Метод размерностей помогает решать задачи

11

Ю. Брук, А. Стасенко

Метод размерностей помещает решать задачи

В физике… нет места для пустых мысли… Действительно понятие природу того или иного явления должна получить основные законы из сообщений размерности.

Э. Ферми

Введение. Основные идеи

Едва ли не каждое выступление на научных семинарах или конференции, где обсуждаются новые теоретические или экспериментальные работы, начинается с качественного описания и оценки того эфекта, о котором хочет расссказать выступающий. Далее в очень подробном докладе, лекции или статьи нет возможности расссказать об всех экспериментальных деталях или всех теоретических хитростях, которые были существены для выполнения самой работы, для решения той или иной задачи. Но есть вопросы, о которых нужно сказать всегда, не доказываясь вопросов служатей или читателей.

К таким вопросам всегда и прежде всего относятся оценка порядка величины ожидаемого эфекта, простые предельные случаи и характер функциональной связи определения явления величины. Все эти вопросы тесно связаны друг с другом, анализ их и есть по существу-то, что мы называем качественным описанием физической ситуации.

Одним из наиболее эффективных методов такого анализа является метод размерностей. Мы рассмотрим в этой статье его основы. Не будет преувеличением сказать, что метод размерностей обладает «максимальным КПД», экономя горы бумаги теоретическам, деньги и время экспериментаторам. Быстрая оценка масштабов исследуемых явлений,

12

построение прициппальной схемы экперимента, получение качественных и функциональных зависимостей, восстановление забыты формул на экзаменах — таковые лишь некоторые достоинства и приложения метода размерностей.

Аналіз размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон формулировал тесно связанный с методом размерностей приципп подобия, который мы и проиллюстрируем сейчас на совсем простом и хорошо понятном примере.

Представим себе, что тело с массой $m$ перемещается прямолиной под действием постоянной силы $F$. Если начальная скорость тела равна нулю, а скорость в конце проилденного отрезка длиной $s$ равна $v$, то мы можем написать равенство, выраженное законом сохранения энергии: $mv^2/2 = Fs$. Между величины $v$, $F$, $m$ и $s$ существует. Очень часто (но, конечно, не всегда!) функциональная зависимость физических величины имеет степенной характеристик. Допустим, что и в нашем примере это так. Можно сказать это же другими словами: мы считаем, что формула, определяющая скорость $v$ как функцию $F$, $m$ и $s$, имеет степенной вид $v \sim F^x m^y s^z$.

Здесть $x$, $y$ и $z$ — неокотые числа, которые нам представит еще определенить. Знак ~ означает, что левая часть формулы пропорциональна правой, то есть $v = kF^x m^y s^z$, где $k$ — числовой коэффициент. Поскольку $k$ — величина безразмерная, определять этот коэффициент с помощью метода размерностей, естественно, нельзя.

Левая и правая части соответствия (*) должны, конечно, изменяться одними и теми же единицами, то есть имеет одинаковые размерности. Будем изменять $v$ в «м/c», $F$ — в «H», $m$ — в «кг» и $s$ — в «м».

Иными словами, размерности величины $v$, $F$, $m$ и $s$ выберем таким: $[v] = m/c = m \cdot c^{-1}$, $[F] = H = k \cdot m \cdot c^{-2}$, $[r] = k \Gamma$, $[s] = m$. (Символ [A] обозначает размерность величины $A$.) Запишем условия того, что размерности левой и правой части соответствия (*) одинаковы:

$$m \cdot c^{-1} = k \Gamma^x \cdot m^x \cdot c^{-2x} \cdot k \Gamma^y \cdot m^z = k \Gamma^{x+y} \cdot m^{x+z} \cdot c^{-2x}.$$

Заметьте, что сейчас мы написали уже равенство. В левой части вообще нет килogramмов, поэтому и справа их быть не должно. Это значит, что

$$x + y = 0.$$

Справа метры входят в степени $x + z$, а следва — в степени 1, поэтому $x + z = 1$.

Аналогично, из сравнения показателей степени при секундах следует $-2x = -1$.

