группонд (M; *) обладает свойством сократимости, если для любых a, b, c ∈ M
ab = ac ⇒ b = c
ba = ca ⇒ b = c.
Вам, наверное, пока трудно себе представить группонд, в котором эти
Рис. 1.
правила не действуют. Но такие примеры вы сейчас увидите!
Задача 2. Исследуйте, каким из свойств K, A, E, И, C обладают следующим группондами:
а. (R; ), еде для любых x, y ∈ R xy = max(x, y)
(max(x, y) — наиболее из чисел x, y).
б. (N; ), еде xy = HOK (x, y)
(HOK — наиболее общее критое).
в. (R²; *), еде R² — координатная плоскость u для произвольной пары точек (a; b) u (c; d)
(a; b) * (c; d) = (ac; bc + d).
Задача 3. Пусть Π — множество точек плоскости. Определим на этом множество алgebraической операцию * следующим образом: Пусть A, B ∈ Π; если A = B, то считаем, что AA = A; если A ≠ B, положим AB = C, еде C — третья вершина правильного положительного орientированного*) треугольника ABC (рис. 1). Исследуйте свойства группонда (П, *).
Какие группонды невозможны?
Составим таблицу всех мыслиемых сочетаний пяты рассмотренных свойств. Эти выделяются различные типы группондов (M; *). Каждый такой тип мы охарактеризуем пятеркой букв вида К А Е И С. В этой записи буква Козначает, что группонд обладает свойством коммутативности, буква А — что свойство
*) Треугольник ABC называется положительно ориентированным, если обход вершин в порядке A→B→C осуществляется против часовой стрелки.
16
ассоциативности не имеет места и т. д.
Мы получим всего 32 сочетания:
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
Однако не все указаны здесь типы группподов существуют. Давайте совместимыми условиями докажем, что группподы, тип которых напечатан красным шрифтом, на самом деле невозможны.
Проще всего решается вопрос с теми типами, в обозначении которых встречается сочетание ЕИ (таких типов всего 8). Противоречность ЕИ и И становится совершенно ясной из анализа формулировки свойства И.
Задача 4. Докажите, что АЕИ ⇒ С,
то есть одновременное выполнение свойств А, Е и И влечет за собой выполнение свойства С.
Эта теорема исключает в нашей таблице еще два сочетания (какие?).
Какие группподы существуют?
Итак, из 32 пероначально намеченных типов группподов у нас осталось 22. Мы подошли теперь к основной задаче этой статьи:
Задача 5. Докажите, что все группподы, тип которых напечатаны черным шрифтом, существуют.
Как доказать существование математического объекта? Проще всего — построить пример. В самом деле, если мы сложем привести конкретный пример групппода, обладающего, скажем, свойствами КАЕИС, то этим самым докажем существование данного типа группподов.
Следовательно, чтобы решить задачу 5, достаточно сделать такую задачу:
Задача 7. Пусть M = {a, b, c}, а операция * задана «таблицей умножения» (рис. 2). Каков тип групппода (M; *)?
Задача 8. Рассмотрим групппод (R; ), где для любых x, y ∈ R xy = (√3x + √3y - √32)³.
Каков тип групппода?
Задачи 7 и 8 подсказывают два способа задания группподов — таблицы и формулы. Эти способы могут вам пригодиться при решении основной задачи 5′.
Конечные и бесконечные группподы
Групппод (M; *) называется конечным или бесконечным в зависимости от того, конечно или бесконечно множество M.