Sự giao thoa của ánh sáng

45

Sự giao thoa của ánh sáng

Tất cả chúng ta đều quen thuộc với các mô hình giao thoa từ khi còn nhỏ. Đây là những đốm cầu vồng do xăng đổ trên vũng nước, những bông hoa bong bóng xà phòng rực rỡ. Cơ chế hình thành vân giao thoa nhiều màu khá phức tạp. Chúng ta hãy giới hạn việc xem xét sự can thiệp vào những ví dụ đơn giản hơn.

Trong từ điển bách khoa vật lý, chúng ta đọc: “Giao thoa là sự thành công hay suy yếu biên độ của sóng tạo ra, tùy thuộc vào sự tương ứng giữa pha của hai (hoặc một số) sóng có cùng chu kỳ cộng lại trong không gian. Giao thoa xảy ra đối với tất cả các sóng, bất kể bản chất của chúng.” Về vấn đề này, chúng ta có thể nói thêm rằng mô hình giao thoa sẽ ổn định nếu các sóng gấp không chỉ có chu kỳ giống nhau mà còn có độ dịch pha không đổi (không phụ thuộc vào thời gian). Những sóng như vậy được gọi là kết hợp.

Chúng ta hãy nhớ lại hình thức giao thoa phát sinh như thế nào khi cộng thêm các dao động từ hai nguồn sáng kết hợp chính xác. Các vectơ chỉ phương $\vec{E}$ của trường điện tử (còn gọi là vectơ ánh sáng) trong sóng điện tử do nguồn phát ra có thể viết dưới dạng

$$E_1 = A_1 \cos \omega t, \\ E_2 = A_2 \cos (\omega t + \varphi_0).$$

Để đơn giản, chúng ta hãy xem xét trường hợp khi các nguồn sáng cùng pha (độ lệch pha $\varphi_0 = 0$) và biên độ dao động là như nhau ($A_1 = A_2 = A$).

Đặt khoảng cách từ các nguồn $S_1$ và $S_2$ đến điểm quan sát $C$ trong mặt phẳng $P$ lần lượt là $r_1$ và $r_2$ (Hình 1). Trên đường đi từ nguồn đến điểm quan sát, sóng sẽ có độ lệch đường đi là $\Delta r = r_1 - r_2$. Tại những điểm của mặt phẳng $P$ nơi các sóng đến cùng pha (nghĩa là có độ lệch đường đi $\Delta r = k\lambda$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ), chúng sẽ ngủ lẫn nhau và kết quả sẽ là một vectơ ánh sáng $\vec{E}$ sẽ dao động với biên độ $2A$. Tại những điểm này có cực đại giao thoa. Khi hai sóng có biên độ bằng nhau đến ở các pha ngược nhau (nghĩa là có hiệu đường đi bằng số lẻ nửa sóng: $\Delta r = (2k + 1)\lambda/2$), chúng sẽ triệt tiêu lẫn nhau hoàn toàn. Tại những điểm này có mức giao thoa cực tiểu, tại đó không có dao động: $E = 0$ bất kỳ lúc nào.

Mắt quan sát mô hình theo thời gian (ở tần số tương ứng với dao động ánh sáng, mắt “không nhận thấy” sự dao động) và phản ứng với cường độ ánh sáng tỷ lệ với giá trị trung bình của bình phương của vectơ ánh sáng thu được ($E^2$).

Anh ấy sẽ thấy gì? Nếu mặt phẳng quan sát song song với đường thẳng $S_1S_2$ (như trong Hình 1) và khoảng cách $d$ giữa các nguồn nhỏ so với khoảng cách $L$ đến mặt phẳng $P$,

46

Hình 2.

Họa tiết giao thoa là một hệ thống các sọc sáng và sọc tối xoáy tròn. Bằng cách đặt mặt phẳng quan sát vuông góc với đường $S_1S_2$, người ta có thể thấy vân giao thoa dưới dạng bánh xe đồng tâm.