Полученные нами уравнения дают возможность найти числа $x$, $y$ и $z$:

$$x = 1/2, \quad y = -1/2, \quad z = 1/2.$$

Теперь нам осталось записать окончательную формулу

$$v \sim \left( \frac{F}{m} \right)^{1/2} s^{1/2}.$$

Возведя в квадрат левую и правую части этого соответствия, мы найдем, что $v^2 \sim \frac{F}{m} s$, или $mv^2 \sim Fs$. В последней формуле читатель без труда узнет законом сохранения энергии, правда, без числового коэффициента.

Приципп подобия, формулированный Ньютоном, заключается в том, что отношение $v^2/s$ прямо пропорционально отношению $F/m$. Возьмем, например, два тела с разными массами $m_1$ и $m_2$; будем действовать на них разными силами $F_1$ и $F_2$, но таким, что отношения $F_1/m_1$ и $F_2/m_2$ будут одинаковыми. Под действием этих сил тела начинает двигаться. Если начальные скорости тел работы нулю, то скорости, прибретаемые телами на отрезке пути длины $s$, будут равны. Мы пришли к закону подобия с помощью иравенства размерностей правой и левой части формулы, описывающей степенную связь значения

13

ния конечной скорости со значениями силы, массы и длины пути.

Нелише упомянуть здесь о том, что, хотя метод размерностей был по существу введен уже при построении основ классической механики, его эффективное применение для решения физических задач наcalось в конце прошло — в начале нашего века. Большая заслуга в пропаганде этого метода и решения с его помощью ряда интересных и важных задач приадлежит выданнойему физнику Джону Вильяму Стрэтту (лорду Рэлею). В 1915 году Рэлей писал: «Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется велику прицилиу подобия даже со стороны весма крупных ученых. Нередко случайется, что результаты кроотливых исследований преподносятся как вновь открыты «законы», которые, тем не менее, можно было получить аппирно в течение нескольких минут».

В нашей физике уже нельзя упрекнуть в пребрежнительном отношении или недостаточном внимании к прицилиу подобия и к методу размерностей. Мы разберем ниже две классические задачи, часто называемые задачи Рэлея. Задач, рассмотренных Рэлеем, в том числе и с помощью сообщения размерности, конечно, намного больше, но те, о которых мы расскажем, довольно типичны. На этих и других примерах мы и познакомимся подробнее с тем, когда и как можно использовать для решения задач метод размерностей.

Задча Рэлея о колебанях шарика наструне

Пусть между точками A и B натянута struya. Сила натяжения struны F. На середине этой struны в точке C находится тяжелый шарик. Длина отрезка AC(и соответствующего CB) равна l. Масса M шарика намного больше массы самой struны. Струну оттягают и отпускают. Довольно ясно, что шарик будет совершать колебания. Если амплитуда этих колебаний много меньше длины struны, то процесс будет гармоничским.

Рэлей показал, как найти зависимость частоты этих колебанийω от натяжения struны F, массы шарика M и размер l. Мы воспроизведем сейчас его рассужждение.

Предположим, что величины ω, F, M и l связаны степенной зависимостью:

$$\omega \sim F^x M^y l^z.$$ (**)

Показатели степени x, y и z — числа, которые нам нужно определить. Как и в задаче, рассмотренной выше, выпишем размерности интересующих нас величины в какой-либо системе единиц, например, в системе СИ:

$$[\omega] = c^{-1}, [F] = H = \kappa \Gamma \cdot M \cdot c^{-2}, [M] = \kappa \Gamma, [l] = m.$$

Если формула (**) выражаетrealную физическую закономерность, то размерности правой и левой части этой формулы обязаны совпадать, то есть должны выполнять равенство

$$c^{-1} = \kappa \Gamma^x \cdot M^x \cdot c^{-2x} \cdot \kappa \Gamma^y \cdot M^z = \kappa \Gamma^{x+y} \cdot M^{x+z} \cdot c^{-2x}.$$

В левую часть этого равенства вообще не входят метры и килограммы, а секунды входят в степени —1. Это означает, что должны удовлетворять следующие условия для чисел x, y и z:

$$x + y = 0, x + z = 0, -2x = -1.$$

Решая эту систему, находим:

$$x = 1/2, y = -1/2, z = -1/2.$$

Следовательно,

$$\omega \sim F^{1/2} M^{-1/2} l^{-1/2}.$$

Мы уже говорили раньше о том, что из-за незначения числового коэффициента знак равенства нам приходится заменять символом пропорциональности. Интересно отмечить,

