Интерференция света

45

Интерферация света

Интерферационные картины всем нам знакомы с детства. Это радужные пятна от пролитого бензина на лужах, яркие цветы мыльных пузей. Механизм образования разноцветной интерферационной картины довольно сложен. Ограничимся рассмотрением интерферации на более простых примерах.

В физическом энциклопедическом словаре читаем: «Интерферация — это успешное или ослабление амплитуды результирующей волны в зависимости от соответствия между фазами складывающихся в пространстве двух (или нескольких) волн с одинаковыми периодами. Интерферация имеет место для всяких волн независимо от их природы». К этому можно добавить, что интерферационная картина будет устойчивой, если складывающиеся волны имеют не только одинаковые периоды, но и постоянный (не зависящий от времени) сдвиг фаз. Такие волны называют когерентными.

Вспомним, как обязывается возникновение интерферационной картины при сложении колебаний от двух точных когерентных источников света. Векторы направления $\vec{E}$ электронского поля (так называемые световые векторы) в электронном волнах, излучаемых источниками, могут быть записаны в виде

$$E_1 = A_1 \cos \omega t, \\ E_2 = A_2 \cos (\omega t + \varphi_0).$$

Рассмотрим для простоты случая, когда источники света синфазны (сдвиг фаз $\varphi_0 = 0$) и амплитуды колебаний одинаковы ($A_1 = A_2 = A$).

Пусть расстояния от источников $S_1$ и $S_2$ до точки наблюдания $C$ в плоскости $P$ равны $r_1$ и $r_2$ соответственно (рис. 1). На пути от источников до точки наблюдания волны прибретут разность хода $\Delta r = r_1 - r_2$. В тех точках плоскости $P$, куда волны приходят в одинаковых фазах (то есть с разностью хода $\Delta r = k\lambda$, где $k$ — любое целое число), они успят друг друга, и результатуciuший световой вектор $\vec{E}$ будет колебаться с амплитудой $2A$. В этих точках находится интерферационные максиммы. Там, куда две волны равной амплитуды придуgt в противоположных фазах (то есть с разностью хода, равной нечетному числу полуволн: $\Delta r = (2k + 1)\lambda/2$), они полностью погасят друг друга. В этих точках находится интерферационные миниммы, где никаких колебаний нет: $E = 0$ в любой момент времени.

Глаз наблюдается успешет картину во времени (при частотах, соответствующих световым колебаниям, глаз «не замечает» колебаний) и реагирует на интенсивность света, пропорционально среднему значению от квадрата результирующего светового вектора ($E^2$).

Что же увидит наблюдается? Если плоскость наблюдания параллельна линии $S_1S_2$ (как показано на рис. 1) и расстояние $d$ между источниками малó по сравнению с расстоянием $L$ до плоскости $P$,

46

Рис. 2.

интерферационная картина представляет собой систему чердушихся светлых и темных полос. Расположив плоскость наблюдания перпендикулярно к линии $S_1S_2$, можно увидеть интерферационную картину в виде концентрических колес.

Вернемся к рисунку 1. В точку О волны приходит с разностью хода $\Delta r = 0$. Угол $\Omega = d/L$, под которым из точки O (а при $d/L \ll 1$ из любой точки наблюдания) видны источники, называют углом схождения интерферационных лучей, или углом интерфerenции. Расстояние между центрами оседних светлых (или темных полос, называют шириной интерферационной полосы). Посмотрим, от чего она зависит.

Задача 1. Интерферируют две плоские волны. Расчитайте ширину x интерферационной полосы, если угол схождения волн на экране $\Omega$, а длина волны $\lambda$.

На рисунке 2 изображены положения волновых фронтов в некоторых момент времени. Синние (и красные) сплошные линии соединяют точки, где в этот момент направность электрического поля принимает амплитудное значение $E = +A$. Расстояния между оседними сплошными линиими равны $\lambda$. Штриховые линии обединиют точки, где направность поля $E = -A$.

В точках O, M, N, $M', N'$ и т. д. две волны встречаются в одинаковых фазах. Поскольку фазы колебаний обеих волн одинаково меняются со временем ($\varphi = \omega t + \varphi_0$), в любой момент времени волны будут приходить в эти точки в одинаковых фазах и, следовательно, усиливать друг друга. Точки O, M, N, $M', N'$ соответствуют интерферационным максимумам.