Hãy quay lại Hình 1. Sóng đến điểm O với độ lệch đường đi $\Delta r = 0$. Góc $\Omega = d/L$ mà tại đó các nguồn có thể nhìn thấy được từ điểm O (và tại $d/L \ll 1$ từ bất kỳ điểm quan sát nào) được gọi là góc hội tụ của tia giao thoa, hay góc giao thoa. Khoảng cách giữa tâm của các sọc sáng (hoặc tối) liền kề được gọi là chiều rộng của vân giao thoa. Hãy xem nó phụ thuộc vào điều gì.

Bài toán 1. Hai sóng phẳng giao nhau. Tính độ rộng x của vân giao thoa nếu góc hội tụ của sóng trên màn là $\Omega$ và bước sóng là $\lambda$.

Hình 2 cho thấy vị trí của các mặt sóng tại một số thời điểm. Các đường liền màu xanh lam (và màu đỏ) nối các điểm mà tại thời điểm này, hướng của điện trường có giá trị biên độ là $E = +A$. Khoảng cách giữa các đường liền kề là $\lambda$. Các đường đứt nét nối các điểm có hướng của trường là $E = -A$.

Tại các điểm O, M, N, $M', N'$, v.v., hai sóng gặp nhau cùng pha. Vì pha dao động của cả hai sóng thay đổi như nhau theo thời gian ($\varphi = \omega t + \varphi_0$), nên tại bất kỳ thời điểm nào, các sóng sẽ đến các điểm này theo cùng pha và do đó, củng cố lẫn nhau. Các điểm O, M, N, $M', N'$ tương ứng với cực đại giao thoa.

Từ Hình 2 có thể thấy rằng $NOC = \Omega/2$, $|ON| = 2x$ và $|CN| = \lambda$. Từ việc tuân thủ

$$\frac{\lambda}{2x} = \sin \frac{\Omega}{2} \approx \frac{\Omega}{2}$$

chúng ta sẽ tìm

$$x = \frac{\lambda}{\Omega}$$

• độ rộng của vân giao thoa phụ thuộc vào bước sóng của nguồn và góc hội tụ. Kết quả này có giá trị đối với mọi sơ đồ giao thoa có góc hội tụ nhỏ của các tia (ở một khoảng cách vừa đủ so với nguồn, sóng luôn có thể được coi là phẳng). Riêng đối với các nguồn chính xác (xem Hình 1)

$$\Omega = \frac{d}{L} \text{ и } x = \frac{\lambda}{\Omega} = \frac{\lambda L}{d}$$.

Trong ánh sáng đỏ ($\lambda \approx 7 \cdot 10^{-7}$ m), các vân rộng hơn trong ánh sáng xanh ($\lambda \approx 5,5 \cdot 10^{-7}$ m); khi màn hình di chuyển ra khỏi nguồn, các sọc sẽ mở rộng ($x \sim L$); việc hợp nhất các nguồn cũng dẫn đến việc mở rộng các dải ($x \sim 1/d$).

Lưu ý rằng hai nguồn độc lập chung là không đúng vì độ lệch pha của sóng phát ra từ chúng không phải là hằng số. Để có được hình ảnh giao thoa rõ ràng, ánh sáng từ một nguồn được chia thành hai chùm tia. Ví dụ, điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một trong các sơ đồ được trình bày trong Hình 3. Bằng cách đặt màn hình ở nơi các chùm ánh sáng phát ra từ hai nguồn (hoặc ảnh của chúng) $S_1$ và $S_2$ giao nhau, có thể quan sát được các vân giao thoa.

Đây là một ví dụ khác.

Bài toán 2. Một dải rộng $a = 5$ mm được cắt ra khỏi dây thu có tiêu cự $F = 50$ cm và đường kính $D = 5$ cm, các phần còn lại được vặn chặt (Hình 4). Ở khoảng cách $d = 75$ cm tính từ đường thẳng có một nguồn sáng chính xác S.

47

số lượng dải tối đa trong mẫu giao diện cho bước sóng $\lambda = 5 \cdot 10^{-7} \text{ m}$?