14

однако, что точная формула для частоты отличается от найденной нами всего в $\sqrt{2}$ раз ($\omega^2 = 2F/Ml$). Другими словами, мы можем в данном случае считать, что оценку для $\omega$ мы получили не только качественно (в смысле характера зависимости от величины $F$, $M$ и $l$), но и количественно. По порядку величины найденная степенная комбинация $F$, $M$ и $l$ дает правильное значение частоты. Нас и в дальнейшем будут интересовать оценки по порядку величины. В простых задачах довольно часто коэффициенты, неопределяемые методом размерностей, можно считать числа порядка единицы. Следует иметь в виду, конечно, что это не есть строгое правило. Окончательный вывод о значении числового коэффициента можно сделать только из каких-то дополнительных сообщений. (Заметьте, кстати, что в примере, рассмотренном во «Введении», числовой коэффициент в формуле, определяющей скорость $v$ как функцию силы, массы и длины пути, — также число порядка единицы.)

Само собой разумеется, решая задачу о количестве струны, мы могли бы с самого начала ввести вместе частоты $\omega$ однозначно связанный с ней период колебаний $T = 2\pi/\omega$ и искать степенную зависимость именно периода $T$ от натяжения струны $F$, массы $M$ и размер $l$. Множитель $2\pi$ здесь вовсе «не портит» (но и не «уличшает»!) формулы, полученной из сообщения размерностей, — ведь мы все равно не можем написать числовой коэффициент без точного решения уравнения колебаний.

Любопытно, что в другом, совсем простом и хорошо всем известном примере — о количестве математического матрика — для частоты колебаний уже из сообщений размерности мы получили бы точную формулу $\omega^2 = g/l$. Неопределяемый метод размерностей числовой коэффициент равен в этом случае единице. Если мы с самого начала отыскивали бы связь периода колебаний математического матрика с его длиной $l$ иускorenем свободного падения $g$, то мы пришли бы к формуле $T \sim \sqrt{l/g}$, которая отличается от точной на множитель $2\pi$. Но и из этого примера вовсе не следует, что при использовании метода размерностей частота колебаний имеет какое-то присутствие перiodом; произхождение множителя $2\pi$ связано лишь с определением $\omega = 2\pi/T$.

Вернемся к рассмотрению задаче Рэлея и еще раз формулируем предположения, которые позволили решить ее метод размерностей.

Во-первых, мы предположили, что действительное существует связи между величины $\omega$, $F$, $M$ и $l$. Во-вторых, мы считали, что формула, выражающая эту связь, имеет степенной вид: $\omega \sim F^x M^y l^z$.

Метод размерностей помогает находить функцию значимости между разными физическими величинами, но только для тех ситуаций, когда эти значимости степени. К счастью, таких значимости в природае довольно много, и метод размерностей должен стать нашим хорошим помощью.

Правило $N—K=1$

Понятие размерности физической величины вводится тогда, когда уже выбраны некоторые основные физические величины и установлены единицы для их измерения. В механике традиционными основными величинами мы считаем массу, длину и время. В системе СИ эти величины измеряются соответствственно в килогramмах, метрах и секундах, в системе СГС — в граммах, сантиметрах и секундах.

Напомним, что основными единицами измерения в каждой системе (основными размерностями) называются измерения (размерности) основных величини. Единиц измерения всех прочих, не основных величини выражаются через основные единицы измерения. Например, в системе СИ единица измерения силы «Ньютон» — это $\text{kg} \cdot \text{m/c}^2$, единица измерения энергии «Джоулы» — $\text{kg} \cdot \text{m}^2/c^2$; в системе СГС это соответствственно «дина» — $\text{г} \cdot \text{cm/c}^2$ и «эргг» — $\text{г} \cdot \text{cm}^2/c^2$. Такие единицы называют произвольными.

Если мы рассматриваем задачи, в которых физируют немеханические величины (например, электрический заряд, температура и т. д.), можно увеличить число основных величини. В системе СИ в числе основных величини включают силу тока (измеряют ее в «Амперах»), температур (единица измерения — «Кельвин») и т. д.

