Viện kiến ​​trúc Moscow

57

7. Một electron có năng lượng $W = 10^3$ EV xuất hiện trong một điện trường đều có cường độ $|E| = 800$ V/cm ở góc $\alpha = \pi/2$ so với các đường sức. Hướng và độ lớn của cảm ứng từ trường phải bằng bao nhiêu để electron không bị lệch khỏi chuyển động thẳng? Khối lượng của một electron là $m_e = 9,1 \times 10^{-31}$ kg.

8. Sau khi sạc tụ điện có công suất $C$ từ nguồn điện áp không đổi $U$, công tắc $K$ sẽ chuyển mạch cuộn cảm $L_1$ (Hình 2). Xuất hiện các dao động điều hòa có biên độ dòng điện $I_{m1}$ trong mạch. Thí nghiệm được lặp lại theo sơ đồ trước, thay cuộn dây bằng cuộn dây khác, độ tự cảm $L_2 = 2L_1$. Tìm biên độ hiện tại $I_{m2}$ cho trường hợp thứ hai.

9. Một nguồn sáng điểm đặt trên trục quang của một thấu kính hội tụ có tiêu cự $F_1 = 30$ cm và cách nó $d_1 = 120$ cm. Ở phía bên kia của thấu kính, một thấu kính phân kỳ được đặt trong mặt phẳng tiêu cự của nó. Tiêu cự $F_2$ của thấu kính phân kì là bao nhiêu nếu tia sáng sau khi đi qua thấu kính thứ hai dường như phát ra từ chính nguồn đó?

10. Một trong các bản của tụ điện phẳng có khoảng cách giữa các bản $d = 10$ mm được chiếu sáng bằng tia X, tia X loại bỏ các quang điện tử khỏi nó. Chúng tôi giả sử rằng vận tốc của các electron này giống hệt nhau về giá trị tuyệt đối và bằng $|\vec{v}| = 10^6$ m/s. Các electron được thu thập trên tấm thứ hai. Từ mỗi cm vuông của $(S_1)$ tấm có $n = 10^{13}$ electron thoát ra trong một giây. Sau thời gian nào $t$ dòng quang điện dừng lại? Điện tích $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ C, khối lượng $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ kg, hằng số điện $\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}$ F/m.

A. Bakaev, S. Preobrazhensky

Viện kiến ​​trúc Moscow

Toán học

Bài toán thi vấn đáp

1. Các số $a^2, b^2, c^2$ tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng các số $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ cũng tạo thành một cấp số cộng.

2. Vẽ đồ thị hàm số
   $$y = |x-1| + |x-2| + x.$$

3. Giải phương trình
   $$5^{\lg x} = 50 - x^{\lg 5}.$$

4. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{cases} (3x+y)x-y = 9, \\ x-y\sqrt{324} = 18x^2 + 12xy + 2y^2. \end{cases}$$

5. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2 2 \cdot \log_2 x 2 \cdot \log_2 4x > 1.$$

6. Chứng minh cử chỉ tương tự
   $$\sin^4 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \frac{1}{16} - \frac{1}{32} \cos 2\alpha - \frac{1}{16} \cos 4\alpha + \frac{1}{32} \cos 6\alpha.$$

7. Tìm giới hạn
   $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1}{x - \frac{\pi}{2}}.$$

8. Qua gốc tọa độ vẽ một đường thẳng chia tam giác cong có đỉnh ở gốc, giới hạn bởi các đường $y = 2x - x^2$, $y = 0$, $x = 1$, thành hai phần bằng nhau.

9. Bề mặt hoàn toàn của một đường thẳng tứ giác đều bằng $S$ và góc phẳng của mặt bên tại đỉnh bằng $a$. Tìm chiều cao của đường thẳng.

Vật lý

Bài toán thi vấn đáp

1. Một vật nhỏ trượt khỏi đỉnh của một hình cầu có bán kính $R$. Ở độ cao bao nhiêu tính từ đỉnh thì vật sẽ rời khỏi bề mặt quả cầu? Bỏ qua rác rưởi.

2. Một đèn chùm có khối lượng $m = 100$ kg được treo vào trần nhà bằng một sợi dây kim loại dài $l = 5$ m. Xác định độ cao nghiêng đèn chùm để dây xích không bị đứt trong những lần xoay tiếp theo. Được biết, đứt xích xảy ra ở lực căng $T = 1960$ N.