Chúng ta hãy xây dựng hình ảnh của nguồn $S$ ở nửa trên của đường trung tuyến (Hình 5). Tia $SO$, song song với trục quang, sau khi khúc xạ ở phần trên của đường thẳng bị đẩy qua tiêu điểm $F_1$ của nó. Chùm tia $SA$ khúc xạ trong thấu kính phải gặp tia song song $KO_1$ tại điểm $M$ của mặt phẳng tiêu điểm của thấu kính (tia $KO_1$ đi qua quang tâm $O_1$ của nửa trên thấu kính mà không bị khúc xạ).

Giao điểm của các tia mở rộng $AM$ và $OF_1$ cho vị trí ảnh $S_1$ của nguồn ở khoảng cách $f$ tính từ thấu kính.

Hình 4.

Hình 5.

48

Ảnh nguồn $S_2$ ở nửa dưới của đường thẳng nằm đối xứng với trục hệ thống.

Từ Hình 5, rõ ràng là trong trường hợp này diện tích chồng lên nhau của các dầm bị giới hạn và nằm giữa thấu kính và điểm giao nhau của các dầm $AS_1$ và $BS_2$. Ở khoảng cách $l$ tính từ thấu kính, kích thước $|CE|$ của vùng chồng lấp là tối đa. Tại đây, bạn có thể quan sát các dải $N = \frac{|CE|}{x}$, trong đó $x = \frac{\lambda}{\Omega}$ là chiều rộng của dải. Do đó, góc hội tụ là $\Omega = \frac{|S_1S_2|}{f-l}$

$$N = \frac{|CE|}{\lambda} \frac{|S_1S_2|}{f-l}.$$

Từ sự giống nhau của tam giác $F_2F_1O$ và CEO ta tìm được

$$|CE| = |F_2F_1| \frac{l}{F} = \frac{al}{F},$$

và từ sự giống nhau của các tam giác $AOC$ và $S_1S_2C$ -

$$|S_2S_1| = |AO| \frac{f-l}{l} = \frac{D-a}{2} \frac{f-l}{l}.$$

Rồi cuối cùng

$$N = \frac{|CE|}{\lambda} \frac{|S_1S_2|}{f-l} = \frac{a(D-a)}{2F\lambda} = 450 \text{ полос.}$$

Khi mặt phẳng quan sát di chuyển ra khỏi thấu kính, các sọc trở nên hẹp hơn ($\Omega$ tăng). Chiều rộng của vùng chồng lên mặt phẳng $CE$ tăng rồi giảm, hơn nữa, nhanh hơn chiều rộng của dải. Do đó, số sọc tối đa được quan sát thấy trên mặt phẳng $CE$ – phần rộng nhất của vùng chồng lấp.

Để kết luận, chúng ta hãy xem xét một số bài toán được đưa ra trong kỳ thi tuyển sinh vào Viện Vật lý và Công nghệ Moscow.

Bài toán 3 (1980). Nguồn đơn sắc chính xác $B$ được di chuyển ra khỏi nguồn đơn sắc chính xác $A$ (các nguồn cưỡng bức và cùng pha) cho đến khi xảy ra hiện tượng tối dần tại điểm $O$, nơi quan sát thấy hiện tượng giao thoa (Hình 6). (Khoảng cách giữa $A$ và $B$ bằng $d = 2\pi m$.) Khoảng cách giữa các nguồn

Hình 6.

com $A$ và màn hình $L = 9$ m. Bạn cần di chuyển màn hình sang nguồn $A$ bao nhiêu để màn hình bị tối ở điểm $O_1$?