В общем случае основных величини и единиц для их измерения может произвольиться разными способами. Здесь многое зависит от удобства, традиций и существующих стандартов и соглашений. Для нас очень важно отметить, что пользоваться методом размерностей можно в любой системе единиц. Каждый раз, конечно, выражения для размерностей величины нужно писать в одной и той же заранее выбранной системе.

Представим себе, что в какой-то задаче нам надо отыскать функцию значимости между $N$ величинами. Предполагая, что эта значимость имеет степенной характеристику, мы можем пытаемся решить задачу методом размерностей. Если размерности всех $N$ величини выражаются через размерности $K$ основных величини и если этом $N—K=1$, то существует единственная формула, заданная степенную зависимость между $N$ величинами,

15

и эта формула может быть найдена методом размерностей.

Убедиться в этом нетрудно. Общий вид исходной формулы мы записьиваем так: в левой части стоит одна из величины в степении 1, а в правой части — произведение степенной остальных $N-1$ величины. Показатели степени пока неизвестны. Всего неизвестных показателей тоже $N-1$. Для определения этих показателей нам нужно $N-1$ уравнения. Каждое из уравнений мы получаем, сравнивая показатели степени, стоящие слева и справа при одной из основных размерностей. Если в нашей задаче встречаетсяровно $N-1$ основных размерностей, мы получимровно столько уравнений, сколько уравнений, сколько нам требуется. Уравнения эти линейные, а существование и единственность решения системы таких уравнений гарантирует нам существование и единственность исходной степенной формулы. Это правило хорошо иллюстрирует разобрание выше примеры. Записьая формулы $v \sim F^x m^y s^z$ или $\omega \sim F^x M^y l^z$, мы каждый раз именяем $N=4$ величины, число неизвестных показателей $N-1=3$ совпадало с числом основных размерностей $K=3$ (кг, м, с). Системы трех линейных уравнений для трех неизвестных именя единственные решения, окончательные формулы для $v$ и $\omega$ также были единственно возможными. Таким образом, для четырех функционирования связи величины всегда может построить только одну формулу, если число основных размерностей, встречающихся в задаче, равно трех.

Задча Рэлея о колебанях сферической капельки

Пусть из круглого отверстия вытекает капля. Довольно естественно считать, что в равновесии капля должна иметь сферическую форму — поверхностная энергия при этом минимальная, а всякая система стремится попасть в состояние с минимальной энергией. Далее очень маленьые деформации капли приведут к тому, что силы поверхностного натяжения «заставят» ее пульсировать — форма капли будет периоди-

Рис. 2.

чески изменяться. Мы предполагаем, что колебания продолжают достаточно долго и затухание их мало. Нас интересует вопрос о частоте (или периоде) процесса. Эта частота может зависит, оченьindo, от величины поверхности натяжения жидкости $\sigma$, плотности жидкости $\rho$ и радиуса капли $r^*$. Будем искать эту зависимость в виде

$$\omega \sim \sigma^x \rho^y r^z.$$

Выпишем размерности всех величины в системе СИ:

$$[\omega] = c^{-1}, [\sigma] = H \cdot M^{-1} = \kappa \Gamma \cdot M \cdot c^{-2} \cdot M^{-1} = \kappa \Gamma \cdot c^{-2},$$

$$[\varrho] = \kappa \Gamma \cdot M^{-3}, [r] = M.$$

Число величины, связь между которых мы отыскиваем, снова на единицу больше числа основных размерностей. Правило $N-K=1$ говорит нам, что формула для частоты должна получить единственную. Уравнение для определения $x, y$ и $z$ получается из соответствия:

$$c^{-1} = \kappa \Gamma^x \cdot c^{-2x} \cdot \kappa \Gamma^y \cdot M^{-3y} \cdot M^z = \kappa \Gamma^x + y \cdot c^{-2x} \cdot M^{-3y + z}.$$

