Đại học bang Voronezh được đặt theo tên. Lênin Komsomol

50

Đại học bang Voronezh được đặt theo tên. Lênin Komsomol

Toán học

Bài thi viết

Tùy chọn 1
(Khoa Toán và Khoa Toán ứng dụng và Cơ học)

1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = \frac{x+1}{x}$ nếu biết tiếp tuyến đi qua điểm $M(a, b)$. Có bao nhiêu lời giải tùy theo cách chọn điểm $M(a, b)$? Tìm những lời giải này.

2. Mỗi số trong số ba số $lg a, lg b, lg c$ và $lg a - lg2b, lg2b - lg3c, lg3c - lg a$ là một cấp số tranh luận. Các số $a, b, c$ có ​​thể dùng làm độ dài các cạnh của một tam giác không? Nếu vậy thì nó sẽ là hình tam giác như thế nào? Tìm các góc của tam giác này nếu nó tồn tại.

3. Giải phương trình
   $$\left(\frac{4}{9}\right)^{\sqrt{x}} = (2,25)^{\sqrt{x}-4}.$$

4. Cho một đặc điểm hình tam giác vuông $ABCA_1B_1C_1$, trong đó $ABC$ và $A_1B_1C_1$ là các hình tam giác đều ở cạnh $b$, tương ứng là các đáy dưới và trên của đặc điểm này. Ở bên $[BC]$ lấy điểm $K$ sao cho góc $KAC = \alpha$, $\alpha < \frac{\pi}{3}$. Cho rằng diện tích toàn phần của tam giác là $\frac{3}{2}a^2$, hãy tìm diện tích của tam giác $AKC_1$.

Tùy chọn 2
(Khoa Vật lý)

1. Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$, khoảng cách giữa sởi là 120 km, người đi biển lên đường. Sau một giờ kể từ đó, người lái thứ hai rời đi $A$ trên một chiếc xe đạp có động cơ, sau khi gọi người đầu tiên và chuyển lệnh cho anh ta, ngay lập tức quay trở lại với tốc độ tương tự và quay trở lại $A$ tại thời điểm truy cập đầu tiên $B$. Vận tốc của người thứ nhất là bao nhiêu nếu vận tốc của người thứ hai là 50 km/h?

2. Cho một điểm $A$ trên đường tròn bán kính 10 cm. Khoảng cách từ điểm $A$ là bao nhiêu để kiểm tra chuyển động $[BC]$ song song với tiếp tuyến tại điểm $A$, sao cho diện tích tam giác $ABC$ là chính xác nhất.

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log \frac{1}{3}(3x+4) > \log \frac{1}{3}(x^2+2).$$

4. Chứng minh cử chỉ tương tự
   $$\frac{1}{2}(\cos t + \sqrt{3}\sin t) = \cos \left(\frac{\pi}{3} - t\right).$$

Tùy chọn 3
(Khoa Địa chất và Khoa Thủy văn, Khoa Địa lý)

1. Trong tam giác vuông $ABC$, trong đó $\widehat{C} = 30^\circ$, đường trung tuyến $[BK]$ được vẽ từ đỉnh của góc vuông $B$. Tìm diện tích tam giác $BCK$ nếu chiều dài chân $[AB]$ là 4 cm.

2. Xác định các hệ số của phương trình bậc hai $x^2 + px + q = 0$ sao cho nghiệm của nó bằng $p$ và $q$.

3. Các đường chéo của hình thang $ABCD$ cắt nhau tại điểm $O$. Xác định sin và cosin của các góc $AOD, DOC, COB$, nếu cosin của góc $AOB$ bằng 7/25.

4. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{2x+3}{\varphi'(x)} > 0,$$
   ở đâu $\varphi(x) = \ln(x^2+3x-10)$.

Bài thi vấn đáp
Khoa Toán và Khoa Toán Ứng dụng và Cơ học

1. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$S = \log_2 3 + \log_2 3^3 + \log_2 3^5 + \ldots + \log_2 3^{801}.$$

2. Tiếp điểm của đường cong này phải đi qua điểm $A$ nào trên đường cong $y = -x^2 + 2x$ để hình thang tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng $x=0, y=0, x=1$ có ​​diện tích nhỏ nhất?

3. Giả sử $f(x)$ được xác định cho tất cả $x \neq 0$ và $f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2$. Tìm $f(2)$.

4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} |x+y| = 1, \\ |x|+|y| = 1. \end{cases}$$

5. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{1-x} + \sqrt{2x-3} < 5.$$

Khoa Vật lý

6. Đối với đồ thị của hàm $y = \ln x^2$, hãy dựng một tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = -x$. Một đường vuông góc với một tia khác được thả vào nó, một đường vuông góc với $[AB]$ được thả từ đáy của nó, v.v. Tìm độ dài của đường đứt đoạn vô hạn thu được.