3. Một chiếc cốc hình bán cầu có bán kính $R$ quay quanh một trục vuông với vận tốc góc không đổi $\omega$ (Hình 1). Có một quả cầu có khối lượng $m$ ở trong cốc, nó quay cùng với nó. Tìm góc $\varphi$ xác định vị trí cân bằng của quả bóng trong cốc.

4. Một cm rơi từ độ cao $h = 1,2$ m với một tải trọng sẽ đập vào chính nó, do va chạm sẽ đi vào mặt đất $s = 2$ cm. Xác định lực trung bình của lực va chạm và thời gian va chạm nếu khối lượng của tải trọng là $M = 5 \cdot 10^2$ kg và khối lượng của vật nhỏ hơn khối lượng của tải trọng.

5. Thanh $AB$ nằm trên sàn gồ ghề và phần nhô ra nhẵn $C$ (Hình 2). Khoảng cách $|AC| = 0,75|AB|$. Theo tỉ lệ tam giác nào thì thanh sẽ tạo một góc $a = 45^\circ$ với sàn ở vị trí cân bằng?

58

6. Phải tác dụng lực nào vào hai đầu của thanh thép có tiết diện $S=10$ cm² để thanh thép không bị giãn nở khi nung từ $t_1=0^\circ C$ đến $t_2=30^\circ C$? Mô đun đàn hồi của thép $E=21 \cdot 10^{10}$ H/m2; hệ số nhiệt độ giãn nở tuyến tính của thép $\alpha=1,2 \cdot 10^{-5} K^{-1}$.

7. Tại mỗi đỉnh của hình vuông có điện tích +Q. Hỏi phải đặt điện tích âm có kích thước bao nhiêu ở giữa hình vuông để hệ điện tích cân bằng?

Yu. Metseryakov,
V. Smirnov

Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

(Để bắt đầu, xem trang 41)