Для трех неизвестных чисел есть три уравнения:

$$-2x = -1, x + y = 0, -3y + z = 0.$$

Эта система имеет единственное решение

$$x = 1/2, y = -1/2, z = -3/2.$$

Okончательно интересующая нас формула для частоты колебаний записывается так:

$$\omega \sim \sqrt{\frac{\sigma}{q r^3}}.$$

Эта формула подсказывает и возможность способ экпериментального определения величины $\sigma$. Для этого нужно знать плотность жидкости $\rho$, радиус капли $r$ и определить на опите частоту $\omega$. То, что мы не знаем числового коэффициента в этой формуле, не должно быть сервисным прействением. Мы можем определить его, например, продолжать опить с жидкостью, для которого вели-

*) Возможно, в этом месте у вас возникло вопрос: почему не предположить, что частота может зависеть еще и от силы тяжестей, действующей на каплю? Вопрос этот очень естественный, и мы обязательно обсуждим его. Но немного позже.

16

чина поверхностного натяжения известна.

По существу мы стalkиваемся сейчас с простым случаем моделирования — колебания капли исследуемой жидкости можно промоделировать колебаниями капли жидкости с известными σ и q. Можно говорить здесь и о подобни колебаний формулы капли в двух разных жидкости.

Можно проинтегрировать формулу для частоты колебаний ω и по-другому. Перепишем ее так: $(\sigma/\rho) \sim r^3 \omega^2$.

Считая σ и q параметрами, характеризующими жидкость и потому одинаковыми для капель этой жидкости, имеющих разные размеры, мы приходим к заключению, что периоды $T_1 = 2\pi/\omega_1$ и $T_2 = 2\pi/\omega_2$ колебаний двух капель одной и той же жидкости и радиусы $r_1$ и $r_2$ этих капель связываны соответствием

$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$$

— квадраты периодов колебаний двух капель относится как кубы их размеров! Не напоминает ли это вам один из законов Кеплера? Аналогия, пожалуйста, далека, но в обихх случае речь идет о периодических процесах!

Сделаем еще одно замечание. Уже при выписывании набора величины, связь между которых мы хотим отыскать, нужно отдавать себе отчет в том, что существенно и что несущественно для конкретного физического явления. Если речь идет о диамике (например, о колебаниях), то в задаче должны появиться силовая и массовая характеристики. Роль первой из них в задаче о колебаниях капли играла величина σ, роль второй — плотность жидкости q. По существу мы считали, что колебания определяются только поверхностным натяжением. Полученное нами решение, безусловно, годится, если капля колебляется в кабине космического корабля. А годится ли оно вблизи Земли? Не должны ли мы учеть еще и силу тяжесты, действующую на каплю?

Будем рассуждать так. Сила тяжесты $F_T \sim \rho r^3 g$, а силы поверхностного натяжения $F_{n,h} \sim \sigma r$. Ясно, что при достаточно малых $r$ силы поверхностного натяжения больше силы тяжесты. Опускающие множители, запишем неравенство, выражающее условие, при котором можно пребежать силой тяжесты: $\sigma r \gg \rho r^3 g$. Это неравенство эквивалентно такому: $r \ll (\sigma/\rho g)^{1/2}$. Можно утверждать, что для достаточно малых капель силы тяжести не должна сказаться на колебаниях. Оцените сами, каковы максимальные размеры капель воды, при которых еще можно пользоваться полученной нами выше формулу для частоты колебаний.

С какой частотой колеблотся атомные ядра?

Оказывается, что на поставленный вопрос можно получить ответ, использую формулу для частоты колебаний капли.

В капельной модели атомного ядра ядро рассматривается как капелька ядрного вещества — «жидкость», состоящей из протонов и нейтронов. Ядро-капельку удерживает от распада силы поверхностного натяжения.

Нуклоны (протоны и нейтроны) находятся внутри ядра в связываном состоянии. Это значит, что для того, чтобы «отташить» их друг от друга, нужно затратить определенную энергию. В расчете на один нуклон эта энергия равна $\varepsilon \approx 13 \cdot 10^{-13}$ Дж/нуклон. Радиус ядра $r \approx 10^{-14}$ м, масса протона $m_p \approx 1,7 \cdot 10^{-27}$ кг. Попробуем использовать всю эту информацию для вычисления характеристических частот, с которых колеблотся атомные ядра — капельки ядрного вещества*).