Khi nguồn $B$ di chuyển ra xa, điểm tối đầu tiên tại điểm $O$ sẽ xảy ra với điều kiện là độ chênh lệch đường truyền sóng từ $B$ và $A$ bằng 1/2 bước sóng:

$$\Delta r = |BO| - |AO| = \frac{\lambda}{2},$$

hoặc

$$\sqrt{L^2 + d^2} - L = \frac{\lambda}{2}. \tag{1}$$

Nếu màn hình được đưa đến gần các nguồn ở khoảng cách $l$ thì mức tối thiểu tại điểm $O_1$ sẽ tương ứng với hiệu đường truyền là 3/2 bước sóng:

$$\Delta r_1 = |BO_1| - |AO_1| = \frac{3\lambda}{2},$$

hoặc

$$\sqrt{(L-l)^2 + d^2} - (L-l) = \frac{3\lambda}{2}. \tag{2}$$

Chúng ta hãy biến đổi biểu thức (1) và (2) và sử dụng công thức gần đúng $(1+x)^{1/2} = 1 + \frac{x}{2}$ cho $x \ll 1$:

$$\sqrt{1 + \left(\frac{d}{L}\right)^2} - 1 = \frac{\lambda}{2L},$$

$$\sqrt{1 + \left(\frac{d}{L-l}\right)^2} - 1 = \frac{3\lambda}{2(L-l)},$$

hoặc

$$d^2 = \lambda L,$$

$$d^2 = 3\lambda(L-l).$$

Từ đây

$$l = \frac{2}{3} L = 6 \text{ м.}$$

Bài toán 4 (1974). Trong sơ đồ giao thoa với gương Lloyd, nguồn chính xác $S$ được định vị

49

chỉ từ $S$ trong khu vực $AB$. Hãy để chúng tôi giới thiệu các ký hiệu sau: $|AB|=h$, $|AC|=z$; thì từ sự đồng dạng của các tam giác ta tìm được

$$\frac{b+d}{a} = \frac{L-b-d}{z-h},$$

$$\frac{b}{a} = \frac{L-b}{z}.$$

Từ đây

$$h = \frac{La/b}{1+b/d} \approx 16,7 \text{ см.}$$

Bài tập

1. Hai nguồn đơn sắc chính xác cùng pha được đặt ở khoảng cách $d$ với nhau (Hình 8). Primo dưới nguồn $I$ ở khoảng cách $H=8$ m quan sát thấy nhiễu. Lần đầu tiên quan sát thấy vết sẫm màu ở điểm $A$ là ở $d_1=2$ mm. Lần tiếp theo bóng tối xảy ra ở khoảng cách $d_2$. Tìm khoảng cách này.

2. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự $F=50$ cm và đường kính $D=5$ cm được cắt làm đôi dọc theo đường kính của nó và hai nửa cách nhau một khoảng $a=5$ mm (xem Hình 3, 2). Nguồn sáng chính xác $S$ nằm ở khoảng cách $d=1$ m tính từ ống kính. Ở khoảng cách tối thiểu $l$ từ thấu kính có thể quan sát được vân giao thoa? Khoảng cách giữa hai nửa thấu kính được đóng lại.

3. Trong sơ đồ với bazer Fresnel (xem Hình 3, 8), hai gương phẳng giống hệt nhau tạo thành một góc $2\alpha=0,1$ rad. Nguồn chính xác $S$ nằm trên phân giác của góc cách đường giao nhau của gương $d=20$ cm. Ở kích thước tối thiểu của gương $a$ có thể quan sát được các vân giao thoa trên màn hình từ xa $P$? Các tia từ nguồn không tới được màn hình.

Hình 7.

Hình 8

ở khoảng cách $b=20$ cm theo chiều ngang so với gương phẳng, ở độ cao $a=10$ cm so với mặt phẳng của gương (Hình 7, a). Chiều dài của gương là $d=10$ cm. Cách nguồn $L=1$ m có màn chắn $P$. Xác định kích thước dọc của vân giao thoa trên màn.

Chúng ta hãy dựng một hình ảnh $S_1$ của nguồn $S$ trong gương phẳng (Hình 7, b). Các tia từ nguồn $S$ chiếu sáng gần như toàn bộ màn hình. Tia từ ảnh $S_1$ (tia phản xạ từ gương) trùng với tia