В волшебном мире чисел

44

Г. Топадзе

В волшебном мире чисел

В мире чисел передко встречаются удивительные равенства и соотношения. Мы хотим познакомить читателя с некоторыми из них.

Симметричные произведение

Взгляните на следующие равенства:
$$12 \cdot 42 = 24 \cdot 21,$$
$$102 \cdot 402 = 204 \cdot 201,$$
$$1002 \cdot 4002 = 2004 \cdot 2001,$$
$$10002 \cdot 40002 = 20004 \cdot 20001.$$

Замечательная симметрия — неправда ли? Этот ряд равенств можно продолжать — стоит лишь заметить, что
$$(10^n + 2) \cdot (4 \cdot 10^n + 2) =$$
$= (2 \cdot 10^n + 4) \cdot (2 \cdot 10^n + 1).$

(При $n=1, 2, 3, 4$ получается наши равенства.)

«Стоякие» квадратные числа

Кто не знает, что 121 — «квадратное число»: оно равно $11^2$. Интересно, что это число обладает некоторой «стойкостью» — является квадратным не только в десятичной, но и в любой другой системе числения, основание которого больше двух.

В самом деле, пустое основание системы числения равно $a$ и $a > 2$:
$$121_a = 1 \cdot a^2 + 2 \cdot a + 1 = (a + 1)^2,$$
то есть $121_a$ есть квадрат числа, полученного прибавлением единицы к основанию системы.

А существует ли другие стойкие квадратные числа? Оказывается, существует. Например, числа 144 и 441 являются квадратными в любой системе числения с основанием $a > 4$.

Предлагаем читателю найти другие такие же числа.

Возведение в квадрат

Посмотрите, как оригинально можно возвести в квадрат числа 44, 55, 66:

$$\begin{array}{c c c} 44^2 & 55^2 & 66^2 \\ 16 & 25 & 36 \\ +1616 & +2525 & +3636 \\ 16 & 25 & 36 \\ 1936 & 3025 & 4356 \end{array}$$

Подобным же образом можно найти $77^2, 88^2, 99^2$. А все здесь упирается в равенство
$$11^2 = 121 = 10 + 101 + 10.$$

В самом деле, например, для $44^2$ имеем
$$44^2 = (4 \cdot 11)^2 = 16 \cdot 121 =$$
$$= 16 \cdot (10 + 101 + 10) =$$
$$= 160 + 1616 + 160.$$

Полученный результат можно представить в виде вышеприведенной первой записи.

Аналогично, если воспользоваться равенством
$$111^2 = 12321 =$$
$$= 100 + 1010 + 10101 + 1010 + 100,$$
можно установить своеобразный способ возведения в квадрат некоторых трехзначных чисел. Например,
$$555^2 = (5 \cdot 111)^2 = 25 \cdot 12321 =$$
$$= 25(100 + 1010 + 10101 + 1010 + 100) =$$
$$= 2500 + 25250 + 252525 + 25250 + 2500,$$
$$666^2 = (6 \cdot 111)^2 = 36 \cdot 12321 =$$
$$= 36(100 + 1010 + 10101 + 1010 + 100) =$$
$$= 3600 + 36360 + 363636 + 36360 + 3600.$$

На основании полученных равенств можно написать:

$$\begin{array}{c c c} 555^2 & 666^2 \\ 25 & 36 \\ 2525 & 3636 \\ +252525 & +363636 \\ 2525 & 3636 \\ 25 & 36 \\ 308025 & 443556 \end{array}$$

Этот оригинальный способ можно применить и для нахождения квадратов четырехзначных, пятизначных,… чисел рассмотренного типа.