Из рисунка 2 видно, что $NOC = \Omega/2$, $|ON| = 2x$ и $|CN| = \lambda$. Из соответствия

$$\frac{\lambda}{2x} = \sin \frac{\Omega}{2} \approx \frac{\Omega}{2}$$

найдем

$$x = \frac{\lambda}{\Omega}$$

— ширина интерферационной полосы зависит от длины волны источников и угла схождения. Этот результат справедлив для любой интерферационной схемы с малым углом схождения лучей (при достичном удалении от источников волны всегда можно считать плоскими). В частности, для точных источников (см. рис. 1)

$$\Omega = \frac{d}{L} \text{ и } x = \frac{\lambda}{\Omega} = \frac{\lambda L}{d}$$.

В красном свете ($\lambda \approx 7 \cdot 10^{-7}$ м) полосы шире, чем в зеленом ($\lambda \approx 5,5 \cdot 10^{-7}$ м); с удалением экрана от источников полосы расширяются ($x \sim L$); слияние источников также ведет к уширению полос ($x \sim 1/d$).

Заметим, что два общих независящих источника не являются коректными, потому что разность фаз приходящих от них волн не постоянна. Для получения четкой интерферационной картины свет от одного источника делят на два пучка. Это можно сделать, например, с помощью одной из схем, представленных на рисунке 3. Расположив экран там, где пересекаются световые лучки, исходящие из двух источников (или их изображений) $S_1$ и $S_2$, можно наблюдать интерферационные полосы.

Вот еще один пример.

Задача 2. Из собирающей линия с фокусным расстоянием $F = 50$ см и диаметром $D = 5$ см вырезана полоса шириной $a = 5$ мм, а оставшиеся части свиниты вплотную (рис. 4). На расстоянии $d = 75$ см от линия расположен точный источник свет S. Каково

47

максимальное число полос в интерфейсной картине для длины волны $\lambda = 5 \cdot 10^{-7} \text{ m}$?

Построим изображение источника $S$ в верхней половине среданной линии (рис. 5). Луч $SO$, параллельный оптической оси, после преломления в верхней части линии поддет через ее фокус $F_1$. Луч $SA$, преломившись в линзе, должен встретиться с параллельным ему лучом $KO_1$ в точке $M$ фокальной плоскости линзы (луч $KO_1$ проходит через оптический центр $O_1$ верхней половины линзы, не преломляясь).

Пересечение продолжей лучей $AM$ и $OF_1$ дает положение изображения $S_1$ источника на расстоянии $f$ от линзы.

Рис. 4.

Рис. 5.

48

Изображение $S_2$ источника в нижней половине линии расположено симметрично относительно оси системы.

Из рисунка 5 видно, что в данном случае область перекрытия лучов ограничена и лежит между линзой и точкой пересечения лучей $AS_1$ и $BS_2$. На расстоянии $l$ от линзы размер $|CE|$ области перекрытия максимален. Здесь можно наблюдать $N = \frac{|CE|}{x}$ полос, где $x = \frac{\lambda}{\Omega}$ – ширина полосы. Угол схожения $\Omega = \frac{|S_1S_2|}{f-l}$, поэтому

$$N = \frac{|CE|}{\lambda} \frac{|S_1S_2|}{f-l}.$$

Из подобия треугольников $F_2F_1O$ и CEO найдем

$$|CE| = |F_2F_1| \frac{l}{F} = \frac{al}{F},$$

а из подобия треугольников $AOC$ и $S_1S_2C$ —

$$|S_2S_1| = |AO| \frac{f-l}{l} = \frac{D-a}{2} \frac{f-l}{l}.$$

Тогда окончательно

$$N = \frac{|CE|}{\lambda} \frac{|S_1S_2|}{f-l} = \frac{a(D-a)}{2F\lambda} = 450 \text{ полос.}$$

С удалением плоскости наблюдания от линзы полосы становятся уже (растет $\Omega$). Ширина области перекрытия до плоскости $CE$ растет, а затем уменьшается и притом быстрее, чем ширина полосы. Поэтому максимальное число полос наблюдается в плоскости $CE$ – самом широком сечения области перекрытия.