Для частоты колебаний капельки ядрного вещества можно было бы воспользоваться той же формулу, что и для колебаний капель объчной жидкости, если бы только мы научили

*) Нас интересует сейчас только качественная зависимость частоты колебаний от параметров ядра и количественного оценка по порядку величины; поэтому мы можем не учитывать разницу протона и нейтрона и считать массу нуклона равной, например, массе протона.

17

лись вычислять поверхностное натяжение «ядерной жидкости». Полная поверхностная энергия в капельной модели должна быть по порядку величины такой же, как и энергия связи всех частиц, находящихся внутри капли. Если число нуклонов в ядре равно $A$ (это число называют «массовым числом»), то полная энергия связи всех нуклонов равна $A\varepsilon$ и поверхностная энергия ядра-капельки по порядку величины тоже равна $A\varepsilon$. Поделив ее на площадь поверхности капли $S=4\pi r^2$, мы и получим оценку для поверхностного натяжения: $\sigma \sim A\varepsilon/4\pi r^2$. Масса ядра из $A$ нуклонов порядка $Am_p$, объем ядра — $\frac{4}{3}\pi r^3$; следовательно, плотность «ядерной жидкости» по порядку величины равна $\omega \sim 3Am_p/4\pi r^3$. Подставив полученные выражения для σ и q в формулу $\omega \sim (\sigma/\rho)^{1/2}r^{-3/2}$, мы придем к интересующему нас результату:

$$\omega \sim \frac{1}{\sqrt{3}r} \left( \frac{\varepsilon}{m_p} \right)^{1/2} \sim \frac{1}{r} \left( \frac{\varepsilon}{m_p} \right)^{1/2}.$$

Типичные «ядерные» частицы — порядка $10^{22}c^{-1}$. Проверьте, что написанная формула дает близкий результат, не определяемый нами числовой коэффициент — порядка единицы.

Метры «вдоль» и «поперек»
Te задачи, которые мы рассматривали до сих пор, решались по существу, одинаково и однозначно. Не нужно думать, что так всегда и бывают. Существуют ситуации, когда правило $N-K=1$ не выполняется, и тогда приходит прибегать к новым идеям. Одна из таких идей заключается в том, что можно попытаться увеличить число основных величины, то есть по существу перейти к изучению задачи в системе с большим числом основных размерностей.

Чтобы проиллюстрировать такую идею, рассмотрим две простые задачи.

Первая — безусловно, всем хорошо известна. Представим себе, что со стола высоты $H$ падает на пол шарик. Скорость шарика в момент отрыва от стола горизонтана и равна $v_0$. Дальность его полета можно, конечно, связать с $H$ и $v_0$. Мы предлагаем читателю продолжать сейчас эти простые вычисления, прежде чем читать эту статью дальнейше. Проделали? А теперь подумайте — нельзя ли найти связь между $H$ и $v_0$ с помощью метода размерностей? Давайте попытаемся. Пусть дальнейшее полета равна $x_0$. Кроме $H$ и $v_0$, для задания существенной величины является, несомненно,ускорение свободного падения $g$. От массы шарика ответ зависит не должен — ведь это чисто kinematическая задача. Таким образом, у нас есть четыре величины — $x_0$, $v_0$, $H$ и $g$. В выражении же для размерностей всех этих величины входят только метры и секунды, то есть $N=4$, $K=2$ и $N-K=2>1$! Если записать $x_0 \sim v_0^a H^\beta g^\gamma$, то для трех неизвестных чисел $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ мы сможем написать только два уравнения. Как же быты?

Давайтеведем отдельные единицы для измерения расстояний по вертикали и по горизонтали: расстояния вдоль вертикальной оси $Y$ будем измерять в «вертикальных» метрах — $M_y$, а расстояния вдоль горизонтаальной оси $X$ — в «горизонтальных» метрах — $M_x$. Тогда размерности таких:

$$[g] = M_y c^{-2}, [v_0] = M_x c^{-1}, [H] = M_y, [x_0] = M_x.$$

Рис. 3.