(Arkhangelsk) 55, 57; A. Kozan (Odeska) 35—37, 39—43, 46, 50—52, 54, 55, 60; V. Koziy (Vinnitsa) 46, 50-52; S. Kozlov (Moscow) 33, 35, 36, 38-41, 43-46, 50-54, 57; Yu. Kokshaarov (Mytshi) 39, 40; A. Koliin (Alma-Ata) 39, 45; V. Komov (Alexandrov) 33, 35, 38-44, 51-55, 60, 62; I. Kompaneitsev (Alma-Ata) 33, 35, 36, 39-43, 50-52, 55, 62; V. Korobov (Kirovgrad) 39, 41; A. Kostyukovsky (Kharkov) 35, 36, 52, 57; A. Krushchelnitsky (Kazan) 46; D. Kubanov (Moscow) 39, 40, 42; A. Kubyshkin (Kyiv) 33, 39, 44, 53, 55, 57, 59, 60; L. Kudryavtsev (Neftekamsk) 40, 45, 51; S. Kudryavtsev (Magadan) 35, 40, 41, 46, 50-55, 62; A. Kultsin (Moscow) 52; L. Kuchuk (Minsk) 46, 52; I. Lisovsky (Minsk) 39, 51, 52, 60, 62; Yu. Lovvin (Lida) 36, 50-52; I. Lukyanchik (Kyiv) 39, 40, 46, 50—52, 54, 60; A. Lyapin (Moscow) 35, 36, 39—46, 50—53, 55; E. Maenkova (Budennovsk) 35; I. Mandritsenko (Kyiv) 39, 40, 45, 46, 60; D. Mansurov (Akstafa) 57; A. Milman (Odeska) 38—41, 43—46, 52; L. Milman (Minsk) 50-52; A. Mitko (Gomel) 35; S. Mikhailovsky (làng Kontsegorye, vùng Arkhangelsk) 35, 43, 44, 46, 52, 54, 55; S. Mokrousov (Leningrad) 52; D. Munkin (làng Kizhinga Bur. Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị) 40; A. Mushinsky (Minsk) 54; V. Mytinsky (Chudovo) 35, 39; A. Naiden (Berlin, CHDC Đức) 35, 39-41; M. Naydzvin (Baku) 51-55, 57; S. Nesterenko (Krasnogrsk) 50—52, 57; S. Obozuev (Leningrad) 52, 54, 57; S. Odintsov (Kyiv) 35, 39, 52; A. Ospov (Sosnovy Bor) 33, 36-39, 41, 43-46, 50-52, 54, 57; I. Osovyak (làng V. Dederkaly, vùng Ternipil) 41; Yu. Ostapuk (Zdolbunov) 40, 52, 57; A. Okhalkin (Lviv) 52; Yu. Pavlov (Leningrad) 46, 50-52; A. Pavlychev (Riga) 33, 35, 38, 39, 42, 52; S. Pashenko (Kyiv) 46, 51-52; A. Pelekh (Kazatyn) 35, 38, 40, 46, 51, 52; V. Pentezov (Kyiv) 35—37, 50, 60, 62; I. Polyubin (Ivanovo) 62; E. Ykovlev (Kalinerrad, vùng Moscow) 50-52; V. Ponikarov (Kuibyshev) 57; A. Ponomaren-ko (Kyiv) 40; V. Prshinko (Kyiv) 35, 37, 50-52; K. Prozorov (Dmitrov) 35, 40; L. Pryadko (trang 42655) 50, 51, 53, 55, 57; E. Rozman (Kyiv) 35, 36, 46, 52; V. Rublev (Kyiv) 36; S. Rulev (Kramatorsk) 46, 50—55, 57, 60, 62; A. Saltanov (Novopolyuk) 51, 52, 57, 60; A. Sanzhur (Kyiv) 33, 35, 40, 43, 46, 50-54, 57, 60; A. Safonov (Barnaul) 52; A. Sereda (Donets) 33, 52, 57; A. Sidorenkov (Smolensk) 38, 39, 52; V. Sidorin (Rutov) 40, 52; A. Smirnov (Kurgan) 37, 39, 41, 50—53, 55, 60, 62; I. Smolyarenko (Minsk) 36; A. Sokol (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 35, 43, 45, 50—52, 54, 55, 57, 59, 60, 62; I. Solovey (Donets) 36; A. Sokhet (Kharkov) 52; D. Stenanov (Arzamas) 35; S. Streletsky (Lviv) 59, 60; L. Streshiny (Donets) 50-52; K. Tabullin (Moscow) 53—55, 57; Yu. Taldenko (Sumy) 33, 38—41, 43, 45, 50, 52, 54, 55, 57, 59, 60, 62; A. Telenkov (Bryansk) 52; A. Timenko (Odeska) 43, 46, 50, 52, 53, 55; MỘT. Titsenko (Dnepropetrovsk) 50—54, 60, 62; G. Trunov (Moscow) 60; V. Usachev (Romny) 40, 50, 57; N. Fedin (Omsk) 35, 36, 38—46, 50, 52, 54, 55, 57, 60, 62; V. Fedokovich (Kyiv) 45, 46; N. Fesun (huyện Zolotoposhsky, vùng Cherkassy) 36, 57; O. Fonarev (Sumgant) 35, 50, 52, 53, 57; K. Frankevich (Mogilev) 39; M. Friedman (Lviv) 39, 41, 42, 52, 57, 59, 60; A. Frolov (Tula) 35, 39—42, 45, 46, 50, 51, 53, 54, 59, 60, 62; S. Frolov (Moscow) 35—37, 39, 46, 51, 52, 54, 57, 62; S. Khabarova (làng Gorodkovka, vùng Vinnytsia) 52; A. Tsekhansky (làng Zaprudnya, vùng Moscow) 33, 35, 37-40, 42-46, 50-52, 54, 55, 59, 60, 62; Yu. Tsybankov (quận Drozhzhanovsky của Tat ASSR) 33, 35, 36, 39, 40, 42, 43, 45; A. Chernaysky (ngoại ô vùng Ludvino-Minsk) 52; O. Chumaenko (Odeska) 52; I. Chuprin (Dolgoprudny) 46; A. Shakun (Olaine) 40-42; Y. Shapiro (Voroshilovgrad) 38, 39; V. Shapoval (Vinnitsa) 41, 51, 52; A. Shaporek (Orsk) 39; A. Shevchenko (Artemovsk, vùng Donetsk) 33, 40, 41, 51, 52; M. Shevchenko (Artemovsk, vùng Donetsk) 33, 40, 41, 51, 52; O. Shevchenko (Melitopol) 39, 40; V. Sheludko (Dnepropetrovsk) 52, 54, 55, 60; I. Shkradlok (Noginsk) 44, 45, 51, 52; S. Shmkov (Saratov) 35, 39-43, 50-52; I. Shueni (làng Stepnogorsk, vùng Celinnograd) 39, 40, 43; D. Shelkanov (Saratov) 60; V. Ykovlev (Moscow) 35, 36, 41, 43-45, 50-52, 54, 55, 57; K. Ykovlev (Kyiv) 43, 51, 52, 54, 55; M. Yareshenko (Frzino) 35, 39-41.