В заключение рассмотрим несколько задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задача 3 (1980). От точного монхроматического источника $A$ отодвигают точный monхроматический источник $B$ (источники коэректны и синфазны) до тех пор, пока в точке $O$, где наблюдается интерференция, не наступает потемнение (рис. 6). (Расстояние между $A$ и $B$ при этом равно $d = 2\pi m$.) Расстояние между источниками

Рис. 6.

ком $A$ и экраном $L = 9$ м. На сколько нужно передвинуть экран к источнику $A$, чтобы в точке $O_1$ возникло потемнение?

При удалении источника $B$ первое потемнение в точке $O$ возникнет при условии, что разность хода волн от $B$ и $A$ равна 1/2 длины волны:

$$\Delta r = |BO| - |AO| = \frac{\lambda}{2},$$

или

$$\sqrt{L^2 + d^2} - L = \frac{\lambda}{2}. \tag{1}$$

Если экран приблизить к источникам на расстояние $l$, минимум в точке $O_1$ будет соответствовать разности хода 3/2 длины волны:

$$\Delta r_1 = |BO_1| - |AO_1| = \frac{3\lambda}{2},$$

или

$$\sqrt{(L-l)^2 + d^2} - (L-l) = \frac{3\lambda}{2}. \tag{2}$$

Преобразуем выражения (1) и (2) и воспользуемся приближенной формулой $(1+x)^{1/2} = 1 + \frac{x}{2}$ для $x \ll 1$:

$$\sqrt{1 + \left(\frac{d}{L}\right)^2} - 1 = \frac{\lambda}{2L},$$

$$\sqrt{1 + \left(\frac{d}{L-l}\right)^2} - 1 = \frac{3\lambda}{2(L-l)},$$

или

$$d^2 = \lambda L,$$

$$d^2 = 3\lambda(L-l).$$

Отсюда

$$l = \frac{2}{3} L = 6 \text{ м.}$$

Задача 4 (1974). В интерференционной схеме с зерkalом Ллойда точный источник $S$ расположен

49

от $S$ только в области $AB$. Введем обозначения: $|AB|=h$, $|AC|=z$; тогда из подобия треугольников найдем

$$\frac{b+d}{a} = \frac{L-b-d}{z-h},$$

$$\frac{b}{a} = \frac{L-b}{z}.$$

Отсюда

$$h = \frac{La/b}{1+b/d} \approx 16,7 \text{ см.}$$

Упражнения

1. Два точных синфазных монохроматических источника расположены на расстоянии $d$ друг от друга (рис. 8). Примо под источником $I$ на расстоянии $H=8$ м наблюдается интерференция. Первый раз потемнение в точке $A$ наблюдается при $d_1=2$ мм. В следующий раз потемнение наступает при расстоянии $d_2$. Найдите это расстояние.

2. Собирающую линзу с фокусным расстоянием $F=50$ см и диаметром $D=5$ см разрезали по диаметру пополам и половинки разделивили на расстояние $a=5$ мм (см. рис. 3, 2). Точный источник света $S$ расположен на расстоянии $d=1$ м от линзы. На каком минимальном расстоянии $l$ от линзы можно наблюдать интерференционную картину? Шель между половинками линзы закрыта.

3. В схеме с базерками Френеля (см. рис. 3, 8) два одинаковых плоских зеркала образуют угол $2\alpha=0,1$ рад. Точный источник $S$ находится на биссеktrисе угла на расстоянии $d=20$ см от линни пересечения зеркал. При каком минимальном размере зеркал $a$ на удаленном экране $P$ могут наблюдаться интерференционные полосы? Примыль лучи от источника на экран не попадают.

Рис. 7.

Рис. 8

на расстоянии $b=20$ см по горизонтали от плоского зеркала, на высоте $a=10$ см над плоскостью зеркала (рис. 7, а). Длина зеркала $d=10$ см. На расстоянии $L=1$ м от источника расположен экран $P$. Определите вертикальный размер интерференционной картины на экране.

Построим изображение $S_1$ источника $S$ в плоском зеркале (рис. 7, b). Лучи от источника $S$ освещают практические весь экран. Лучи от изображения $S_1$ (лучи, отраженные от зеркала) перекрывают с лучами