18

Теперь для $N=4$ уже $K=3$ — основными размерностями стали $M_x$, $M_y$ и $c$. Формула $x_0 \sim v_0^\alpha H^\beta g^\gamma$ приводит к соответствию
$$M_x = M_x^\alpha \cdot c^{-\alpha} \cdot M_y^\beta \cdot M_y^\gamma \cdot c^{-2\gamma} = M_x^\alpha \cdot c^{-\alpha-2\gamma} \cdot M_y^\beta+y.$$
Система управления
$$\alpha=1, -\alpha-2\gamma=0, \beta+\gamma=0$$
имеет единственное решение
$$\alpha=1, \beta=1/2, \gamma=-1/2,$$
и мы получаем исключый ответ:
$$x_0 \sim v_0 \sqrt{\Pi}/g.$$
Сравните это решение с тем, которое получилось у вас при точном вычислении.
Вторая задача, иллюстрирующая ту же идею, относая к кинетической теории газов. Молеклы газа имеют конечные размеры и могут сталиивать друг с другом даже в разреженном газе. Среднее расстояние, пропетаемое молеклами между двумя последовательными столковенными, называется длиной свободного пробета. Нас интересует, как зависит длина свободного пробета $l$ от размера молекул $r$ и их концентрации $n$.
Выписьаем размерности: $[n] = M^{-3}, [l] = M, [r] = M$. Ясно, что, пытаясь связать $l, r$ и $n$, мы опять обнаружим, что правило $N-K=1$ не выполняется: $N=3$, а $K=1$ — в задаче есть только одна основная размерность — $M$.
В этом случае также удобно ввести «продольные» и «поперечные» длины. Будем условно считать молеклы шариками и следить за одним из таких шариков. Договоримся измерять расстояние вдоль траектории шарика-молеклы «продольными метрами» — $M_\parallel$. Ясно, что «помещать» движению избранной нами молеклы могут те молеклы, которые попадают в цилиндр, образующая которого параллельна траектории, а основанием служит сечение молекул-шарика, перpendикулярное к траектории. Площадь этого сечения пропорциональна $r^2$. Естественно считать в такой ситуации, что $r$ измеряется в «поперечных метрах» — $M_\perp$. Тогда объем измеряется в единицах $M_\parallel \cdot M_\perp^2$ и размерность $n$ есть $M_\parallel^{-1} \cdot M_\perp^{-2}$. После этих расчужdenия у нас появляются две основные размерности — $M_\parallel$ и $M_\perp$ — для трех величины $l, r$ и $n$. Это уже достаточно, чтобы получить однозначную формулу, их связывающую. Легко проверить, что эта формула такова:
$$l \sim 1/nr^2.$$
Задачи и рекомендации
Мы познакомились выше с основными элементами анализа задач с помощью метода размерности. Еще раз подчеркием, что формулы полученные из подобных расчужdenия, обычно позволяют делать и количественные оценки. Здесь нужно, конечно, известная осторожность, и тем не менее, просто грех не пользоваться тем, что числовые коэффициенты в формулах часто оказываются порядка единицы.
Само собой разумется, что оценки, построение простых модели и использование аналгий — это всегда только первый этап исследования физических процессов. За этим этапом должно следовать более аккуратное и по возможности точное изучение обсуждаемых явлений. Мы вовсе не хотели бы, чтобы у вас сложилось впечатление о веселности метода размерности. Прежде чем использовать его в той или иной форме, нужно построить ясное представить себе физический процесс, хорошо продумать интересующие нас характеристики. Только при этом условия можно надеться на успех.
Ниже мы предложаем вам для самостоятельных размерностей задачи.

Задачи

1. Найдите формулу, описывающую связи между массой планеты $M$, ее радиусом $R$ и минимальным перiodомвращения планеты вокруг своей оси. Учитите, что само существование столь градинозных «шариков», которые являются планеты, обусловлено гранитом взаимодействия частности, из которых также «шарики» состоит. Каков минимальный перiod вращения для планеты с массой и радиусом такими же, как у Земли? Нужно получить оценку по порядку величины.
2. Линейные размеры двух геометрических подобных стальных камеронов отличия в три раза. Как отличия частоты этих камеронов?
3. Найдите зависимости periodа пульсации газового пульсая, образованшего при глубинном подводном точном взрыве, если известно, что при взрыве выделилась энергия $E$, а давление воды равно $p$. Попробуйте оценить также максимальный размер газового пульсая. Как зависит пульсация от глубины $H$?