Trong thế giới kỳ diệu của những con số

44

G. Topazze

Trong thế giới kỳ diệu của những con số

Trong thế giới của những con số có những sự bằng nhau và tỷ lệ đáng kinh ngạc. Chúng tôi xin giới thiệu với độc giả một số trong số đó.

Sản phẩm đối xứng

Xét các đẳng thức sau:
$$12 \cdot 42 = 24 \cdot 21,$$
$$102 \cdot 402 = 204 \cdot 201,$$
$$1002 \cdot 4002 = 2004 \cdot 2001,$$
$$10002 \cdot 40002 = 20004 \cdot 20001.$$

Sự đối xứng tuyệt vời - phải không? Chuỗi đẳng thức này có thể được tiếp tục; chỉ cần lưu ý rằng
$$(10^n + 2) \cdot (4 \cdot 10^n + 2) =$$
$= (2 \cdot 10^n + 4) \cdot (2 \cdot 10^n + 1).$

(Tại $n=1, 2, 3, 4$ chúng ta thu được đẳng thức.)

Số vuông đứng

Ai mà không biết rằng 121 là một “số bình phương”: nó bằng $11^2$. Điều thú vị là con số này có một số “độ bền” - nó là bình phương không chỉ ở dạng thập phân mà còn trong bất kỳ hệ thống số nào khác có cơ số lớn hơn hai.

Thật vậy, cơ số rỗng của hệ số bằng $a$ và $a > 2$:
$$121_a = 1 \cdot a^2 + 2 \cdot a + 1 = (a + 1)^2,$$
nghĩa là, $121_a$ là bình phương của số thu được bằng cách thêm một vào cơ số của hệ.

Có số bình phương liên tục khác? Hóa ra là nó tồn tại. Ví dụ: các số 144 và 441 là số bình phương trong bất kỳ hệ số nào có cơ số $a > 4$.

Mời bạn đọc tìm những con số tương tự khác.

bình phương

Xem cách bạn có thể bình phương các số 44, 55, 66 theo cách nguyên bản:

$$\begin{array}{c c c} 44^2 & 55^2 & 66^2 \\ 16 & 25 & 36 \\ +1616 & +2525 & +3636 \\ 16 & 25 & 36 \\ 1936 & 3025 & 4356 \end{array}$$

$77^2, 88^2, 99^2$ có thể được tìm thấy theo cách tương tự. Và mọi thứ ở đây đều quy về sự bình đẳng
$$11^2 = 121 = 10 + 101 + 10.$$

Thật vậy, ví dụ, với $44^2$ ta có
$$44^2 = (4 \cdot 11)^2 = 16 \cdot 121 =$$
$$= 16 \cdot (10 + 101 + 10) =$$
$$= 160 + 1616 + 160.$$

Kết quả thu được có thể được trình bày dưới dạng mục đầu tiên ở trên.

Tương tự, nếu chúng ta sử dụng đẳng thức
$$111^2 = 12321 =$$
$$= 100 + 1010 + 10101 + 1010 + 100,$$
Bạn có thể thiết lập một cách duy nhất để bình phương một số số có ba chữ số. Ví dụ,
$$555^2 = (5 \cdot 111)^2 = 25 \cdot 12321 =$$
$$= 25(100 + 1010 + 10101 + 1010 + 100) =$$
$$= 2500 + 25250 + 252525 + 25250 + 2500,$$
$$666^2 = (6 \cdot 111)^2 = 36 \cdot 12321 =$$
$$= 36(100 + 1010 + 10101 + 1010 + 100) =$$
$$= 3600 + 36360 + 363636 + 36360 + 3600.$$

Dựa vào các đẳng thức thu được, ta có thể viết:

$$\begin{array}{c c c} 555^2 & 666^2 \\ 25 & 36 \\ 2525 & 3636 \\ +252525 & +363636 \\ 2525 & 3636 \\ 25 & 36 \\ 308025 & 443556 \end{array}$$

Phương pháp ban đầu này cũng có thể được sử dụng để tìm bình phương của các số có bốn chữ số, năm chữ số,… thuộc loại đang xét.